Autor: Bogdan Staruch

Przedmiot: Matematyka

Temat: Lazare Carnot

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

VII. Trygonometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od $0°$ do $180°$, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów $30°$, $45°$, $60°$;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P=\frac{1}{2}·a·b·\sin \gamma$;

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty).

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• wyznacza długość trzeciego boku trójkąta na podstawie długości dwóch boków i odległości spodka wysokości od wierzchołka;

• stosuje twierdzenie cosinusów;

• wyznacza zależności między kątami trójkąta i kątami w trójkątach, których ramionami są promienie okręgu opisanego na trójkącie a podstawami - boki trójkąta;

• wyznacza stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na trójkącie na podstawie znajomości cosinusów kątów trójkąta;

• stosuje twierdzenie Carnota o sumie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt i długości promienia okręgu opisanego na trójkącie i jej zależności od odległości środka okręgu opisanego na trójkącie od boków trójkąta.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm;

• konektywizm;

• kognitywizm.

Metody i techniki nauczania:

• pogadanka;

• interaktywna aplikacja;

• analiza pomysłów.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w parach.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń lub para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

• Nauczyciel przedstawia notkę biograficzną o Lazare Carnocie z nawiązaniem do Elementów Euklidesa.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel przedstawia twierdzenie o długości boku trójkąta na podstawie długości dwóch boków i odległości danego spodka wysokości od wierzchołka.

2. Nauczyciel przedstawia twierdzenie cosinusów i klasyfikację kątów w trójkącie jako wniosek z powyższego twierdzenia wraz z dowodem.

3. Nauczyciel pokazuje zależność między kątami trójkąta i kątami w trójkątach, których ramionami są promienie okręgu opisanego na trójkącie a podstawami - boki trójkąta.

4. Nauczyciel pokazuje stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na trójkącie na podstawie znajomości cosinusów kątów trójkąta.

5. Nauczyciel przedstawia twierdzenie Carnota o sumie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt i długości promienia okręgu opisanego na trójkącie i jej zależności od odległości środka okręgu opisanego na trójkącie od boków trójkąta.

6. Nauczyciel przedstawia ciekawostkę – twierdzenie Dijkstry.

7. Uczniowie utrwalają wiadomości wykorzystując symulację interaktywną.

Faza podsumowująca:

1. Uczeń sprawdza nabyte umiejętności i wiedzę w ramach ćwiczeń sprawdzających.

2. Uczeń rozwiązuje zadania trudniejsze wykorzystujące wiedzę przedstawioną na lekcji w szerszym kontekście, również w zastosowaniach praktycznych.

Praca domowa:

• Narysuj na kartce trójkąt $ABC$, opisz na nim okrąg, połącz środek $O$ okręgu opisanego z wierzchołkami trójkąta. Skopiuj rysunek w kilku egzemplarzach. Opisz lub nagraj filmik, jak sprawdzić zależność między kątami trójkąta i kątami w trójkątach $AOB$, $AOC$, $BOC$ wycinając z kartek i przykładając do siebie odpowiednie kąty.

Materiały pomocnicze:

• Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów w wielokątachD18yPBOUMZastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów w wielokątach

• O twierdzeniu Snelliusa, czyli rozwiązywaniu trójkątów dowolnychPj6G1D8hlO twierdzeniu Snelliusa, czyli rozwiązywaniu trójkątów dowolnych

Wskazówki metodyczne:

Symulacja interaktywna może zostać wykorzystana:

• podczas przygotowywania się do zajęć

• do utrwalania wiedzy

• jako inspiracja do stworzenia własnego samouczka lub prezentacji.