Autor: Karolina Nowak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Problemy prowadzące do rozwiązywania nierówności wymiernych podwójnych

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności.

Zakres podstawowy. Uczeń:
7) rozwiązuje równania wymierne postaci $\frac{V\left(x\right)}{W\left(x\right)}=0$, gdzie wielomiany $V\left(x\right)$ i $W\left(x\right)$ są zapisane w postaci iloczynowej.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:
1) rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: $W\left(x\right)>0$, $W\left(x\right)\ge 0$, $W\left(x\right)<0$, $W\left(x\right)\le 0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż $\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozwiązuje nierówność wymierną;

• przekształca wyrażenia wymierne;

• dokonuje analizy informacji i wyciąga wnioski;

• czyta ze zrozumieniem, przetwarza informacje słowne na reprezentację algebraiczną;

• argumentuje i uzasadnia swoje działania;

• wykorzystuje pojęcia średnich do rozwiązywania problemów z zakresu różnych dziedzin;

• integruje umiejętności z różnych działów matematyki.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm,

• konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

• odwrócona klasa,

• dyskusja,

• obserwacja.

Formy pracy:

• praca indywidualna,

• praca w grupach,

• praca całego zespołu.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• projektor multimedialny,

• arkusze papieru, pisaki.

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Wprowadzenie” oraz „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel  określa cele i kryteria sukcesu w języku ucznia.

2. Nauczyciel inicjuje rozmowę z uczniami na temat znanych im sytuacji wykorzystania pojęć średniej arytmetycznej, geometrycznej, harmonicznej. Nawiązuje do związków między tymi średnimi. Zadaje pytania o istnienie innych jeszcze rodzajów średniej.

Faza realizacyjna:

1. Wszyscy uczniowie oglądają animację przedstawiającą problemy prowadzące do rozwiązywania nierówności wymiernych podwójnych.

2. Uczniowie pracują w zespołach realizując Polecenie 1 (3 zespoły) oraz Polecenie 2 (3 zespoły). Po wykonaniu zadania zespoły, które rozwiązywały ten sam problem wymieniają się rozwiązaniami i sprawdzają poprawność wykonania zadania.

3. Nauczyciel kontroluje pracę zespołów, koryguje błędy i wyjaśnia ew. wątpliwości.

4. Przedstawiciele dwóch zespołów prezentują rozwiązanie problemów przedstawionych w Poleceniu 1 oraz w Poleceniu 2 na forum klasy. Najlepiej jednocześnie z wykorzystaniem dwóch tablic.

5. Uczniowie indywidualnie lub w parach przystępują do wykonania ćwiczeń 1 – 5. zamieszczonych w sekcji „Sprawdź się”.

Faza podsumowująca:

1. Uczniowie zgłaszają ewentualne problemy z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się” i wspólnie je omawiają.

2. Nauczyciel  inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Jaką wcześniejszą wiedzę i umiejętności wykorzystali na lekcji? Co było dla nich (lub nadal jest) trudne?

Praca domowa:

1. Zadaniem dla wszystkich uczniów jest wykonanie Ćwiczenia 6.

2. Zadaniem dla chętnych jest wykonanie Ćwiczenia 7 oraz 8.

Materiały pomocnicze:

• Rozwiązywanie nierówności wymiernychDtwq2MxYfRozwiązywanie nierówności wymiernych

Wskazówki metodyczne:

1. Problemy przedstawione w animacji można wspólnie z uczniami „przerobić” na zadania z frazą: „wykaż/uzasadnij, że…” i w rozwiązaniu tych zadań przeprowadzić rozumowanie oparte na ciągu argumentów prowadzącym do uzasadnienia tezy.

2. Animację można również wykorzystać jako wstęp do zgadnień poświęconych rozwiązywaniu zadań na prędkość, drogę i czas.

3. Szczególną uwagę warto zwrócić na zadania „na dowodzenie” znajdujące się w sekcji „Przeczytaj”, z którą uczniowie zapoznali się przed właściwą lekcją. W fazie wstępnej warto omówić z uczniami niezbędne elementy dowodu matematycznego: założenie, tezę, dowód. Można także nawiązać do różnych sposobów zapisywania dowodu.