Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R7BmlOdQqOonL1

Ćwiczenie 1

R2zgrQI6SH7eQ1

Ćwiczenie 2

R1Z4vksIW9jz52

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem:

$\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{2} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1}, n \geq 2 \end{cases}$

RMIhEk6xQICWF

Ćwiczenie 5

Liczby Padovana $(P_{m})$ można określić również dla ujemnych wskaźników $m \leq 2$ w posób następujący:

$P_{m} = \{\begin{cases} 1, m = 2 \\ 1, m = 1 \\ 1, m = 0 \\ P_{m + 3} - P_{m + 1}, m < 0 \end{cases}$

RWJxbo4qjGpWH

Ćwiczenie 6

Ciąg $(a_{n})$ określony jest wzorem:

$\{\begin{cases} a_{0} = 0 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n, n \geq 0 \end{cases}$

R1G828uDsOyF4

Uzupełnij zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Każdy wyraz tego ciągu jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyraz a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego jest 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego większy od wyrazu a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego.
Wyraz ogólny tego ciągu to 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego.
Wyrazy a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i 1. ujemny, 2. a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, 3. trzykrotnie, 4. nieujemny, 5. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, n, 6. dwukrotnie, 7. dodatni, 8. pięciokrotnie, 9. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa n, 10. niedodatni, 11. a indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, 12. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, n, 13. a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są równe.

Ćwiczenie 7

Matematycy indyjscy w $I I I$ wieku p.n.e. kolejne przybliżenia liczby $\sqrt{2}$ tworzyli, korzystając z następujących ułamków:

$\frac{1}{1}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{7}{5}$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{41}{29}$ , $\frac{99}{70}$ , $\dots$ , $\frac{577}{408}$ , $\dots$

Odkryj regułę, która pozwoli ci tworzyć kolejne wyrazy ciągu $(a_{n})$ przedstawionego powyżej. Zapisz odkrytą regułę w postaci wzoru ogólnego ciągu, wykorzystując wyrazy ciągu Pella.

$a_{n} = \frac{P_{n - 1} + P_{n}}{P_{n}}$

Ćwiczenie 8

Ciąg ośmiowyrazowy $(a_{n})$ określony jest za pomocą tabelki. Określ ten ciag rekurencyjnie.

Kolejne wyrazy ciągu
$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$a_{n}$	$- 2$	$5$	$0$	$7$	$2$	$9$	$4$	$11$

Odkrywamy zależność między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{1} = - 2$

$a_{2} = 5 = - (- 2) + 2 \cdot 1 + 1 = - a_{1} + 3$

$a_{3} = 0 = - (5) + 2 \cdot 2 + 1 = - a_{2} + 5$

$a_{4} = 7 = 0 + 2 \cdot 3 + 1 = - a_{3} + 7$

Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 (n + 1) - 1, n \geq 1 \end{cases}$

lub

$a_{n + 1} = {\begin{cases} - 2, n = 1 \\ - a_{n} + 2 n + 1, n \geq 1 \end{cases}$

Animacja

Dla nauczyciela