Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Ciąg określony rekurencyjnie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa II lub III

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach

a1=0,001an=an+12·an1-an
a1=1a2=1an+2=an+1+an

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

  • kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

  • kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

  • kompetencje cyfrowe;

  • kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

  • określa ciąg liczbowy w sposób rekurencyjny;

  • oblicza początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie;

  • zapisuje ciąg określony rekurencyjnie innymi sposobami;

  • prowadzi proste rozumowania, mające na celu uogólnienie zauważanych zależności.

Strategie nauczania:

  • konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

  • burza mózgów;

  • skacząca żaba;

  • mini‑konkurs.

Formy pracy:

  • praca w grupach;

  • praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

  • komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

  1. Uczniowie metodą skaczącej żaby przypominają wiadomości na temat ciągów (pierwsza „żaba” to uczeń siedzący w pierwszej ławce, następna „żaba” to uczeń siedzący w trzeciej ławce, itp. „Żaby” kolejno przedstawiają informacje na temat ciągów – wiadomości nie mogą się powtarzać).

  2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

  1. Uczniowie metodą burzy mózgów tworzą wspólną definicję rekurencji.

  2. Praca w 5 grupach. Każda z grup analizuje jeden przykład ciągu opisanego w sekcji Przeczytaj, odpowiednio w Przykładzie 1, 2, 3, 4, 5.

  3. Zadaniem grupy jest określenie własności danego ciągu i takie przygotowanie wiadomości na jego temat, aby w atrakcyjny sposób zaprezentować go kolegom. Uczniowie mogą korzystać z Internetu, zdobywając np. dodatkowe informacje na temat danego ciągu lub jego twórcy.

  4. Po upływie wyznaczonego czasu grupy prezentują swoje dokonania w formie mini–konkursu. Każdy element prezentacji jest punktowany przez odbiorców.

  5. Grupa, która zbierze najwięcej punktów otrzymuje nagrodę (może to być stopień).

Faza podsumowująca:

  1. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

  2. Liderzy grup opowiadają o problemach, dobrych pomysłach i przebiegu pracy swoich grup.

  3. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par.

Praca domowa:

  • Rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych.

Materiały pomocnicze:

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Wskazówki metodyczne:

Animacja może być wykorzystana na zajęciach wprowadzających określenie rekurencyjne ciągu geometrycznego lub arytmetycznego.