Przeczytaj
Podamy teraz przykłady ciągów geometrycznych nieskończonych. Nim przejdziemy do nowych zagadnień, przypomnienie definicji ciągu geometrycznego.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu.
Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , to dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:
W tym materiale przyjmować będziemy, że ciąg geometryczny określony jest dla , a w niektórych przypadkach dla .
Ciąg geometryczny potęg liczb naturalnych
Rozważymy na początek przykłady ciągów geometrycznych, których wyrazy są kolejnymi naturalnymi potęgami tej samej liczby naturalnej.
Ciągi te mają postać:
gdzie:
Możemy je też zapisać następująco:
gdzie:
Zauważmy, że pierwszy wyraz takiego ciągu to liczba , a iloraz jest równy .
Rozważmy ciąg , kolejnych naturalnych potęg liczby i ciąg sum kolejnych wyrazów tego ciągu.
Kolejne wyrazy ciągu | Kolejne wyrazy sumy | Postać ciągu | Suma częściowa ciągu |
---|---|---|---|
Na podstawie tabelki możemy wywnioskować, że suma kolejnych wyrazów ciągu, którego wyrazami są kolejne naturalne potęgi liczby , jest równa
, gdy
Możemy więc szybko na przykład obliczyć sumę początkowych kolejnych dziesięciu wyrazów takiego ciągu.
.
Rozważmy ciąg , kolejnych naturalnych potęg liczby i ciąg sum kolejnych wyrazów tego ciągu.
Kolejne wyrazy ciągu | Kolejne wyrazy sumy | Postać ciągu | Suma częściowa ciągu |
---|---|---|---|
Na podstawie tabelki możemy wywnioskować, że suma kolejnych wyrazów ciągu, którego wyrazami są kolejne naturalne potęgi liczby , jest równa
, gdy
Możemy więc szybko na przykład obliczyć sumę początkowych kolejnych dziesięciu wyrazów takiego ciągu.
.
Ciąg geometryczny odwrotności potęg liczb naturalnych
Następnym przykładem ciekawych ciągów, są ciągi geometryczne odwrotności potęg naturalnych liczb naturalnych.
Z reguły ciągi te mają postać:
lub
gdzie:
Zatem pierwszy wyraz takich ciągów to lub , a iloraz jest równy .
Poniżej przykłady obliczania sum początkowych wyrazów takich ciągów.
Kwadrat o boku rozcięto na dwa prostokąty o równych polach. Jeden z tych prostokątów rozcięto na dwa jednakowe kwadraty, z których jeden rozcięto znowu na dwa prostokąty o równych polach itd.
W ten sposób otrzymano ciąg figur – na przemian prostokątów i kwadratów o polach:
Ciąg liczb określających pola tych figur:
, , , , , , ,
jest ciągiem geometrycznym nieskończonym o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Zauważmy, że gdybyśmy dodali dowolnie dużo tych wyrazów do siebie, np. sto tysięcy, to i tak otrzymana suma nie będzie większa od (wszystkie figury mieszczą się w kwadracie o boku ).
W kwadrat o boku wpisano koło. W koło to wpisano kwadrat, w który znów wpisano koło, itd. W ten sposób określony został ciąg kwadratów. Obliczymy długość boku i pole dziesiątego z tak otrzymanych kwadratów.
Niech będzie ciągiem, którego wyrazami są długości boków kolejnych kwadratów.
Zauważmy, że promień koła wpisanego w –ty kwadrat równy jest połowie przekątnej –go kwadratu.
Wynika z tego, że;
Wnioskujemy, że ciąg, którego wyrazami są długości boków kolejnych kwadratów, to:
, , , , , ,
Jest on ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy , natomiast iloraz ciągu jest równy .
Wzór ogólny ciągu można więc zapisać w postaci
Obliczamy dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli długość boku dziesiątego kwadratu.
Niech będzie ciągiem liczb określających pola kolejnych kwadratów.
Zatem:
Ciąg liczb określających pola kolejnych kwadratów
, , , , , , , ,
stanowi ciąg geometrycznyciąg geometryczny nieskończony o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Wnioskujemy, że wzór ogólny ciągu można zapisać w postaci
Obliczamy pole dziesiątego z tak otrzymanych kwadratów.
Odpowiedź:
Długość boku dziesiątego kwadratu jest równa , a pole .
Ułamki dziesiętne okresowe
Niektóre ułamki zwykłe mają rozwinięcia dziesiętne okresowe. Na przykład:
Każdą z tych liczb można zapisać z wykorzystaniem sumy wyrazów odpowiedniego ciągu geometrycznego niekończonego.
Przykłady innych ciągów geometrycznych
Bardzo często w interpretacji zagadnień związanych z ciągami geometrycznymi, pomagają rysunki.
Poniżej dwa klasyczne zadania tego typu.
Spirala (patrz rysunek) składa się z siedmiu półokręgów o średnicach odpowiednio równych , , , ,
Obliczymy długość tej spirali.
Zauważmy, że długości średnic półokręgów, z których składa się spirala, tworzą siedmiowyrazowy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym i ilorazie .
Zatem i długości półokręgów, z których zbudowana jest spirala, będą tworzyły pewien ciąg geometrycznyciąg geometryczny, oznaczmy go .
Przy czym pierwszy wyraz tego ciągu będzie równy , a iloraz będzie nadal równy .
Obliczymy kolejne wyrazy ciągu .
Długość spirali wynosi:
.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości . Rysujemy kolejno trójkąty równoboczne , , , tak, że długość boku kolejnego trójkąta jest równa wysokości poprzedniego trójkąta. Obliczymy pole dziesiątego tak utworzonego trójkąta.
Aby obliczyć długości boków kolejnych trójkątów, korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku : .
Oznaczmy:
, , , – długości boków kolejnych trójkątów,
, , , – wysokości kolejnych trójkątów.
Wtedy:
Zauważmy, że długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Obliczamy długość boku trójkąta .
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, obliczamy pole trójkąta .
Odpowiedź:
Pole dziesiątego trójkąta jest równe .
Słownik
ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę , zwaną ilorazem ciągu