Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Różnica promieni okręgów opisanego na trójkącie prostokątnym i wpisanego w ten trójkąt jest równa $3$ . Pole trójkąta jest równe $24$ . Oblicz obwód tego trójkąta.

Ponieważ pole trójkąta prostokątnego można wyrazić, jako $P = r^{2} + 2 R r$ , gdzie $R$ , $r$ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, więc możemy zapisać układ równań: $\{\begin{cases} r^{2} + 2 R r = 24 \\ R - r = 3 \end{cases}$ , który prowadzi w szczególności do równania $r^{2} + 2 \cdot (r + 3) r = 24$ , czyli $3 r^{2} + 6 r - 24 = 0$ .

Jego pierwiastkami są liczby: $2$ , $(- 4)$ . Zatem $r = 2$ , $R = 5$ . Stąd przeciwprostokątna ma długość równą $c = 10$ .

Korzystając ze wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny mamy: $2 = \frac{a + b - 10}{2}$ , stąd suma przyprostokątnych jest równa $a + b = 14$ i obwód jest równy $10 + 14 = 24$ . Zauważmy, że nie było potrzeby wyznaczać długości każdej z przyprostokątnych.

Ćwiczenie 2

Pole trójkąta prostokątnego jest równe $60$ , a obwód tego trójkąta jest równy $40$ . Wyznacz długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Zauważmy, że pole $P$ dowolnego trójkąta można wyrazić jako $P = r \cdot p$ , gdzie $r$ jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, a $p$ jest połową obwodu. Zatem $60 = r \cdot \frac{40}{2}$ . Stąd $r = 3$ . Ale pole trójkąta prostokątnego można wyrazić, jako $P = r^{2} + 2 R r$ , gdzie $R$ , $r$ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, więc możemy zapisać $60 = 3^{2} + 2 R \cdot 3$ . Stąd $R = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$ .

R15M2YlhCwWQo1

Ćwiczenie 3

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych odpowiednio $5$ , $12$ wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

$2$
$\frac{5}{2}$
$3$
$4$

Ćwiczenie 4

W trójkącie prostokątnym promień okręgu opisanego jest równy $R$ , a promień okręgu wpisanego jest równy $r$ . Wyznacz długości przyprostokątnych tego trójkąta. Rozstrzygnij, kiedy zadanie ma rozwiązanie.

Niech $a$ , $b$ będą przyprostokątnymi danego trójkąta. Wtedy $a^{2} + b^{2} = {(2 R)}^{2}$ oraz $a + b = 2 R + 2 r$ . Stąd $a^{2} + {(2 R + 2 r - a)}^{2} = {(2 R)}^{2}$ , czyli $2 a^{2} - 4 a (R + r) + 4 r^{2} + 8 R \cdot r = 0$ .

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą $a$ i parametrami $R$ , $r$ . Zauważmy, że $∆ = 16 {(R + r)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (4 r^{2} + 8 R \cdot r) = 16 (R^{2} - 2 R \cdot r - r^{2})$ . Wtedy $∆ \geq 0 \Leftrightarrow R^{2} - 2 R \cdot r - r^{2} \geq 0$ .

Warunek $R^{2} - 2 R \cdot r - r^{2} \geq 0$ możemy potraktować jako nierówność z niewiadomą $r$ i parametrem $R$ . Jej rozwiązaniem są liczby z przedziału $r \in ⟨ - R (\sqrt{2} + 1), R (\sqrt{2} - 1) ⟩$ . Ale oczywiście $R > 0$ , $r > 0$ , zatem $r \in (0, R (\sqrt{2} - 1)⟩$ .

Wtedy rozwiązaniem równania $2 a^{2} - 4 a (R + r) + 4 r^{2} + 8 R \cdot r = 0$ są liczby $R + r - \sqrt{R^{2} - 2 R \cdot r - r^{2}}$ oraz $R + r + \sqrt{R^{2} - 2 R \cdot r - r^{2}}$ . Liczby te są długościami dwóch przyprostokątnych danego trójkąta.

Ćwiczenie 5

REmcGvsr7exo8

R7IRp3bthBruF

Oznaczmy przez

a

b

c

odpowiednie przyprostokątne oraz przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Korzystając z danych podanych na opisach wyznacz różnicę

R - r

, długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Dopasuj zależności do odpowiedniego rysunku.

R - r = \frac{11}{2}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 6 oraz c równym dziesięć., 2. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 5 (\frac{5}{2} - \sqrt{2})

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 2 (2 \sqrt{5} - 3)

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 10 - 3 \sqrt{5}

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 3

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

Oznaczmy przez

a

b

c

odpowiednie przyprostokątne oraz przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Korzystając z danych podanych na opisach wyznacz różnicę

R - r

, długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Dopasuj zależności do odpowiedniego rysunku.

