Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Przykłady ciągów geometrycznych

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa II lub III, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VI. Ciągi. Zakres podstawowy.

Uczeń:

6) stosuje wzór na $n$–ty wyraz i na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;

7) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zapisuje w postaci ciągu geometrycznego niektóre zależności liczbowe lub geometryczne

• podaje interpretację graficzną danych ciągów geometrycznych

• ustala pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego określonego w różny sposób

• wykorzystuje wzory związane z ciągiem geometrycznym do rozwiązywania problemów geometrycznych i arytmetycznych

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• technika Ishikawy

• porównania binarne

• wyścig biedronek

Formy pracy:

• praca w grupach

• praca w parach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie, pracując w grupach, korzystając z techniki Ishikawy przedstawiają uzyskane dotychczas wiadomości na temat ciągu geometrycznego. Przy czym na głównych „ościach” powinny być zanotowane kluczowe informacje – na mniejszych „ościach” wynikające z nich wnioski.

2. Przedstawiciele grup krótko przedstawiają rezultaty prac grup.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w parach pracują metodą porównań binarnych, starając się na podstawie znanych im informacji o ciągach (w szczególności o ciągu arytmetycznym) opracować kilka przykładów graficznego i arytmetycznego przedstawienia ciągów geometrycznych.

2. Przy czym każda para powinna znaleźć co najmniej dwa przykłady (w tym co najmniej jeden przykład ciągu geometrycznego nieskończonego) i opracować tabelę porównań tych przykładów.

3. Po wypełnieniu tabeli, pary konfrontują swoje zapisy z przykładami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”. I ewentualnie modyfikują swoje ustalenia. Następnie analizują animację i opracowują po jednym zadaniu podobnego typu, bazując na wytworzonych wcześniej przykładach ciągów

4. Ochotnicy przedstawiają rezultaty swojej pracy – zwracają uwagę na popełnione błędy, ale też nieszablonowe pomysły, dzielą się przemyśleniami na temat trafności prezentowanych propozycji.

Faza podsumowująca:

1. Podsumowaniem zajęć jest wyścig biedronek. Uczniowie pracują nadal w parach, rozwiązując na przemian ćwiczenia interaktywne. Każda „biedronka” posiada początkowo 5 kropek. Jeśli dobrze rozwiąże zadanie, nie traci kropek, ale za każde błędne rozwiązanie traci jedną kropkę. Uczniowie którzy po zakończonym wyścigu nadal posiadają 5 kropek, mogą być nagrodzeni dobrymi ocenami.

2. Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności.

3. Końcowy element to refleksje nauczyciela na temat pracy uczniów i ocena prac par.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest zapoznanie się z paradoksem Zenona z Elei (informacji o paradoksie muszą poszukać w dostępnych źródłach) i zinterpretować go na gruncie teorii związanej z ciągiem geometrycznym.

Materiały pomocnicze:

Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanieD12dXI5bOCiąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie

Wskazówki metodyczne:

Animacja jest dobrym materiałem do wprowadzenia w tematykę związaną z szeregami geometrycznymi.