Długość odcinka. Środek odcinka
Materiał ten poświęcony jest długości i środkowi odcinka. Analizując zawarte tu przykłady, przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.
Oblicz długość odcinka o końcach w punktach i .
Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek jest jego przeciwprostokątną.
Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowiadających tym punktom.
Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości i .
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej .
Punkty i są końcami odcinka . Oblicz długość odcinka .

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R15EKCFCmQySS
Animacja pokazuje w jaki sposób możemy obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych.
Długość odcinka , którego końcami są punkty i obliczamy ze wzoru
Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:
gdy odcinek jest równoległy do osi , wtedy
gdy odcinek jest równoległy do osi , wtedy
Środek odcinka
Ola ma wzrostu, a jej brat Marcin . Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb i , czyli
Na osi liczbowej liczba jest jednakowo oddalona od obu liczb i .
Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.
Punkty i są końcami odcinka . Wyznacz współrzędne środka odcinka .

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JMWtEg1KnYg
Animacja przedstawia w jaki sposób możemy wyznaczyć środek odcinka w układzie współrzędnych.
Współrzędne punktu , który jest środkiem odcinka o końcach w punktach i są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka .

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P92hhwoi6
Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach , i jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.
Zauważ, że drugie współrzędne punktów i są równe , co oznacza, że odcinek jest równoległy do osi . Jego długość jest równa
Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór.
Wtedy:
Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.
Obwód trójkąta jest równy:
Oblicz długość przekątnej prostokąta o wierzchołkach w punktach:
, i . Wyznacz współrzędne wierzchołka .
Przekątna prostokąta jest równa długości odcinka
Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie , który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej jest również środkiem przekątnej .
Środek przekątnej ma współrzędne
Niech .
jest środkiem odcinka , a zatem
Wynika z tego, że .
Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka w trójkącie o wierzchołkach w punktach
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
Naprzeciw wierzchołka leży bok , którego środek ma współrzędne
Środkowa poprowadzona z wierzchołka leży na prostej i ma równanie .
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
a punkt jest jej punktem przecięcia z osią . Wynika z tego, że .
Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka ma postać:
Punkty i są wierzchołkami rombu , a punkt jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt jest środkiem przekątnej , zatem
czyli
Podobnie obliczymy współrzędne punktu .
Punkt jest środkiem odcinka . Znajdź brakujące współrzędne.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/P92hhwoi6
Odpowiedź: Współrzędne to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. .
,
Odpowiedź: Współrzędne to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. .
,
Odpowiedź: Współrzędne to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. .
,
Odpowiedź: Współrzędne to 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. .
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest równaniem okręgu o środku w punkcie i promieniu .
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest równaniem okręgu o środku w punkcie i promieniu .
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest równaniem okręgu o środku w punkcie i promieniu .
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13.
1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13.
Środkowa trójkąta o końcach w punktach i leży na prostej, którą można opisać wzorem 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. .
Środkowa trójkąta o końcach w punktach i leży na prostej, którą można opisać wzorem 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. .
Trójkąt o wierzchołkach , i ma w przybliżeniu obwód równy 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. .
Trójkąt o wierzchołkach , i ma w przybliżeniu obwód równy 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. .
Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
Obwód trójkąta wynosi 1. , 2. , 3. , 4. .
Obwód trójkąta wynosi 1. , 2. , 3. , 4. .
Obwód trójkąta wynosi 1. , 2. , 3. , 4. .
Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka .
Punkty , , są wierzchołkami prostokąta . Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.
, ,
, ,
, ,
Odpowiedź: 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , Trójkąt 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. równoramienny.
, ,
Odpowiedź: 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , Trójkąt 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. równoramienny.
, ,
Odpowiedź: 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. , Trójkąt 1. , 2. , 3. nie jest, 4. , 5. , 6. , 7. , 8. jest, 9. , 10. nie jest, 11. , 12. , 13. , 14. , 15. , 16. jest, 17. równoramienny.
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie . Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.
, ,
, ,
, ,
, ,
prosta : 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. ,
prosta : 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. .
, , oraz , , . Uzupełnij poniższe zdanie, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąty i 1. nie są, 2. są podobne.