Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okrąg opisany na czworokącie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje pojęcie wielokąta wpisanego w okrąg

• stosuje twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

• stosuje twierdzenie Ptolemeusza

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie wiadomości związanych z okręgiem opisanym  na trójkącie – tak kieruje dyskusją, by pojawiła się teza, że taki okrąg istnieje dla każdego trójkąta. Następnie formułuje problem dotyczący okręgu opisanego na czworokącie. Prosi o podanie przykładów czworokątów, które można lub których nie można wpisać w okrąg. Zwraca uwagę na związek między cyklicznością czworokąta i trójkątów, których wierzchołkami są wierzchołki czworokąta.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel wprowadza pojęcie wielokąta cyklicznego. Następnie poleca uruchomić symulację interaktywną i wykonać zamieszczone w niej polecenia.

2. Nauczyciel formułuje twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg (cyklicznym). Prezentuje przygotowany wcześniej rysunek czworokąta cyklicznego i dorysowuje promienie, których końcami są dwa przeciwległe wierzchołki. Następnie prosi uczniów o przeprowadzenie dowodu warunku koniecznego. Pod kierunkiem nauczyciela jeden z uczniów przeprowadza dowód na tablicy. Następnie nauczyciel przeprowadza dowód warunku dostatecznego.

3. Nauczyciel prezentuje rysunek czworokąta cyklicznego z dorysowanymi przekątnymi i formułuje twierdzenie Ptolemeusza. Następnie inicjuje dowód, poprzez dorysowanie takiego punktu leżącego na jednej z przekątnych, dla którego zachodzi równość odpowiednich kątów. Następnie formułuje tezę o podobieństwie odpowiednich trójkątów i prosi uczniów o ich uzasadnienie i sformułowanie odpowiednich proporcji odcinkowych, prowadzących do dowodu twierdzenia. Wybrany uczeń lub nauczyciel kończą dowód. Nauczyciel wskazuje, że podane twierdzenie stanowi warunek konieczny i wystarczający cykliczności czworokąta oraz podaje nierówność Ptolemeusza.

4. Nauczyciel prezentuje problem opisany w Przykładzie. Uczniowie rozwiązują problem w parach i wybrani uczniowie przedstawiają na forum klasy efekty pracy.
   Nauczyciel formułuje twierdzenie Carnot’a.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Zachęca uczniów do przeprowadzenia pełnego dowodu twierdzenia Carnot’a.

Materiały pomocnicze:

Przekątne w wielokątach

Wskazówki metodyczne:

Symulację interaktywną można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można ją też wykorzystać przy realizacji tematu o własnościach czworokątów wpisanych w okrąg.