Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

II. Wyrażenia algebraiczne.

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${\left(a+b\right)}^2$, ${\left(a-b\right)}^2$, $a^2-b^2$, ${\left(a+b\right)}^3$, ${\left(a-b\right)}^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zapisuje sześcian dwumianu w postaci sumy, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia

• zamienia sumę algebraiczną na iloczyn, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy

• przekształca wyrażenia algebraiczne, z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy

• analizuje problem algebraiczny, dobiera odpowiedni model do jego rozwiązania

• stosuje wzory skróconego mnożenia w sytuacjach nietypowych, w tym do dowodzenia twierdzeń

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• metoda wędrujących plakatów

• konkurs zadaniowy

Formy pracy:

• praca w parach

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

• kartony, mazaki

Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów, aby w domu przypomnieli sobie poznane wzory skróconego mnożenia.

2. Uczniowie powinni też przypomnieć sobie w domu prawa działań na liczbach rzeczywistych, a w szczególności rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Faza wstępna:

Praca w parach. Uczniowie przypominają sposób mnożenia sum algebraicznych, podają przykłady obliczania potęg (również liczb niewymiernych), przypominają prawa działań na potęgach i pierwiastkach. Wykorzystują metodę wędrujących plakatów – jedna z par uczniów siedzących w tej samej ławce zapisuje odpowiedni przykład i podaje karton z zapisem osobom siedzącym w następnej ławce, itd.

W razie wątpliwości uczniowie proszą o pomoc nauczyciela.

Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, wspólnie z uczniami ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

Ćwiczenie 1
Praca w 4 grupach. Każda z grup ma za zadanie graficzne zobrazowanie i obliczenie dwoma sposobami objętości sześcianu o krawędzi długości:

• $m+3$ – pierwsza grupa

• $x+y$ – druga grupa

• $5+a$ – trzecia grupa

• $2a+5b$ – czwarta grupa

Ćwiczenie 2
Teraz grupy łączą się – grupa 1 z 2 oraz grupa 3 z 4. Zadaniem grup jest wymyślenie 2 podobnych przykładów takich, jak w ćwiczeniu 1. Przeanalizowanie wszystkich rozwiązanych przykładów i sformułowanie odpowiedniej zależności.

Ćwiczenie 3
Grupy udowadniają algebraicznie zapisane przez siebie wzory.

Prezentacja prac grup, wspólne zapisanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń.

Uczniowie w parach porównują uzyskane rezultaty z   podanymi w samouczku.

Wspólna praca uczniów – uczniowie kolejno podają przykłady sześcianu sumy, a ochotnicy zapisują na tablicy te przykłady w postaci sum.

Praca indywidualna uczniów – uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne.

Faza podsumowująca:

Podsumowaniem zajęć jest konkurs zadaniowy – zapisywanie w postaci sumy sześcianu wyrażenia arytmetycznego zawierającego co najmniej jeden pierwiastek.

Trzej ochotnicy zapisują na tablicy wymyślone przez siebie przykłady sześcianów wyrażeń arytmetycznych typu ${\left(a+\sqrt{b}\right)}^3$ – pierwszy poziom, ${\left(a+b\sqrt{c}\right)}^3$ – drugi poziom, ${\left(a\sqrt{b}+c\sqrt{d}\right)}^3$ – trzeci poziom. Przy czym w nawiasach mogą wystąpić też pierwiastki stopnia 3.

Wygrywa uczeń, który najszybciej pokona kolejne progi zadaniowe.

Końcowy element zajęć to podsumowanie przez uczniów pracy grup, określenie czy postawione cele zostały osiągnięte, wskazanie przez nauczyciela ważnych elementów zajęć, ocena pracy uczniów.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest wymyślenie lub poszukanie w dostępnych źródłach zastosowania wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy.

Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji.

Materiały pomocnicze:

Księga liczb, J.H. Conway, Wydawnictwo Naukowo‑Techniczne 1999 – rozdział o trójkącie Pascala.

Działania na wyrażeniach algebraicznych - przykładyDiDjdo3UGDziałania na wyrażeniach algebraicznych - przykłady

Wskazówki metodyczne:

Samouczek można wykorzystać do samodzielnej pracy uczniów, jako wstęp do zajęć.