R - r = \frac{11}{2}

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 5 (\frac{5}{2} - \sqrt{2})

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 2 (2 \sqrt{5} - 3)

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 10 - 3 \sqrt{5}

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

R - r = 3

10 \sqrt{2}

, b równym 5 oraz c równym piętnaście., 3. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym

4 \sqrt{5}

, b równym

2 \sqrt{5}

oraz c równym dziesięć., 4. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 8, b równym 4 oraz c równym

4 \sqrt{5}

., 5. Ilustracja przedstawia okręgi opisane i wpisane w trójkąt o ramionach a równym 15, b równym 8 oraz c równym siedemnaście.

Ro1K927ftNd4w2

Ćwiczenie 6

Niech $R$ , $r$ oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o polu równym $9 r^{2}$ . Wtedy

$R = 2 r$
$R = 3 r$
$R = 4 r$
$R = 9 r$

Ćwiczenie 7

Okręgiem dopisanym do trójkąta nazywamy okrąg styczny do jednego z boków tego trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych jego boków. Dany jest trójkąt prostokątny opisany na okręgu o promieniu $r$ . Okrąg dopisany do tego trójkąta i styczny do przeciwprostokątnej ma promień $R_{D}$ , jak na rysunku.

RpAsw7JEJqfko

Ilustracja przedstawia trójkąt w którego wpisano okrąg o promieniu r. Przedłużono boku a i b trójkąta i dopisano do nich trójkąt styczny do tych boków. Dopisany trójkąt ma promień r indeks dolny d koniec indeksu.

Uzasadnij, że pole danego trójkąta jest równe $r \cdot R_{D}$ .

Oznaczmy wierzchołki trójkąta przez $A$ , $B$ , $C$ oraz przyjmijmy $|A B| = c$ . Oznaczamy przez $P$ , $Q$ , $S$ punkty styczności okręgu dopisanego i przeciwprostokątnej oraz przedłużeń przyprostokątnych, jak na rysunku.

RdGg7yD4uHRsf

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC w którego wpisano okrąg o promieniu r. Przedłużono boku a i b trójkąta i dopisano do nich trójkąt styczny do tych boków w punktach S P i Q. Dopisany trójkąt ma promień r indeks dolny d koniec indeksu.

Wtedy $|C Q| = R_{D}$ oraz $|A Q| = R_{D} - b$ .

Podobnie $|C S| = R_{D}$ oraz $|B S| = R_{D} - a$ .

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że $|A Q| = |A P|$ oraz $|B S| = |B P|$ .

Ale $|A P| + |B P| = c$ . Stąd długość średnicy okręgu dopisanego jest równa $2 \cdot R_{D} = (a + |B S|) + (b + |A Q|) = a + b + |B P| + |A P| = a + b + c$ .

Ponieważ $r = \frac{a + b - c}{2}$ , więc $c = a + b - 2 r$ . Wtedy długość średnicy okręgu dopisanego można zapisać jako $2 \cdot R_{D} = a + b + c = a + b + (a + b - 2 r)$ .

Stąd $a + b = R_{D} + r$ oraz $c = R_{D} - r$ .

Ponieważ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ oraz $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ , więc ${(R_{D} - r)}^{2} = {(R_{D} + r)}^{2} - 2 a b$ .

Po rozwinięciu ostatniej równości otrzymujemy ${R^{2}}_{D} - 2 r \cdot R_{D} + r^{2} = {R^{2}}_{D} + 2 r \cdot R_{D} + r^{2} - 2 a b$ , czyli $4 r \cdot R_{D} = 2 a b$ .

Stąd $\frac{1}{2} a b = r \cdot R_{D}$ .

Zatem pole tego trójkąta jest równe $r \cdot R_{D}$ . To kończy dowód.

R9FiXCyWlGYga3

Ćwiczenie 8

Łączenie par. Oceń prawdziwość poniższych zdań, zaznaczając prawdę lub fałsz przy każdym stwierdzeniu.. Istnieje trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy

2

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Istnieje trójkąt prostokątny, w którym różnica długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równa

1,5

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Istnieje trójkąt prostokątny, w którym suma długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równa

3,5

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Stosunek pola koła opisanego do pola koła wpisanego w trójkąt prostokątny jest zawsze większy niż

3

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Istnieje trójkąt prostokątny, w którym różnica pól koła opisanego i koła wpisanego w ten trójkąt jest mniejsza od

40

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

	Prawda	Fałsz
Istnieje trójkąt prostokątny, w którym stosunek długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równy $2$ .	□	□
Istnieje trójkąt prostokątny, w którym różnica długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równa $1,5$ .	□	□
Istnieje trójkąt prostokątny, w którym suma długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt jest równa $3,5$ .	□	□
Stosunek pola koła opisanego do pola koła wpisanego w trójkąt prostokątny jest zawsze większy niż $3$ .	□	□
Istnieje trójkąt prostokątny, w którym różnica pól koła opisanego i koła wpisanego w ten trójkąt jest mniejsza od $40$ .	□	□

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela