Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RPRJ15vRpoKEw1

Ćwiczenie 1

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.. Średnia harmoniczna liczb przeciwnych jest równa

0

.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Jeśli średnia arytmetyczna dwóch liczb jest równa ich średniej harmonicznej, to są to liczby równe.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ. Średnia harmoniczna liczb odwrotnych jest odwrotnością ich średniej arytmetycznej.. Możliwe odpowiedzi: PRAWDA, FAŁSZ

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Średnia harmoniczna liczb przeciwnych jest równa $0$ .	□	□
Jeśli średnia arytmetyczna dwóch liczb jest równa ich średniej harmonicznej, to są to liczby równe.	□	□
Średnia harmoniczna liczb odwrotnych jest odwrotnością ich średniej arytmetycznej.	□	□

Ćwiczenie 2

Mamy $100$ gram kwasu o stężeniu $90 %$ . Ile kwasu o stężeniu $40 %$ należy do niego dolać, aby otrzymać kwas o stężeniu z przedziału ( $60 %$ , $65 %$ )?

Oznaczmy przez $x [g]$ ilość $40$ procentowego kwasu, który chcemy dolać do kwasu $90$ procentowego. Zatem masa otrzymanego kwasu jest równa $x + 100 [g]$ . Stężenie powstałej mieszanki jest średnią ważoną jej składników, więc wyraża się wzorem:

$\frac{40 % \cdot x + 90 % \cdot 100}{x + 100}$ .

Chcemy, aby mieszanka miała stężenie większe niż $60 %$ , ale mniejsze niż $65 %$ , zatem rozwiążemy nierówność podwójną:

$60 % < \frac{40 % \cdot x + 90 % \cdot 100}{x + 100} < 65 %$

$0, 6 < \frac{0, 4 \cdot x + 90}{x + 100} < 0, 65$ .

Kolejne kroki rozwiązania:
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ_{+}$
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności:
$0, 6 < \frac{0, 4 \cdot x + 90}{x + 100} \| \cdot (x + 100)$	$\land$	$\frac{0, 4 \cdot x + 90}{x + 100} < 0, 65 \| \cdot (x + 100)$
Rozwiązujemy układ nierówności
$0, 6 (x + 100) < 0, 4 \cdot x + 90$	$\land$	$0, 4 \cdot x + 90 < 0, 65 (x + 100)$
$0, 6 x + 60 < 0, 4 x + 90$	$\land$	$0, 4 x + 90 < 0, 65 x + 65$
$0, 2 x < 30 \| : 0, 2$	$\land$	$0, 25 x > 25 \| : 0, 25$
$x < 150$	$\land$	$x > 100$
Odpowiedź: Aby uzyskać żądane stężenie kwasu, należy dolać do $100 g$ kwasu o stężeniu $90 %$ więcej niż $100 g$ , ale mniej niż $150 g$ kwasu o stężeniu $40 %$ .

R1H6WlvlwiPWp1

Ćwiczenie 3

Marek pokonał trasę z $A$ do $B$ z prędkością $v = 90 \frac{km}{h}$ . O ile musiałby zwiększyć prędkość wracając z $B$ do $A$ tą samą trasą, aby jego średnia prędkość przejazdu tam i z powrotem była większa niż $96 \frac{km}{h}$ , ale mniejsza niż $100 \frac{km}{h}$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

o $10 \frac{km}{h}$
o $15 \frac{km}{h}$
o $20 \frac{km}{h}$
o $25 \frac{km}{h}$

Ćwiczenie 4

Wyznacz zbiór liczb rzeczywistych $x \neq 1$ , dla których ciąg $\frac{1}{x - 1}, \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}, \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}, \dots$ jest zbieżny.

Zauważmy, że dany ciąg jest ciągiem geometrycznym, w którym $q = \frac{1}{x - 1}$ . Warunkiem zbieżności ciągu geometrycznego jest, aby $|q| < 1$ .

Rozwiążemy zatem nierówność.

$|\frac{1}{x - 1}| < 1$

$- 1 < \frac{1}{x - 1} < 1$

Kolejne kroki rozwiązania:
$- 1 < \frac{1}{x - 1}$	$\land$	$\frac{1}{x - 1} < 1$
$\frac{1}{x - 1} + 1 > 0$	$\land$	$\frac{1}{x - 1} - 1 < 0$
$\frac{1 + x - 1}{x - 1} > 0$	$\land$	$\frac{1 - x + 1}{x - 1} < 0$
$\frac{x}{x - 1} > 0$	$\land$	$\frac{2 - x}{x - 1} < 0$
$x (x - 1) > 0$	$\land$	$(2 - x) (x - 1) < 0$
R16GMLDKc1aKh	$\land$	R1JJ1iUVvi8n5
R1QTL88NSrG8K

Ciąg jest zbieżny dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

RvqO4kf29dYxB2

Ćwiczenie 5

Ile dodatnich wyrazów ciągu $a_{n} = \frac{n^{3} - n}{n^{2} + 5 n + 4}$ jest mniejszych od $3$ ? Wskaż poprawną odpowiedź spośród podanych.

