Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Punkty $D$ , $E$ , $F$ są spodkami wysokości w trójkącie $A B C$ , jak na rysunku.

RPpG5RqFXiaAA

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H.

Punkty $D$ i $E$ dzielą boki trójkąta w taki sposób, że $\frac{|A D|}{|B D|} = \frac{2}{5}$ oraz $\frac{|B E|}{|C E|} = \frac{1}{3}$ . Wyznacz stosunek długości odcinków, na jakie punkt $F$ dzieli bok $A C$ .

Z twierdzenia Cevy mamy, że $\frac{|A D|}{|D B|} \cdot \frac{|B E|}{|E C|} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Zatem $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{|C F|}{|F A|} = 1$ .

Stąd $\frac{|C F|}{|F A|} = \frac{15}{2}$ .

Ćwiczenie 2

Rozważmy trójkąt równoramienny $A B C$ o podstawie $A B$ długości $17$ . Wysokości poprowadzone do ramion trójkąta mają długości $15$ . Wyznaczymy obwód trójkąta ortycznego.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1BEoHcIje3f0

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny A B C. Z wierzchołka A upuszczono wysokość A E, z wierzchołka B wysokość B F, natomiast z wierzchołka C wysokość C D. Wszystkie trzy wysokości przecinają się w punkcie H. Wewnątrz trójkąta A B C powstał trójkąt równoramienny D E F. Odcinek C D przecina odcinek F E w punkcie G.

Wtedy $|A B| = 17$ , $|A E| = |B F| = 15$ oraz $|A F| = |B E| = \sqrt{17^{2} - 15^{2}} = 8$ .

$\cos (∢ C A D) = \frac{|A F|}{|A B|} = \frac{8}{17} = \frac{|A D|}{|A C|}$ . Stąd $|A C| = \frac{17}{8} \cdot |A D| = \frac{289}{16}$ .

Ponieważ $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|E F|}{|F C|}$ , więc $|E F| = \frac{|A B|}{|A C|} \cdot |F C| = \frac{17}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{161}{17}$ .

Ponadto $|C D| = \sqrt{{(\frac{289}{16})}^{2} - {(\frac{17}{2})}^{2}} = \frac{255}{16}$ oraz $\frac{|A C|}{|C D|} = \frac{|C F|}{|C G|}$ .

Stąd $|C G| = \frac{|C D|}{|A C|} \cdot |C F| = \frac{\frac{255}{16}}{\frac{289}{16}} \cdot (\frac{289}{16} - 8) = \frac{2415}{272}$ oraz $|D G| = \frac{255}{16} - \frac{2415}{272} = \frac{120}{17}$ .

Zatem $|D F| = \sqrt{{(\frac{161}{34})}^{2} + {(\frac{120}{17})}^{2}} = \frac{17}{2}$ .

Szukany obwód jest więc równy $17 + \frac{161}{17}$ .

RZxJvwPjFBnFY2

Ćwiczenie 3

R13afC8l1rkgB2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

RwgFQZSry50sh

ReLZA0biC5XKN

R1KwlW3A4gQOY2

Ćwiczenie 6

W trójkącie ostrokątnym A B C, o wysokościach odpowiednio h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, odległości jego ortocentrum H od boków B C, A C, A B trójkąta są odpowiednio równe d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego. Wykaż, że początek ułamka, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, jeden.
Ułóż w kolejności etapy dowodu.

Dowód: Elementy do uszeregowania: 1. Ponieważ P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, więc długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka oraz długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, równa się, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka., 2. Analogicznie P indeks dolny, C H A, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego oraz P indeks dolny, A H B, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego., 3. Odcinek d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego jest wysokością w trójkącie B H C, dlatego pole tego trójkąta można wyrazić, jako P indeks dolny, B H C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 4. Stąd P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A B, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, A C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, długość odcinka, B C, koniec długości odcinka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 5. Możemy zatem zapisać równość P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwa P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego., 6. Skracając ułamki i dzieląc stronami otrzymaną równość przez P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego otrzymujemy jeden, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, c, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, b, koniec indeksu dolnego, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, h indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, razy, d indeks dolny, a, koniec indeksu dolnego. Co było do udowodnienia., 7. Zauważmy, że odcinki A H, B H, C H dzielą trójkąt A B C na trzy trójkąty: A H B, B H C, C H A., 8. Zatem P indeks dolny, A B C, koniec indeksu dolnego, równa się, P indeks dolny, A H B, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, B H C, koniec indeksu dolnego, plus, P indeks dolny, C H A, koniec indeksu dolnego.

Ćwiczenie 7

Wyznacz konstrukcyjnie ortocentrum mając dane: podstawę $A B = c$ oraz wysokości $A E = h_{a}$ oraz $B F = h_{b}$ .

Opis konstrukcji:

Kreślimy dowolną prostą $k$ i na tej prostej odkładamy odcinek $A B = c$ .
Prowadzimy symetralną odcinka $A B$ i wyznaczony środek odcinka oznaczamy jako $Q$ .
Kreślimy okrąg $o_{1}$ o środku $Q$ i średnicy $A B$ .
Kreślimy okrąg $o_{2}$ o środku $A$ i promieniu $h_{a}$ .
Kreślimy okrąg $o_{3}$ o środku $B$ i promieniu $h_{b}$ .
Punkty wspólne par okręgów $o_{1}$ , $o_{2}$ oraz $o_{1}$ , $o_{3}$ oznaczamy odpowiednio jako $P$ i $R$ .
Prowadzimy proste $A R$ i $B P$ , aż do przecięcia w punkcie $C$ .
Kreślimy trójkąt $A B C$ .
R13ws4tTxxNLq
Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Odcinek A B jest średnicą okręgu ze środkiem w punkcie Q, który znajduje się na środku odcinka A B. Wierzchołek A jest środkiem łuku o promieniu h indeks dolny a koniec indeksu przecinającego okrąg o środku Q w punkcie P. Punkt P znajduje się na odcinku C B. Wierzchołek B jest środkiem łuku o promieniu h indeks dolny b koniec indeksu przecinającego okrąg o środku Q w punkcie R. Punkt R znajduje się na odcinku A C.

Pozostaje zauważyć, że proste $A R$ i $B P$ są stycznymi do odpowiednich okręgów.

RlA05CJmSDxIn3

Ćwiczenie 8

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela