Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Wzór ogólny ciągu określonego rekurencyjnie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa II lub III

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie, jak w przykładach

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=0,001\\ a_n=a_n+\frac{1}{2}·a_n\left(1-a_n\right)\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1=1\\ a_2=1\\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\end{array}\right.$

3) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• odkrywa zależności między kolejnymi wyrazami danego ciągu określonego rekurencyjnie;

• zapisuje wzór ogólny ciągu określonego rekurencyjnie ;

• podaje  niektóre własności ciągu określonego rekurencyjnie.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• milcząca tablica;

• mapa myśli.

Formy pracy:

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie wspólnie tworzą mapę myśli zbierającą informacje na temat ciągów, powtarzając w ten sposób potrzebne wiadomości.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie indywidualnie zapoznają się z animacją i częścią teoretyczną zapisaną w sekcji Przeczytaj.

2. Następnie uczniowie rozwiązują przykłady z sekcji Przeczytaj metodą milcząca tablica - nauczyciel zapisuje na tablicy rekurencyjny wzór ciągu (taki, jak w kolejnych przykładach w Przeczytaj), a chętny uczeń na tablicy prezentuje swój pomysł na znalezienie wzoru ogólnego tego ciągu.

3. Pozostali uczniowie mogą korygować prezentowane na tablicy rozwiązanie – nauczyciel jest obserwatorem i nie może podpowiadać uczniom.

4. W ten sposób uczniowie prawdopodobnie znajdą kilka możliwych rozwiązań jednego problemu, co będzie zaczynkiem do dyskusji podsumowującej tę część lekcji.

5. Dyskusja – dlaczego ciąg liczbowy warto opisywać różnymi sposobami.

Faza podsumowująca:

1. W ramach podsumowania wyznaczony wcześniej uczeń przedstawia krótką prezentację pokazującą znaczenie ciągów liczbowych zdefiniowanych rekurencyjnie dla rozwoju teorii liczb.

2. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia  najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

3. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów.

Praca domowa:

• Rozwiązanie ćwiczeń interaktywnych.

Materiały pomocnicze:

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnejD154dNGMtPojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Wskazówki metodyczne:

Animacja może być wykorzystana na zajęciach wprowadzających określenie rekurencyjne ciągu geometrycznego lub arytmetycznego.