Ćwiczenie 6

Basen można napełnić wodą za pomocą dwóch rur o różnych średnicach. Średnice rur należy dobrać tak, aby napełnienie basenu za pomocą mniejszej rury trwało o $6$ godzin dłużej, niż za pomocą rury większej. Jaki czas napełniania basenu (z dokładnością do minuty) powinien zostać dobrany dla większej rury, aby napełnianie tego basenu z użyciem obu rur jednocześnie trwało od $3$ do $4$ godzin?

Przyjmijmy oznaczenia:
$x$ – czas w godzinach, w jakim zostanie napełniony basen z wykorzystaniem większej rury,
$x + 6$ – czas w godzinach, w jakim zostanie napełniony basen z wykorzystaniem mniejszej rury,
$\frac{1}{x}$ – część basenu, która zostanie napełniona przez większą rurę w ciągu $1$ godziny,
$\frac{1}{x + 6}$ – część basenu, która zostanie napełniona przez mniejszą rurę w ciągu $1$ godziny,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}$ – część basenu, która zostanie napełniona przez obie rury w ciągu $1$ godziny.

Skoro obie rury mają napełnić basen w czasie od $3$ do $4$ godzin, to znaczy, że w ciągu $1$ powinny one napełnić od $\frac{1}{4}$ do $\frac{1}{3}$ części basenu. Zatem czas potrzebny na napełnienie basenu przy pomocy większej rury obliczymy rozwiązując następującą nierówność podwójną: $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \leq \frac{1}{3}$ .

Kolejne kroki rozwiązania:
Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ_{+}$
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności:
$\frac{1}{4} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \| \cdot 4 x (x + 6)$	$\land$	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} \leq \frac{1}{3} \| \cdot 3 x (x + 6)$
Rozwiązujemy układ nierówności.
$x (x + 6) \leq 4 (x + 6) + 4 x$	$\land$	$3 (x + 6) + 3 x \leq x (x + 6)$
$x^{2} + 6 x \leq 4 x + 24 + 4 x$	$\land$	$3 x + 18 + 3 x \leq x^{2} + 6 x$
$x^{2} - 2 x - 24 \leq 0$	$\land$	$x^{2} - 18 \geq 0$
$Δ = 4 + 96 = 100$	$\land$	$(x - \sqrt{18}) (x + \sqrt{18}) \geq 0$ $(x - 3 \sqrt{2}) (x + 3 \sqrt{2}) \geq 0$
$x_{1} = \frac{2 - 10}{2} = - 4$ , $x_{1} = \frac{2 + 10}{2} = 6$	$\land$	$x_{1} = 3 \sqrt{2}$ , $x_{2} = - 3 \sqrt{2}$
RPpCCzghvcwPh	$\land$	R154INQjoL72x
Uwzględniając dziedzinę $x \in (0, 6 ⟩$	$\land$	Uwzględniając dziedzinę $x \in (3 \sqrt{2}, \infty) \cup x = 3 \sqrt{2} \leq$
Wskazujemy iloczyn rozwiązań dwóch nierówności:
RZLOlVEBNDu5Z $x \in ⟨ 3 \sqrt{2}, 6 ⟩$
Ponieważ należy określić czas z dokładnością do minuty, przybliżymy liczbę $3 \sqrt{2}$ do $4, 2$ i jest to przybliżenie z niedomiarem. Oznacza to więc, że czas napełniania basenu przez większą rurę musi być większy niż $4$ godziny i $(0, 2 h = 12 min)$ minut. Stąd też należy przyjąć, że powinien on wynosić przynajmniej $4 h 13 \min$ .

Większa rura powinna być tak dobrana, aby czas, w którym napełni ona basen wynosił co najmniej $4 h$ $13 \min$ , ale nie więcej niż $6 h$ .

