Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okrąg wpisany i opisany na trójkącie równobocznym

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony,

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje pojęcie trójkąta opisanego na okręgu;

• stosuje pojęcie trójkąta wpisanego w okrąg;

• stosuje twierdzenie Eulera o odległości między środkami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny;

• przeprowadza dowody geometryczne.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja;

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o podanie definicji trójkąta równobocznego i warunków równoważnych (równość boków, kątów, dwóch boków i odpowiednia miara dowolnego z kątów, relacje między wysokościami i środkowymi). Formułuje problem stosunku między promieniami okręgów opisanego i wpisanego w dowolny trójkąt (w tym miejscu warto na chwilę uruchomić dołączoną symulację interaktywną i poprosić o wykonanie Polecenia 3.).

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie pojęcia punktów szczególnych trójkąta i po chwili prezentuje rysunek, na którym zaznaczone są wybrane punkty szczególne: ortocentrum, środek ciężkości oraz punkty przecięcia się symetralnych i dwusiecznych. Następnie formułuje problem wzajemnego położenie tych punktów w trójkącie równobocznym – uczniowie formułują odpowiedź.

2. Następnie nauczyciel prezentuje przygotowany wcześniej rysunek trójkąta równobocznego i prosi o podanie zależności między promieniami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny i wysokościami trójkąta. Prosi o uzasadnienie podanej zależności. Następnie uczniowie rozwiązują w parach problemy opisane w zaproponowanych przykładach. Wybrany uczeń prezentuje rozwiązania na forum klasy.

3. Następnie nauczyciel prosi o uruchomienie dołączonej symulacji interaktywnej i wykonanie podanych tam poleceń. Nauczyciel przywołuje postać Eulera i formułuje twierdzenie o odległości między środkami okręgów opisanego i wpisanego i prosi uczniów o wyciągnięcie wniosków dotyczących trójkąta równobocznego.

4. Na koniec nauczyciel prezentuje zagadnienie Torricellego, jako przykład zastosowania okręgów opisanych na trójkącie równobocznym.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

• Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Zachęca uczniów do przeprowadzenia dowodu twierdzenia Eulera.

Materiały pomocnicze:

Okrąg wpisany w trójkątD1H1PzHOLOkrąg wpisany w trójkąt

Okrąg opisany na trójkącieD1BGWJdGlOkrąg opisany na trójkącie

Wskazówki metodyczne:

Symulację interaktywną można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można wykorzystać jako uzupełnienie tematu o okręgach opisanych i wpisanych w trójkąt prostokątny.