Imię i nazwisko autora:

Agata Fronczak
Włodzimierz Natorf

Przedmiot:

Fizyka

Temat zajęć:

Jak dokładnie można zmierzyć liczbę $\mathrm{\pi ?}$

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy i rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne
II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych.
III. Planowanie i przeprowadzanie obserwacji oraz doświadczeń i wnioskowanie na podstawie ich wyników.

Zakres podstawowy
Treści nauczania – wymagania szczegółowe
I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
9) dopasowuje prostą do danych przedstawionych w postaci wykresu; interpretuje nachylenie tej prostej i punkty przecięcia z osiami.

Zakres rozszerzony
Treści nauczania – wymagania szczegółowe
I. Wymagania przekrojowe. Uczeń:
9) dopasowuje prostą do danych przedstawionych w postaci wykresu; interpretuje nachylenie tej prostej i punkty przecięcia z osiami.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Zalecenia Parlamentu Europejskiego i Rady UE z 2018 r.:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji,

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii,

• kompetencje cyfrowe,

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

1. wie, co to znaczy dopasować prostą, zarówno w sensie graficznym, jak i rachunkowym;

2. zna i rozumie kryterium dopasowania prostej poprzez szukanie minimalnej wartości jej odległości od punktów pomiarowych;

3. zna zasadę najmniejszych kwadratów, tj. poszukiwania najmniejszej wartości sumy kwadratów odległości od prostej;

4. zna wzory umożliwiające wyznaczenie parametrów prostej oraz ich niepewności w ramach metody najmniejszych kwadratów;

5. potrafi dopasować prostą do punktów pomiarowych na wykresie i na tej podstawie wyznaczyć parametry dopasowania i ich niepewności.

Strategie nauczania:

nauczanie przez dociekanie IBSE

Metody nauczania:

pomiary uczniowskie i ich interpretacja

Formy zajęć:

praca w dwuosobowych grupach i całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

komputer z rzutnikiem i oprogramowaniem typu arkusz kalkulacyjny;globus szkolny; obiekty o symetrii sferycznej lub walcowej o różnych średnicach, co najmniej do 20‑30 cm (np. piłki, piłeczki, odważniki, szklanki, garnki, tarcze, itp.), łącznie po dwie‑trzy sztuki na dwuosobową grupę uczniowską; centymetry krawieckie (np. udostępniane w marketach budowlanych papierowe taśmy miernicze), co najmniej jedna sztuka na grupę

Materiały pomocnicze:

niniejszy e‑materiał

PRZEBIEG LEKCJI

Faza wprowadzająca:

Wprowadzenie według treści zawartej w części „Czy to nie ciekawe?, także na podstawie własnej wiedzy nauczyciela, o historii liczby $\mathrm{\pi }$. Nauczyciel przedstawia, z punktu widzenia archetypowego „starożytnego inżyniera”, problem związany z możliwe dokładną znajomością wartości liczby $\mathrm{\pi }$.
Uczniowie proponują sposoby pomiaru tej wartości. Nauczyciel wskazuje ograniczenia metody polegającej na pomiarze średnicy i obwodu tylko jednego obiektu: „starożytny inżynier” nie miał gwarancji, że stosunek ten jest stały i czy nie zmienia się, przykładowo, wraz ze wzrostem średnicy. Jako przykład takiej możliwości nauczyciel podaje stosunek pola powierzchni wycinka sfery do promienia tego wycinka, mierzonego „po sferze”. Demonstruje taką sytuację za pomocą globusa.

Faza realizacyjna:

Uczniowie mierzą, w dwuosobowych grupach, średnicę i obwód dwóch‑trzech obiektów. Nauczyciel zwraca uwagę, że bardzo istotna w tym doświadczeniu jest uczciwość: obie wielkości powinny pochodzić z pomiaru, a nie średnica z pomiaru a obwód z przemnożenia wyniku przez znaną wartość $\mathrm{\pi }$.
Wyniki pomiarów nauczyciel wprowadza sukcesywnie do arkusza kalkulacyjnego. Uczniowie komentują ułożenie punktów na wykresie. Wnioskiem z krótkiej dyskusji powinno być stwierdzenie, że punkty układają się na linii prostej, przechodzącej przez punkt (0; 0).
Nauczyciel uruchamia multimedium i proponuje dwóm‑trzem uczniom intuicyjne dopasowanie prostej do układu punktów. Uczniowie powinni zgodzić się, że trafienie tą metodą w bezpośrednie sąsiedztwo prostej najlepiej dopasowanej jest bardzo trudne.
Nauczyciel nanosi na wykres z arkusza linię prostą, wychodzącą z punktu (0; 0). Uczniowie ustalają, czy można tę prostą uznać za najlepiej dopasowaną. Nauczyciel koryguje nachylenie prostej, aż do uznania przez klasę, że jest ono optymalne.
W podobnej procedurze jak poprzednio, uczniowie ustalają dwie proste „skrajne”, także przechodzące przez (0; 0). Jedna winna mieć nachylenie minimalne, druga maksymalne, dopuszczalne ułożeniem punktów pomiarowych.
Uczniowie obliczają współczynniki kierunkowe trzech prostych.

Faza podsumowująca:

Nauczyciel zwraca uwagę, że intuicyjne prowadzenie prostej „najlepiej dopasowanej” odbywa się zgodnie z jednoznacznym kryterium: minimalizacja sumy kwadratów odległości - liczonych wzdłuż rzędnej - poszczególnych punktów od prostej. Choć ocena spełnienia tego kryterium ma charakter jakościowy, to tak uzyskane nachylenie prostej „najlepiej dopasowanej” może być uznane za przybliżenie wartości liczbowej $\mathrm{\pi }$.
Nauczyciel przeciwstawia temu „skrajne” wartości nachylenia. Ich uzyskanie nie polega na spełnieniu jakiegokolwiek kryterium o charakterze statystycznym - jest czysto uznaniowe. Nauczyciel podkreśla, że nachylenia te nie wyznaczają przedziału niepewności pomiarowej. Pokazują jedynie zakres, w którym na pewno powinna się zmieścić mierzona wartość.

Praca domowa:

Nauczyciel udostępnia wszystkim uczniom wyniki pomiarów.
Uczniowie, w tych samych grupach, co w klasie, rozważają celowość naniesienia na punkty pomiarowe odcinków standardowych niepewności pomiaru średnicy i obwodu, wynikające z rozdzielczości użytych miarek. Nanoszą te niepewności pod warunkiem, że są one czytelne. Ponownie próbują ustalić przebieg dwóch prostych „skrajnych”, stosując procedurę z lekcji, ale z uwzględnieniem tych odcinków. Obliczają nachylenia tych prostych.
Na następnej lekcji uczniowie porównują otrzymane wyniki, oddzielnie dla nachylenia każdej z dwóch prostych i komentują rozrzut.

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium:

Multimedium może służyć uczniom jako ćwiczenie umiejętności intuicyjnego określania przebiegu prostej najlepiej dopasowanej do dowolnego zestawu punktów pomiarowych.