Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje pojęcie trójkąta opisanego na okręgu;

• stosuje pojęcie trójkąta wpisanego w okrąg;

• stosuje twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku;

• przeprowadza dowody geometryczne.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja;

• liga zadaniowa.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prezentuje przygotowany wcześniej rysunek okręgu i prosi o narysowanie dowolnego trójkąta prostokątnego wpisanego w ten okrąg. Następnie formułuje problem określenia zbioru wartości iloczynu $a·b$ długości przyprostokątnych. Uczniowie rysują różne trójkąty wpisane w dany okrąg i zastanawiają się nad rozwiązaniem problemu. Następnie formułują i zapisują w notatnikach rozwiązanie problemu.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku. Następnie uczniowie przeprowadzają dowód twierdzenia, że każdy trójkąt, którego bokiem jest średnica okręgu, jest prostokątny – wybrany uczeń zapisuje szkic dowodu na tablicy.

2. Uczniowie formułują twierdzenie o długości promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

3. Nauczyciel prosi o uruchomienie symulacji interaktywnej i rozwiązanie przedstawionych tam problemów.

4. Następnie nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia o odcinkach stycznych i prezentuje przygotowany wcześniej rysunek trójkąta z zaznaczonymi punktami styczności okręgu wpisanego i długościami odpowiednich odcinków stycznych. Prosi o zapisanie równości między odcinkami stycznych i bokami trójkąta i formułuje problem dotyczący wyznaczenia długości promienia okręgu wpisanego, który to problem uczniowie rozwiązują w parach. Wybrany uczeń prezentuje rozwiązania na forum klasy.

5. Następnie nauczyciel podaje twierdzenie o sumie średnic i prosi uczniów o uzasadnienie tego twierdzenia.

6. Nauczyciel podaje problemy do rozwiązania. Uczniowie rozwiązują je w parach. Wybrany uczeń prezentuje rozwiązania na forum klasy.

7. Na koniec nauczyciel prezentuje zagadnienie relacji między promieniami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt prostokątny. Uczniowie, korzystając z obserwacji modelu w symulacji  formułują rozwiązanie – wybrany uczeń zapisuje je na tablicy.

8. Nauczyciel dzieli klasę na 4‑osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują ćwiczenia interaktywne na czas (od ćwiczenia łatwiejszego do trudniejszych spośród: 2, 3, 5, 6 i 8). Grupa, która rozwiąże poprawnie ćwiczenia jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy, wątpliwości omawiane.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

• Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć: 1, 4 i 7.

Materiały pomocnicze:

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątnyDTWItPo71Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Okrąg opisany na trójkącieD1BGWJdGlOkrąg opisany na trójkącie

Wskazówki metodyczne:

Symulację interaktywną można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można wykorzystać przy realizacji tematu o okręgach opisanych i wpisanych w dowolny trójkąt.