Długość odcinka. Środek odcinka
Materiał ten poświęcony jest długości i środkowi odcinka. Analizując zawarte tu przykłady, przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.
Oblicz długość odcinka o końcach w punktach i .
Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek jest jego przeciwprostokątną.
Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowiadających tym punktom.
Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości i .
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej .
Punkty i są końcami odcinka . Oblicz długość odcinka .
Długość odcinka , którego końcami są punkty i obliczamy ze wzoru
Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:
gdy odcinek jest równoległy do osi , wtedy
gdy odcinek jest równoległy do osi , wtedy
Środek odcinka
Ola ma wzrostu, a jej brat Marcin . Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb i , czyli
Na osi liczbowej liczba jest jednakowo oddalona od obu liczb i .
Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.
Punkty i są końcami odcinka . Wyznacz współrzędne środka odcinka .
Współrzędne punktu , który jest środkiem odcinka o końcach w punktach i są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka .
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach , i jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.
Zauważ, że drugie współrzędne punktów i są równe , co oznacza, że odcinek jest równoległy do osi . Jego długość jest równa
Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór.
Wtedy:
Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.
Obwód trójkąta jest równy:
Oblicz długość przekątnej prostokąta o wierzchołkach w punktach:
, i . Wyznacz współrzędne wierzchołka .
Przekątna prostokąta jest równa długości odcinka
Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie , który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej jest również środkiem przekątnej .
Środek przekątnej ma współrzędne
Niech .
jest środkiem odcinka , a zatem
Wynika z tego, że .
Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka w trójkącie o wierzchołkach w punktach
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Naprzeciw wierzchołka leży bok , którego środek ma współrzędne
Środkowa poprowadzona z wierzchołka leży na prostej i ma równanie .
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
a punkt jest jej punktem przecięcia z osią . Wynika z tego, że .
Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka ma postać:
Punkty i są wierzchołkami rombu , a punkt jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt jest środkiem przekątnej , zatem
czyli
Podobnie obliczymy współrzędne punktu .
Punkt jest środkiem odcinka . Znajdź brakujące współrzędne.
Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka .
Punkty , , są wierzchołkami prostokąta . Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
, ,
, ,
, ,
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie . Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.
, ,
, ,
, ,
, ,