Sprawdź się
Rozważmy dwa okręgi. Pary punktów , oraz , leżą odpowiednio na dwóch wspólnych stycznych zewnętrznych do tych okręgów, jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono dwa okręgi. Poprowadzono dwie proste. Pierwsza prosta jest styczna do pierwszego okręgu w punkcie P, oraz do drugiego w punkcie Q. Druga prosta jest styczna do okręgu pierwszego w punkcie R, oraz do drugiego w punkcie S. Połączono punkt R z punktem Q. Odcinek RQ przecina okrąg pierwszy w punkcie B, oraz okrąg drugi w punkcie A.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1A3UVzQp0bkX/1645453496/OUPyJhy1hnDkHDJzBBhLYP0yoUNlMAa9.png)
Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła te okręgi odpowiednio w punktach i . Wykaż, że .
Wykaż równość odcinków i , wyznaczonych na stycznych do trzech przecinających się okręgów, poprowadzonych z punktu przecięcia się dwóch siecznych i , jak na poniższym rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono trzy okręgi. Pierwszy okręg, przecina się z drugim w punktach R i S. Drugi okrąg przecina się z trzecim w punktach M i N. Poprowadzono proste RS, oraz MN, przecinające się w punkcie P, znajdującym się nad okręgami. Punkt P połączono z punktem A, znajdującym się na pierwszym okręgu, oraz z punktem B, znajdującym się na na okręgu trzecim. Punkty A i B znajdują się w górnych częściach okręgów.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/Rd8iM0uydirpe/1645453497/f9Q4609AjWTbk4VT8ArvH8LJ85ZaGquI.png)
Dane są dwa okręgi: o środku i promieniu oraz o środku i promieniu takie, że odległość ich środków jest równa . Na prostej łączącej środki obu tych okręgów leży taki punkt , dla którego potęga względem obu okręgów jest równa. Wyznacz odległość punktu od środka .
Rozważmy dwa okręgi: o środkach w punktach i i promieniach odpowiednio i . Niech będzie punktem leżącym na prostej , dla którego potęga względem obu okręgów jest taka sama. Wykaż, że dla każdego punktu leżącego na prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt , potęga względem obu okręgów jest równa
Punkt jest środkiem okręgu, w którym , , , jak na rysunku.
![Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie O. Zaznaczono średnicę łączącą punkty M i N, oraz cięciwę łączącą punkty Q i R. Zaznaczono punkt P w miejscu przecięcia średnicy i cięciwy.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RzrlCPogxPhRK/1645453500/GVLGnnQkCqmw1nV3Lm4OVMxZp9my89e0.png)
Promień tego okręgu jest równy
Niech będzie punktem wspólnym cięciw i danego okręgu, jak na rysunku
![Na ilustracji przedstawiono okrąg, na którym zaznaczono dwie przecinające się cięciwy w punkcie P. Na okręgu zaznaczono cztery punkty. Cięciwa pierwsza łączy punkt Q z punktem R. Cięciwa druga łączy punkt M z punktem N.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1DlPVEfPhdiT/1645453501/V1f6k6ijh8FYV8nsKmgvqLnxiLm5gDC6.png)
Uzasadnij, że .
Ułóż w kolejności etapy dowodu.