1. $\left(-\sqrt{2},4\sqrt{2}\right)$

2. $\left(-2,3\sqrt{3}\right)$

3. $\left(-4\sqrt{2},0\right)$

4. $\left(1, 3\right)$

1. $\left|\mathrm{AB}\right|=5\sqrt{2}$, $\left|\mathrm{AC}\right|=10$, $\left|\mathrm{BC}\right|=5\sqrt{2}$. Obwód $L=10+10\sqrt{2}$.

2. $\left|\mathrm{AB}\right|=5$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{97}$, $\left|\mathrm{BC}\right|=10$. Obwód $L=15+\sqrt{97}$.

3. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{2}$, $\left|\mathrm{AC}\right|=3\sqrt{2}$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=2\sqrt{2}$. Obwód $L=6\sqrt{2}$.

1. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(1+4\right)}^2+{\left(6-1\right)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(6+4\right)}^2}=\sqrt{100}=10$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{{\left(-4-1\right)}^2+{\left(1+4\right)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
   Obwód $L=10+10\sqrt{2}$.

2. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(8-5\right)}^2}=\sqrt{25}=5$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(2-6\right)}^2+{\left(8+1\right)}^2}=\sqrt{97}$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{{\left(-2-6\right)}^2+{\left(5+1\right)}^2}=\sqrt{100}=10$.
   Obwód $L=15+\sqrt{97}$.

3. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(1+2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}-4+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(1+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{2}$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}-4+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$ .
   Obwód $L=6\sqrt{2}$.

1. Równanie prostej zawierającej środkową: $x=2$

2. Równanie prostej zawierającej środkową: $y=4$

3. Równanie prostej zawierającej środkową: $y=\frac{2}{3}x$

4. Równanie prostej zawierającej środkową: $y=\frac{3}{5}x+2\frac{1}{5}$

1. Środek odcinka $\mathrm{BC}$: $S=\left(\mathrm{2,2}\right)$. Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A=\left(\mathrm{2,8}\right)$ i $S=\left(\mathrm{2,2}\right)$ . Równanie tej prostej ma postać $x=2.$

2. Środek odcinka $\mathrm{BC}$: $S=\left(\mathrm{5,4}\right)$. Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A=(-\mathrm{3,4})$ i $S=\left(\mathrm{5,4}\right)$. Równanie tej prostej ma postać $y=4$.

3. Środek odcinka $\mathrm{BC}$: $S=\left(\mathrm{3,2}\right)$. Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A=\left(\mathrm{0,0}\right)$ i $S=\left(\mathrm{3,2}\right).$ Równanie tej prostej ma postać $y=\frac{2}{3}x.$

4. Środek odcinka $\mathrm{BC}$: $S=\left(\mathrm{3,4}\right)$. Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A=(-\mathrm{2,1})$ i $S=\left(\mathrm{3,4}\right)$. Równanie tej prostej ma postać $y=\frac{3}{5}x+2\frac{1}{5}.$

1. Przekątna $\left|\mathrm{AC}\right|=5\sqrt{2}.$ Współrzędne wierzchołka $D=(2,-1)$.

2. Przekątna $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{65}.$ Współrzędne wierzchołka $D=\left(\mathrm{5,2}\right)$.

3. Przekątna $\left|\mathrm{AC}\right|=15.$ Współrzędne wierzchołka $D=(6,-9)$.

1. Przekątna $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(-2-7\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S=\left(\frac{-2+5}{2}, \frac{3+2}{2}\right)=(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$ . Zatem $\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)=(\frac{1+x_D}{2}, \frac{6+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=2$ i $y_D=-1$.

2. Przekątna $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{65}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S=\left(\frac{2+1}{2}, \frac{8}{2}\right)=(\frac{3}{2},4)$ . Zatem $\left(\frac{3}{2},4\right)=(\frac{-2+x_D}{2}, \frac{6+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=5$ i $y_D=2$.

3. Zauważ, że punkty $A$ i $C$mają pierwszą współrzędną równą $0$, zatem leżą na osi $\mathrm{Oy}$. Długość przekątnej $\mathrm{AC}$ jest równa $\left|y_A-y_C\right|=\left|3+12\right|=15.$ Środek przekątnych również leży na osi $\mathrm{Oy}$ i ma współrzędne $S=\left(0,\frac{3-12}{2}\right)=\left(0,-\frac{9}{2}\right).$ Zatem $\left(0,-\frac{9}{2}\right)=(\frac{-6+x_D}{2}, \frac{y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=6$ i $y_D=-9$.

1. $\left|\mathrm{AB}\right|=$$\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{65}$. Trójkąt jest równoramienny.

2. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{85}$ , $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{85}$ .Trójkąt jest równoramienny.

3. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{5}0$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{106}$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{104}$ .Trójkąt nie jest równoramienny.

1. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(2+5\right)}^2+{\left(-7+3\right)}^2}=\sqrt{65}$ , $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(2-6\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{65}$ . Trójkąt jest równoramienny.

2. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(1+5\right)}^2+{\left(-6-1\right)}^2}=\sqrt{85}$ , $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(1-7\right)}^2+{\left(-6-1\right)}^2}=\sqrt{85}$ . Trójkąt jest równoramienny.

