Autor: Anna Rybak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Twierdzenie – jego budowa i związek ze zdaniem logicznym. Dlaczego implikacja jest ważna w dowodzeniu twierdzeń?

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

Cele kształcenia – wymagania ogólne

II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
2) Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków.

IV. Rozumowanie i argumentacja.
1) Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania.

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy. Uczeń:
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
a) dowód podzielności przez $24$ iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$;

VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna zasady budowy twierdzeń;

• wyodrębnia założenie i tezę w twierdzeniu;

• formułuje twierdzenia w formie implikacji;

• intuicyjnie określa prawdziwość lub nieprawdziwość twierdzenia, argumentując swoje zdanie – bez dowodzenia.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• burza mózgów;

• praca z tekstem matematycznym;

• dyskusja;

• ćwiczenia.

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu;

• zasoby multimedialne zawarte w e–materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie metodą burzy mózgów określają, co rozumieją pod pojęciami „twierdzenie”, podają przykłady znanych im twierdzeń.

2. Nauczyciel przedstawia uczniom temat – „Twierdzenie – jego budowa i związek ze zdaniem logicznym. Dlaczego implikacja jest ważna w dowodzeniu twierdzeń?”, wskazuje cele zajęć oraz ustala z nimi kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie wspólnie zapoznają się z informacjami w sekcji „Przeczytaj”. Czynią to partiami i w połączeniu z dyskusją nad poszczególnymi zagadnieniami. Analizują twierdzenia z Przykładu 1, po czym przypominają swoje wiadomości na temat implikacji. Następnie formułują twierdzenia z Przykładu 1 w formie implikacji, wyodrębniają założenie i tezę w każdym z nich, sprawdzają poprawność swoich wyników analizując Przykład 2.

2. Następnie analizują resztę materiału z sekcji „Przeczytaj”, zwracając uwagę na budowę twierdzenia odwrotnego do danego i na to, że twierdzenie odwrotne do danego (prawdziwego) nie musi być prawdziwe.

3. Omawiają Przykład 3 (twierdzenie odwrotne do danego nie jest prawdziwe) i Przykład 4 (twierdzenie w postaci równoważności).

4. Uczniowie indywidualnie analizują materiał przedstawiony w sekcji „ Prezentacja multimedialna” i wykonują Polecenie 2. Podsumowują w formie dyskusji tę część pracy.

5. Uczniowie wykonują ćwiczenia 1 i 2 z sekcji „Sprawdź się”, następnie dyskutują o rozwiązaniach sprawdzając ich poprawność i uzasadniając swoje decyzje. Wspólnie wypełniają tabelę umieszczoną pod ćwiczeniem 5. Dyskutują nad ćwiczeniem 8, proponując swoje sformułowania twierdzenia.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel zadaje uczniom pytania: Co było w lekcji trudne? Co było w lekcji interesujące? Co chcielibyście zmienić, gdyby lekcja miała być przeprowadzona jeszcze raz? Jeszcze raz krótko odnosi się do elementów wskazanych jako trudne, komentuje propozycje zmian w lekcji.

2. Uczniowie krótko podsumowują swoje osiągnięcia, rozwijając zdanie: Na dzisiejszych zajęciach można było dowiedzieć się ...

Praca domowa:

• Uczniowie wykonują ćwiczenia 6 i 7 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

• Twierdzenia i ich rodzaje

Wskazówki metodyczne:

• Prezentację multimedialną można też wykorzystać do przeprowadzenia następującej gry w parach:
  Uczeń/uczennica wybiera figurę i opisuje jej własności nie wymieniając nazwy, zaś kolega/koleżanka z pary ma za zadanie określić, jaka figura (z pokazanych w prezentacji) posiada te własności oraz sformułować twierdzenie dotyczące którejś z własności tej figury. Następnie osoby z pary zamieniają się rolami. Przykład: Figura posiada cztery równe boki, jej kąty nie są równe, przekątne przecinają się w połowie pod katem prostym. Opis dotyczy rombu. Przykładowe twierdzenie: Jeśli czworokąt jest rombem, to jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Można wzbogacić grę o element rywalizacji: kto sformułuje więcej twierdzeń dotyczących własności danej figury.