Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Ortocentrum

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna i stosuje podstawowe konstrukcje geometryczne

• zna i stosuje pojęcie wysokości trójkąta i ortocentrum

• zna i stosuje twierdzenie Cevy

• konstruuje i bada własności trójkąta ortycznego

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie i metody nauczania:

• konstruktywizm

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie zagadnień dotyczących trzech prostych, które przecinają się w jednym punkcie – tak kieruje dyskusją, by pojawiły się pojęcia symetralnej, dwusiecznej, środkowej. Następnie formułuje twierdzenie Cevy. Następnie prosi o przypomnienie pojęcia wysokości trójkąta.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi o zaznaczenie wysokości trójkąta na wcześniej przygotowanym rysunku i formułuje problem istnienia ich punktu przecięcia. Nauczyciel wprowadza pojęcie ortocentrum i uczniowie ustalają kryteria jego położenia w zależności od rodzaju trójkąta. Następnie poleca uruchomić symulację interaktywną i wykonać zamieszczone w niej polecenia.

2. Nauczyciel formułuje twierdzenie o istnieniu ortocentrum i proponuje dorysować odpowiedni trójkąt, jak w dowodzie. Następnie prosi uczniów o określenie, czym są wysokości danego trójkąta dla trójkąta dorysowanego i na tej podstawie uczniowie zapisują niezbędne dla dowodu spostrzeżenia i formułują formalny dowód.

3. Nauczyciel prezentuje rysunek trójkąta z dorysowanymi wysokościami i zaznaczonym ortocentrum. Następnie zaznacza trójkąt, którego jednym z wierzchołków jest ortocentrum, a dwa pozostałe to dowolne wierzchołki trójkąta i prosi o wyznaczenie ortocentrum tego „nowego” trójkąta. Uczniowie formułują odpowiednią hipotezę. Nauczyciel podaje twierdzenie o „wzajemności ortocentrum” i uczniowie pod kierunkiem nauczyciela przeprowadzają dowód.

4. Nauczyciel prezentuje problem opisany w Przykładzie. Uczniowie rozwiązują problem w parach i wybrani uczniowie przedstawiają na forum klasy efekty pracy.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Zachęca uczniów do przeprowadzenia dowodu twierdzenia o ortocentrum i okręgu opisanym na trójkącie.

Materiały pomocnicze:

Trójkąty i ich własności

Wskazówki metodyczne:

Symulację interaktywną można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można ją wykorzystać przy realizacji tematu o wysokościach trójkąta.