Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, a następnie rozwiąż Polecenie 2.

R1TUh1uxeph2F

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D77U6DlO5

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej ciągów geometrycznych.

Polecenie 2

Na rysunku przedstawiono fragment „fali” utworzonej z nieskończenie wielu półokręgów, przy czym średnica każdego następnego półokręgu jest równa połowie średnicy poprzedniego półokręgu. Długość średnicy pierwszego półokręgu jest równa $16$ . Oblicz długość „fali” utworzonej z $5$ początkowych kolejnych półokręgów.

R1KxDje0b1fLr

Rysunek przedstawia poziomą linię, na której oparto coraz mniejsze okręgi według zasady pierwszy nad linią, drugi pod linią, trzeci nad linią, czwarty pod linią, piąty nad. Pierwszy z okręgów ma średnicę o długości 16

Oznaczmy:
$d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ , $\dots$ – długości kolejnych półokręgów
$d_{1} = \frac{2 π \cdot 16}{4} = 8 π$
$d_{2} = 8 π \cdot \frac{1}{2} = 4 π$
$d_{3} = 4 π \cdot \frac{1}{2} = 2 π$
$\dots$

Długości półokręgów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $8 π$ i ilorazie $q = \frac{1}{2}$ .

Obliczymy długość czwartego i długość piątego półokręgu.

$d_{4} = 8 π \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = π$

$d_{5} = 8 π \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{2} π$

Długość „fali” składającej się z pięciu półokręgów:

$8 π + 4 π + 2 π + π + \frac{1}{2} π = 15 \frac{1}{2} π$

Odpowiedź:

Długość „fali” składającej się z pięciu półokręgów jest równa $15 \frac{1}{2} π$ .

Przeczytaj

Sprawdź się