3. $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{{\left(1-8\right)}^2+{\left(-5+6\right)}^2}=\sqrt{5}0$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{{\left(1-6\right)}^2+{\left(-5-4\right)}^2}=\sqrt{106}$ , $\left|\mathrm{BC}\right|=\sqrt{{\left(8-6\right)}^2+{\left(-6-4\right)}^2}=\sqrt{104}$ . Trójkąt nie jest równoramienny.

1. $C=\left(\mathrm{6,4}\right)$, $D=(-\mathrm{1,5})$

2. $C=(-5,-5)$, $D=\left(\mathrm{3,3}\right)$

3. $C=(-7,-2)$, $D=\left(\mathrm{0,2}\right)$

4. $C=(4,-3)$, $D=\left(\mathrm{9,0}\right)$

Punkt $S$ jest środkiem każdej przekątnej równoległoboku.

1. Przekątna $\mathrm{AC}$: $S=\left(\mathrm{3,0}\right)=(\frac{0+x_C}{2}, \frac{-4+y_C}{2})$. Z tego wynika, że $x_C=6$ i $y_C=4$.
   Przekątna $\mathrm{BD}$: $S=\left(\mathrm{3,0}\right)=(\frac{7+x_D}{2}, \frac{-5+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=-1$ i $y_D=5$.

2. Przekątna $\mathrm{AC}$: $S=\left(2,-2\right)=(\frac{9+x_C}{2}, \frac{1+y_C}{2})$. Z tego wynika, że $x_C=-5$ i $y_C=-5$.
   Przekątna $\mathrm{BD}$: $S=\left(2,-2\right)=(\frac{1+x_D}{2}, \frac{-7+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=3$ i $y_D=3$.

3. Przekątna $\mathrm{AC}$: $S=\left(0,-1\right)=(\frac{7+x_C}{2}, \frac{y_C}{2})$. Z tego wynika, że $x_C=-7$ i $y_C=-2$.
   Przekątna $\mathrm{BD}$: $S=\left(0,-1\right)=(\frac{x_D}{2}, \frac{-4+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=0$ i $y_D=2$.

4. Przekątna $\mathrm{AC}$: $S=\left(7,-\frac{7}{2}\right)=(\frac{10+x_C}{2}, \frac{{-4+y}_C}{2})$. Z tego wynika, że $x_C=4$ i $y_C=-3$.
   Przekątna $\mathrm{BD}$: $S=\left(7,-\frac{7}{2}\right)=(\frac{{5+x}_D}{2}, \frac{-7+y_D}{2})$. Z tego wynika, że $x_D=9$ i $y_D=0$.

prosta $A{S}_1:y=\frac{1}{2}x-1$
prosta $B{S}_2:y=-\frac{11}{2}x+7$
prosta $C{S}_3:y=-\frac{7}{10}x+\frac{3}{5}$

R1NSPQMOUxt9t1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych. Poprowadzono proste, które zawierają środkowe trójkąta AS z indeksem dolnym jeden, BS z indeksem dolnym dwa, CS z indeksem dolnym trzy.

• Prosta zawierająca środkową $A{S}_1$ przechodzi przez wierzchołek $A$ i punkt $S_1$ – środek boku $\mathrm{CB}$.

Równanie prostej $A{S}_1$ ma postać $y=\frac{1}{2}x-1$

• Prosta zawierająca środkową $B{S}_2$ przechodzi przez wierzchołek $B$ i punkt $S_2$ – środek boku $\mathrm{AC}$.

Równanie prostej $B{S}_2$ ma postać $y=-\frac{11}{2}x+7$

• Prosta zawierająca środkową $C{S}_3$ przechodzi przez wierzchołek $C$ i punkt $S_3$ – środek boku $\mathrm{AB}$.

Równanie prostej $C{S}_3$ ma postać $y=-\frac{7}{10}x+\frac{3}{5}$.

Trójkąty $\mathrm{ABC }$i $A_1{B}_1{C}_1$ są podobne.

Długości boków trójkąta $\mathrm{ABC}$: $\left|\mathrm{AB}\right|=\sqrt{10}$, $\left|\mathrm{AC}\right|=\sqrt{10}$, $\left|\mathrm{BC}\right|=2\sqrt{5}$.
Długości boków trójkąta $A_1{B}_1{C}_1$: $\left|A_1{B}_1\right|=2\sqrt{10}$, $\left|A_1{C}_1\right|=2\sqrt{10}$, $\left|B_1{C}_1\right|=4\sqrt{5}$.
Odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne, ponieważ $\frac{\left|\mathrm{AB}\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$ , $\frac{\left|\mathrm{AC}\right|}{\left|A_1{C}_1\right|}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$ oraz $\frac{\left|\mathrm{BC}\right|}{\left|B_1{C}_1\right|}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$ . Wynika z tego, że trójkąty $\mathrm{ABC}$i $A_1{B}_1{C}_1$ są podobne.

$m=2$

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $\mathrm{AB}$, zatem

Oba równania są prawdziwe dla $m=2$.

$m=5$ lub $m=4\frac{1}{5}$

Długość odcinka $\mathrm{AB}$ możemy zapisać

Zatem otrzymamy równanie

Ponieważ liczby pod pierwiastkiem są nieujemne, to równanie można zapisać w postaci

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i uporządkowaniu wyrażeń otrzymamy równanie kwadratowe

Rozwiązaniami tego równania są liczby $m=5$ lub $m=4\frac{1}{5}$ .