Autor: Elżbieta Miterka

Przedmiot: Matematyka

Temat: Dlaczego liczby bliźniacze nie są zaprzyjaźnione?

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy

Podstawa programowa:

I. Liczby rzeczywiste. Zakres podstawowy.

Uczeń:

2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:

a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,

b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozpoznaje (wskazuje) liczby pierwsze, bliźniacze, doskonałe, zaprzyjaźnione.

• wykorzystuje informacje o poznanych rodzajach liczb do rozwiązywania zadań.

• analizuje przeprowadzony dowód w zakresie istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych.

• testuje hipotezy w zakresie poznanych własności liczb.

Strategie nauczania:

• lekcja odwrócona;

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja;

• kreatywna rozmowa z wykorzystaniem symulacji i ćwiczeń interaktywnych.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca w parach;

• praca w grupach;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z głośnikami i dostępem do internetu, słuchawki;

• zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

Przebieg zajęć:

Faza wstępna

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

2. Zajęcia przeprowadzane metodą lekcji odwróconej. Na wcześniejszej lekcji nauczyciel dzieli klasę na 4 grupy, których zadaniem jest przygotowanie prezentacji multimedialnych.

• grupa 1: Spirala Ulama i sito Erastotenesa.

• grupa 2: Twierdzenie Euklidesa: liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

• grupa 3: Liczby Mersenne'a, bliźniacze, doskonałe i zaprzyjaźnione.

• grupa 4: Hipoteza Goldbacha: każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych.

Podczas przygotowywania prezentacji uczniowie wykorzystują e‑materiały oraz źródła internetowe. Powinni uwzględnić przede wszystkim materiały wizualne. Prezentacje powinny zawierać jak najmniej tekstu – jej treść przedstawią uczniowie ustnie podczas zajęć. Każda prezentacja może trwać nie dłużej niż 5 minut.

Faza realizacyjna

1. Grupy przedstawiają swoje prezentacje – komentują materiały wizualne zawarte w prezentacji.

Po każdej prezentacji następuje runda pytań do prelegentów. Uczniowie mogą uzupełnić wtedy swoje notatki, poprosic o wyjaśnienie niezrozumialych kwestii. Nauczyciel prosi też uczniów, o skomentowanie pracy kolegów i koleżanek: co w prezentacji im się podobało, a co można było przedstawić inaczej; czy mają jakieś rady dla autorów.

2. Uczniowie analizują dowód twierdzenia Euklidesa, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Następnie chętny/wybrany uczeń przeprowadza dowód na tablicy. Reszta klasy weryfikuje jego poprawność i w razie potrzeby uzupełnia informacje.

3. Praca w parach. Analiza danych w aplecie dotyczącym hipotezy Goldbacha: każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Uczniowie dyskutują, a następnie zapisują wnioski. W kolejnym kroku wybrane pary omawiają swoje opracowania na forum klasy i formułują wspólne wnioski.

4. Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne wskazane przez nauczyciela. Wspólnie omawiają odpowiedzi.

Faza podsumowująca

1. Na zakończenie zajęć nauczyciel zadaje uczniom pytania:

• Co na zajęciach wydało wam się ważne i ciekawe?

• Co było łatwe, a co trudne?

• Jak możecie wykorzystać wiadomości i umiejętności, które dziś zdobyliście?

Chętni/wybrani uczniowie podsumowują zajęcia.

Praca domowa:

Uczniowie wykonują ćwiczenie 11.

Materiały pomocnicze:

Zastosowanie liczb pierwszychDpYjKwOQqZastosowanie liczb pierwszych

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania multimedium:

Aplet może posłużyć też jako inspiracja do przygotowania przez uczniów symulacji dla liczb dodatnich z przedziału (50, 60).