Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem. Na rysunku przedstawiono okrąg o promieniu $1$ . Następnie narysowano okręgi $O_{2}$ , $O_{3}$ , $O_{4}$ , $\dots$ o promieniach odpowiednio równych $\frac{2}{3}$ , $\frac{4}{9}$ , $\frac{8}{27}$ , $\dots$ . Ile będzie równy promień dziewiątego okręgu z tak utworzonych okręgów?

RMAiSEWJYDdL0

Ilustracja przedstawia coraz mniejsze okręgi ustawione w jednej poziomej linii, pierwszy z nich ma promień równy 1, następny dwie trzecie, kolejny cztery dziewiąte, następny osiem dwudziestych siódmych, dalsze mniejsze okręgi nie mają podpisów.

R1HE6iFwHsM1t

Ćwiczenie 2

Na rysunku poniżej przedstawiona jest graficzna interpretacja nieskończonej sumy odwrotności naturalnych potęg liczby dwa (począwszy od ${(\frac{1}{2})}^{1}$ ).

RU9o1cao2gudl

Ilustracja przedstawia linijkę o długości jeden. Długość ta została podzielona na pół, jedna z połówek znowu została podzielona na pół i tak w nieskończoność. Długości opisane na ilustracji to: jedna druga, jedna czwarta, jedna ósma.

R1BzDWKFHvcXq

Ćwiczenie 3

Oto graficzna interpretacja rozrastania się kolonii pewnych bakterii.

RcwgIHCzoENzK

Ilustracja przedstawia drzewo składające się kulek, od których odchodzą rozgałęzienia do kolejnych pokoleń. W pierwszym pokoleniu jest jedna, w drugim dwie, w trzecim cztery, w czwartym osiem kulek.

R1FOphMLlrl9Y

Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby.

W szóstym pokoleniu powstaną ............ nowe bakterie. Jeśli przyjmiemy, że żadne bakterie nie giną, to łącznie z szóstym pokoleniem, kolonia bakterii będzie liczyła ............ bakterie.

Ćwiczenie 4

Na podstawie rysunku zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

RczvR8iCqmoRt

Ilustracja przedstawia cztery prostokąty podzielone na części. Pierwszy z nich podzielony jest na trzy części, z czego kolorem wyróżniono pierwszą i podpisany jako jedna trzecia, drugi podzielony jest na trzy części, z czego środkowa podzielona jest również na trzy części. Kolorem wyróżniono pierwsze dwie części. Prostokąt podpisano jedna trzecia dodać jedna dziewiąta. Trzeci prostokąt podzielono na trzy części. Środkową część podzielono na kolejne trzy, a środkową z nich znowu na trzy. Kolorem wyróżniono trzy różnej wielkości części i podpisano prostokąt jako: jedna trzecia dodać jedna dziewiąta dodać jedna dwudziesta siódma. Czwarty prostokąt podzielono podobnie jak poprzednie i podpisano: jedna trzecia dodać jedna dziewiąta dodać jedna dwudziesta siódma dodać wielokropek

RfkRc6yMxlsZh

Ćwiczenie 5

Rb7mzLDwEArpL

Połącz w pary ułamek dziesiętny i odpowiadającą mu sumę.

0, (4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 + 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . .

, 2.

4 + 0, 04 + 0, 0004 + 0, 000004 + . . .

, 3.

\frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

, 4.

\frac{4}{1} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

4, (4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 + 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . .

, 2.

4 + 0, 04 + 0, 0004 + 0, 000004 + . . .

, 3.

\frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

, 4.

\frac{4}{1} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

4, 0 (4)

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 + 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . .

, 2.

4 + 0, 04 + 0, 0004 + 0, 000004 + . . .

, 3.

\frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

, 4.

\frac{4}{1} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

4, (04)

Możliwe odpowiedzi: 1.

4 + 0, 4 + 0, 04 + 0, 004 + . . .

, 2.

4 + 0, 04 + 0, 0004 + 0, 000004 + . . .

, 3.

\frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

, 4.

\frac{4}{1} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \frac{4}{10000} + . . .

Połącz w pary ułamek dziesiętny i odpowiadającą mu sumę.

$0, (4)$
$4, (4)$
$4, 0 (4)$
$4, (04)$

Ćwiczenie 6

RafHOrFOXVmb8

RF7U9IfqOZebU

Ćwiczenie 7

Sumy liczb w kolejnych poziomych wierszach trójkąta Pascala tworzą pewien ciąg geometryczny.

R1Mv9kL2p3o6k

Ilustracja przedstawia piramidę Pascala. Jest to zbiór konkretnych liczb ustawionych w kształt piramidy, przy czym kolejne wiersze tej piramidy są ponumerowane od zera. Wymienimy liczby wchodzące w skład kolejnych wierszy piramidy od jej szczytu. Wiersz zero: 1, wiersz 1 składa się z cyfr 1 i 1, wiersz dwa to: 1, 2, 1, wiersz trzy to: 1, 3, 3, 1, wiersz cztery to: 1, 4, 6, 4, 1, wiersz pięć to: 1, 5, 10, 10, 5, 1, wiersz sześć to: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, wiersz siedem to: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, wiersz osiem to: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, wiersz dziewięć to: 1, 9, 36, 84, 126, 16, 84, 36, 9, 1

Wypisz sześć początkowych wyrazów tego ciągu i podaj wzór ogólny ciągu.

$1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $\dots$

$a_{n} = 2^{n}$ , gdy $n = 0$ , $1$ , $2$ , $\dots$

Ćwiczenie 8

Dany jest trójkąt równoboczny $T_{1}$ o boku długości $64$ . Rysujemy kolejno trójkąty równoboczne $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ , $\dots$ tak, że wierzchołek kolejnego trójkąta jest zarazem środkiem odpowiedniego boku poprzedniego trójkąta.

RnkIsbFWbt1dt

Ilustracja przedstawia cztery trójkąty równoboczne, każdy wpisany w kolejny następny według takiej zasady, że wierzchołki wpisanego trójkąta leżą na środkach boków większego trójkąta. Największy trójkąt ma bok o długości 64

Oblicz pole siódmego tak utworzonego trójkąta.

Oznaczmy:
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $\dots$ – długości boków kolejnych trójkątów.

W trójkącie równobocznym odcinek łączący środki boków jest dwa razy krótszy od boku tego trójkąta.

Zatem:

$a_{1} = 64$

$a_{2} = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32$

$a_{3} = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$

$a_{4} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

$\dots$

Długości boków trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $64$ i ilorazie $\frac{1}{2}$ .

$a_{7} = 64 \cdot {(\frac{1}{2})}^{6} = 64 \cdot \frac{1}{64} = 1$

Pole trójkąta $T_{7}$ obliczamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Odpowiedź:

Pole siódmego trójkąta jest równe $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Animacja

Dla nauczyciela