Autor: Paweł Kwiatkowski

Temat: Reguła włączeń i wyłączeń

Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

XI. Kombinatoryka.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: Zakres rozszerzony

1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• posługuje się twierdzeniem o liczbie elementów sumy $2$ zbiorów oraz o liczbie elementów sumy $3$ zbiorów;

• dowodzi twierdzenie o liczbie elementów sumy $4$ zbiorów oraz stosuje je w zadaniach;

• dowodzi wzór opisujący jak stosować zasadę włączeń i wyłączeń w ogólnym przypadku;

• wykorzystuje zasadę włączeń i wyłączeń do obliczenia, ile jest wśród liczb mniejszych od ustalonej dodatniej liczby całkowitej $n$ takich liczb, które są względnie pierwsze z $n$;

• wykorzystuje zasadę włączeń i wyłączeń do obliczenia, ile spośród permutacji zbioru $n$–elementowego to tzw. nieporządki.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm;

• konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

• odwrócona klasa;

• rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Animacja” i ćwiczenia interaktywne;

• dyskusja.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w parach;

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

• zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel określa temat lekcji: „Reguła włączeń i wyłączeń” oraz cele, wybrana osoba formułuje kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie metodą tekstu przewodniego analizują treści z sekcji „Przeczytaj”. Po zapoznaniu się z każdym z przykładów zgłaszają pytania i napotkane ewentualne problemy, które omawiane są na forum klasy.

2. Nauczyciel prosi uczniów, aby zapoznali się z treścią materiału w sekcji „Animacja”. Następnie na forum klasy wspólnie wyjaśniają ewentualne wątpliwości.

3. W dalszej części uczniowie wykonują w grupach ćwiczenia 3‑5. Po zakończeniu każdego ćwiczenia wybrana grupa prezentuje swoje rozwiązanie na forum klasy.

4. Uczniowie rozwiązują indywidualnie ćwiczenia nr 6, 7 i 8. Nauczyciel sprawdza poprawność wykonanych, omawiając je wraz z uczniami.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, zwracając uwagę na nabyte umiejętności.

Praca domowa:

1. Uczniowie wykonują ćwiczenia nr 1 i 2 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

• Liczba zdarzeń w doświadczeniach losowychDLpTWPwuwLiczba zdarzeń w doświadczeniach losowych

Wskazówki metodyczne:

• Medium w sekcji „Animacja” można wykorzystać jako materiał służący powtórzeniu materiału w temacie „Reguła włączeń i wyłączeń”.