Ćwiczenie 7

Właściciel kawiarni zauważył, że im cieplej w lokalu, tym więcej soków sprzedaje. Jeżeli $t$ oznacza temperaturę w stopniach Celsjusza, to liczba sprzedanych soków wyraża się wzorem $N (t) = 100 (1 - \frac{2}{t})$ , gdzie $t > 2^{0}$ , a koszt ogrzewania wzorem $K (t) = 1, 25 t [zł]$ . Przy jakiej temperaturze zysk właściciela będzie wynosił od $200 zł$ do $250 zł$ , jeśli zysk ze sprzedaży jednego soku wynosi $2, 50 zł$ ?

Przyjmijmy oznaczenia:

$Z$ – zysk,

$N$ – liczba sprzedanych soków,

$K$ – koszt ogrzewania.

$Z = 2, 5 N - K = 2, 5 \cdot 100 (1 - \frac{2}{t}) - 1, 25 t$

$Z = 250 - \frac{500}{t} - 1, 25 t$

Chcemy, aby zysk własciciela wynosił od $200 zł$ do $250 zł$ , zatem rozwiążemy nierówność:

$200 \leq 250 - \frac{500}{t} - 1, 25 t \leq 250$ .

Kolejne kroki rozwiązania:
Określamy dziedzinę nierówności: $t > 2 °$
Nierówność podwójną zapisujemy w postaci koniunkcji dwóch nierówności:
$200 \leq 250 - \frac{500}{t} - 1, 25 t \| \cdot t$	$\land$	$250 - \frac{500}{t} - 1, 25 t \leq 250 \| \cdot t$
Rozwiązujemy układ nierówności
$200 t \leq 250 t - 500 - 1, 25 t^{2}$	$\land$	$250 t - 500 - 1, 25 t^{2} \leq 250 t$
$1, 25 t^{2} - 50 t + 500 \leq 0 \| : 1, 25$	$\land$	$1, 25 t^{2} + 500 \geq 0$
$t^{2} - 40 t + 400 \leq 0$	$\land$	Nierówność ta jest prawdziwa dla wszystkich wartości $t > 2 .$
$Δ = 1600 - 1600 = 0$	$\land$	$t > 2$
$t_{0} = \frac{40}{2} = 20$	$\land$	$t > 2$
Rt2DHtheSxIIY	$\land$	$t > 2$
$t = 20$ Obliczmy wielkość zysku dla otrzymanej temperatury: $Z = 250 - \frac{500}{20} - 1, 25 \cdot 20$ $Z = 250 - 25 - 25 = 200$ .	$\land$	$t > 2$

Otrzymane rezultaty informują, że: po pierwsze żadna temperatura wewnątrz kawiarni nie spowoduje osiągnięcia zysku właściciela na poziomie $250 zł$ , a po drugie temperatura $t = 20 ° C$ jest temperaturą, przy której właściciel osiągnie największy możliwy zysk wynoszący $200 zł$

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że jeśli w trójkącie jeden z boków jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych, to wysokość poprowadzona do tego boku jest średnią harmoniczną pozostałych wysokości.

Założenie: $c = \frac{a + b}{2}$
Teza: $h_{c} = \frac{2 h_{a} h_{b}}{h_{a} + h_{b}}$

R1X7lP1nwAOwy

Ilustracja przedstawia trójkąt o bokach a, b i c. Zaznaczono na nim wysokości h indeks dolny a koniec indeksu oraz h indeks dolny b koniec indeksu oraz indeks dolny c koniec indeksu.

Dowód:

$P = \frac{a h_{a}}{2}$

$P = \frac{b h_{b}}{2}$

$P = \frac{c h_{c}}{2}$

$\frac{a h_{a}}{2} = \frac{c h_{c}}{2} \Rightarrow a = \frac{c h_{c}}{h_{a}}$

$\frac{b h_{b}}{2} = \frac{c h_{c}}{2} \Rightarrow b = \frac{c h_{c}}{h_{b}}$

Ponieważ $c = \frac{a + b}{2}$ , zatem $c = \frac{\frac{c h_{c}}{h_{a}} + \frac{c h_{c}}{h_{b}}}{2} = \frac{c h_{b} h_{c} + c h_{a} h_{c}}{2 h_{a} h_{b}} = \frac{c h_{c} (h_{a} + h_{b})}{2 h_{a} h_{b}}$ .

$c = \frac{c h_{c} (h_{a} + h_{b})}{2 h_{a} h_{b}} | : c$

$1 = \frac{h_{c} (h_{a} + h_{b})}{2 h_{a} h_{b}}$

$h_{c} = \frac{2 h_{a} h_{b}}{h_{a} + h_{b}}$

Animacja

Dla nauczyciela