Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

Rs3yUelqzj3fV

R1dA2flYfX6D9

RyFdzJVr0Xx5i

Rs3yUelqzj3fV

R1dA2flYfX6D9

RyFdzJVr0Xx5i

RPRz82mMYOXBL11

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Oceń prawdziwość zdań. W dowolnym trójkącie

A B C

.... suma odległości środka okręgu opisanego na tym trójkącie od jego boków jest równa

r + R

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. suma cosinusów kątów tego trójkąta wynosi

1 + \frac{r}{R}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz.

{|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} - 2 |B C| \cdot |A C|

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz.

{|A B|}^{2} = {|B C|}^{2} + {|A C|}^{2} - 2 |B C| \cdot |A C| \cos ∢ A C B

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Ćwiczenie 3

RaXlcivQekAAO

RvzVdqXuzrSMS

RbDfiuspfExZr2

Ćwiczenie 4

W trójkącie

A B C

o bokach

|A C| = 18

|B C| = 24

punkt

D

jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka

A

. Jeżeli

|A B| = 32

, to trójkąt jest 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny i

|D C| =

1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny.

Jeżeli

|A B| = 28

, to trójkąt jest 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny i

|D C| =

1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny.

Jeżeli

|A B| = 30

, to trójkąt jest 1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny i

|D C| =

1. rozwartokątny, 2. prostokątny, 3.

\frac{33}{6}

, 4. ostrokątny, 5.

\frac{29}{6}

, 6.

0

, 7.

\frac{31}{6}

, 8. równoboczny.

Ćwiczenie 5

W trójkącie ostrokątnym $A B C$ spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ jest odległy od wierzchołka $C$ o $x$ , a spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$ jest odległy od wierzchołka $C$ o $y$ . Wykaż, że $a x = b y$ , gdzie $a = |B C|$ , $b = |A C|$ .

Dwa razy stosujemy pierwsze twierdzenie Carnota $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a x$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 b y$ .

Wtedy

$a^{2} + b^{2} - 2 a x = a^{2} + b^{2} - 2 b y$

$- 2 a x = - 2 b y$

Stąd $a x = b y$ .

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ kąt $γ$ przy wierzchołku $C$ ma miarę $150 °$ , a bok $A B$ ma długość $10$ . Wyznacz długość promienia $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie oraz odległość środka okręgu opisanego na tym trójkącie od boku $A B$ .

Korzystamy z własności kątów w trójkącie $A O B$ , gdzie $O$ jest środkiem okręgu opisanego, z której wynika, że $∢ A B O = ∢ B A O = γ - 90 ° = 150 ° - 90 ° = 60 °$ . Stąd trójkąt $A O B$ jest równoboczny, więc $R = |A B| = 10$ .

Odległość środka okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ od boku $A B$ jest długością wysokości trójkąta $A O B$ , czyli $\frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Trójkąt $A B C$ jest ostrokątny, $O$ oznacza środek okręgu opisanego na tym trójkącie, a $x$ , $y$ , $z$ oznaczają kąty przy podstawie trójkątów równoramiennych $B O C$ , $A O C$ i $A O B$ , odpowiednio. Wykaż, że $x + y + z = 90 °$ .

Niech $α$ , $β$ , $γ$ oznaczają kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ , odpowiednio.

Wtedy $x = 90 ° - α$ , $y = 90 ° - β$ , $z = 90 ° - γ$ .

Stąd $x + y + z = 90 ° - α + 90 ° - β + 90 ° - γ =$

$= 270 ° - (α + β + γ) = 270 ° - 180 ° = 90 °$ .

Ćwiczenie 8

W trójkącie $A B C$ dane są kąty $α = 45 °$ , $β = 30 °$ przy boku $A B$ . Ponadto, odległość $d_{a}$ środka okręgu opisanego na tym trójkącie od boku $B C$ wynosi $5$ . Wyznacz promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie, długości $a$ , $b$ , $c$ boków trójkąta, promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt oraz odległości $d_{b}$ , $d_{c}$ środka okręgu opisanego na trójkącie od boków trójkąta.

Popatrzmy na rysunek.

R1dP6ntkQD22s

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABD. Zaznaczono kąt przy wierzchołku A o mierze sześćdziesięciu stopni, oraz kąt przy wierzchołku B o mierze trzydziestu stopni. Linią przerywaną zaznaczono promienie okręgu, które łączą wierzchołki trójkąta ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Punkt D stanowi środek boku BC i połączono go z punktem O. ∠CAO wynosi 60 stopni, natomiast ∠CBO wynosi 45 stopni.

Punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie, więc $|O D| = 5$ . Jednocześnie punkt $D$ jest środkiem odcinka $B C$ , bo środek okręgu opisanego leży na symetralnej boku $B C$ .

Z własności kątów w trójkącie $B O C$ , kąt $O B C$ ma miarę $90 ° - α = 45 °$ . Stąd $|D B| = |D O| = 5$ , czyli bok $a = |B C| = 2 \cdot 5 = 10$ . Natomiast $R = |O B| = 5 \sqrt{2}$ .

Z własności kątów w trójkącie $A O C$ , kąty $O A C$ i $O C A$ mają miarę $90 ° - β = 60 °$ .

Stąd trójkąt $A O C$ jest równoboczny, więc bok $b = |A C| = R = 5 \sqrt{2}$ .

Do wyznaczenia długości boku $A B$ zastosujemy twierdzenie cosinusów.

Kąt $γ$ ma miarę $180 ° - α - β = 105 °$ , więc $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ = 100 + 50 - 100 \sqrt{2} \cos 105 °$ .

Wyznaczamy cosinus kąta $105 °$ .

$\cos 105^{\circ} = \cos (45^{\circ} + 60^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 60^{\circ} - \sin 45^{\circ} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Stąd

$c^{2} = 150 - 100 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}) = 150 - 50 + 50 \sqrt{3} = 100 + 50 \sqrt{3}$ .

Promień okręgu wpisanego $r$ wyznaczamy ze wzoru $\frac{r}{R} = \cos α + \cos β + \cos γ - 1,$ czyli $r = R (\cos α + \cos β + \cos γ - 1) = 5 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} - 1) =$

$= \frac{5}{2} (3 - 2 \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6})$ .

Odległość $d_{b} = \frac{5 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}$ jako wysokość trójkąta równobocznego o boku $5 \sqrt{2}$ .

Odległość $d_{c}$ wyznaczymy z drugiego twierdzenia Carnota pamiętając, że kąt $γ$ jest rozwarty

$d_{a} + d_{b} - d_{c} = r + R$ , więc $d_{c} = d_{a} + d_{b} - r - R = \frac{5}{2} (2 + \sqrt{6} - 3 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) =$

$= \frac{5}{2} (\sqrt{3} - 1)$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela