Długość odcinka. Środek odcinka - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Materiał ten poświęcony jest długości i środkowi odcinka. Analizując zawarte tu przykłady, przypomnisz sobie podstawowe wzory oraz sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.

Przykład 1

Oblicz długość odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (- 5, 2)$ i $B = (1, 6)$ .

Zbudujmy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równoległe do osi układu współrzędnych, a odcinek $A B$ jest jego przeciwprostokątną.

Odległość punktów na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej różnicy liczb, odpowiadających tym punktom.

Rpdb1hpG0vtYB1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C w układzie współrzędnych, w którym odcinek AB jest przeciwprostokątną. Punkt A ma współrzędne (-5, 2), punkt B ma współrzędne (1, 6), a punkt C ma współrzędne (1, 2). Na rysunku wyszczególniono, że długość odcinka A C jest równa 1--5=6, a odcinka B C jest równa 6-2=4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem przyprostokątne tego trójkąta mają długości $|A C| = 6$ i $|B C| = 4$ .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej $A B$ .

{|A B|}^{2} = {|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}

{|A B|}^{2} = 6^{2} + 4^{2}

{|A B|}^{2} = 52

|A B| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}

Przykład 2

Punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ są końcami odcinka $A B$ . Oblicz długość odcinka $A B$ .

R15EKCFCmQySS1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

R4OOlJw5oMn6i1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i pionową osią Y. W układzie narysowano odcinek A B, którego końce mają współrzędne A =(x z indeksem dolnym a, y z indeksem dolnym a) i B =(x z indeksem dolnym b, y z indeksem dolnym b). Przerywanymi liniami narysowano odcinki, które tworzą z odcinkiem A B trójkąt prostokątny w taki sposób, że odcinek A B jest przeciwprostokątną. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości yb-ya i xb-xa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość odcinka $A B$ , którego końcami są punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ obliczamy ze wzoru

|A B| = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}

Zauważmy, że wzór jest prawdziwy w szczególnych przypadkach:

gdy odcinek $A B$ jest równoległy do osi $X$ , wtedy

y_{A} = y_{B}

|A B| = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2}} = |x_{A} - x_{B}|

gdy odcinek $A B$ jest równoległy do osi $Y$ , wtedy

x_{A} = x_{B}

|A B| = \sqrt{{(y_{A} - y_{B})}^{2}} = |y_{A} - y_{B}|

Środek odcinka

Przykład 3

Ola ma $160 cm$ wzrostu, a jej brat Marcin $190 cm$ . Oblicz średni wzrost rodzeństwa.
Średni wzrost brata i siostry odpowiada średniej arytmetycznej liczb $160$ i $190$ , czyli

x = \frac{160 + 190}{2} = 175 (cm)

Na osi liczbowej liczba $175$ jest jednakowo oddalona od obu liczb $160$ i $190$ .

R1VVLC7e1Wl7N1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi liczbami 150, 155, 160, …, 195, 200. Wyróżnione liczby 160, 175, 190. Zaznaczona odległość między liczbami 160 i 175 oraz między 175 i 190 równa 15. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności średniej arytmetycznej dwóch liczb wynika, że liczba odpowiadająca średniej dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie pośrodku między tymi dwoma liczbami.

Przykład 4

Punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ są końcami odcinka $A B$ . Wyznacz współrzędne środka odcinka $A B$ .

R1JMWtEg1KnYg1

Zapamiętaj!

R2uV64fUeKD6T1

Rysunek odcinka AB w układzie współrzędnych, którego końce mają współrzędne A =(x z indeksem dolnym a, y z indeksem dolnym a) i B =(x z indeksem dolnym b, y z indeksem dolnym b). Zaznaczony środek odcinka S i jego współrzędne. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu $S$ , który jest środkiem odcinka o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ są średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców odcinka $A B$ .

S = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

RGlrjUvsy8t1H11

Przykład 5

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach $A = (2, 2)$ , $B = (- 3, 6)$ i $C = (5, 6)$ jest równoramienny. Oblicz obwód tego trójkąta.

RQE1mBLNi29FE1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(2, 2), B =(-3, 6), C =(5, 6). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka, obliczymy długości boków trójkąta.

|A B| = \sqrt{{(2 + 3)}^{2} + {(2 - 6)}^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}

|A C| = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(2 - 6)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Zauważ, że drugie współrzędne punktów $B$ i $C$ są równe $6$ , co oznacza, że odcinek $B C$ jest równoległy do osi $X$ . Jego długość jest równa

|B C| = |5 + 3| = 8

Długość tego odcinka możemy również obliczyć, wykorzystując odpowiedni wzór.

Wtedy:

|B C| = \sqrt{{(- 3 - 5)}^{2} + {(6 - 6)}^{2}} = \sqrt{64} = 8

Każdy bok tego trójkąta ma inną długość, zatem nie jest on równoramienny.

Obwód trójkąta jest równy:

O b = 5 + 8 + \sqrt{41} = 13 + \sqrt{41}

Przykład 6

Oblicz długość przekątnej prostokąta $A B C D$ o wierzchołkach w punktach:

$A = (- 5, - 1)$ , $B = (5, - 5)$ i $C = (7, 0)$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka $D$ .

RizJSm3TaYNZk1

Rysunek boków AB i CD prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna prostokąta $A B C D$ jest równa długości odcinka

|A C| = \sqrt{{(- 5 - 7)}^{2} + {(- 1 - 0)}^{2}} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}

Przekątne w prostokącie przecinają się w punkcie $S$ , który jest środkiem każdej z nich. Wynika z tego, że środek przekątnej $A C$ jest również środkiem przekątnej $B D$ .

Środek $S$ przekątnej $A C$ ma współrzędne

S = (\frac{- 5 + 7}{2}, \frac{- 1 + 0}{2}) = (1, - \frac{1}{2})

R1eI3e66O8EQD1

Rysunek boków AB i CD prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0). Zaznaczony środek S przekątnej AC. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Niech $D = (x_{D}, y_{D})$ .

$S = (1, - \frac{1}{2})$ jest środkiem odcinka $B D$ , a zatem

(1, - \frac{1}{2}) = (\frac{5 + x_{D}}{2}, \frac{- 5 + y_{D}}{2})

1 = \frac{5 + x_{D}}{2}

- \frac{1}{2} = \frac{- 5 + y_{D}}{2}

x_{D} = - 3

y_{D} = 4

Wynika z tego, że $D = (- 3, 4)$ .

R1LB79rylPSUI1

Rysunek prostokąta A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A =(-5, -1), B =(5, -5), C =(7, 0), D =(-3, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, na której leży środkowa poprowadzona z wierzchołka $C$ w trójkącie o wierzchołkach w punktach

A = (- 2, - 5)

B = (8, 1)

C = (0, 4)

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

Naprzeciw wierzchołka $C$ leży bok $A B$ , którego środek ma współrzędne

S = (\frac{- 2 + 8}{2}, \frac{- 5 + 1}{2}) = (3, - 2)

Środkowa poprowadzona z wierzchołka $C$ leży na prostej $C S$ i ma równanie $y = a x + b$ .

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy

a = \frac{4 + 2}{0 - 3} = - 2

a punkt $C = (0, 4)$ jest jej punktem przecięcia z osią $Y$ . Wynika z tego, że $b = 4$ .

Równanie prostej zawierającej środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ ma postać:

y = - 2 x + 4

R18ybken2DLir1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych o wierzchołkach A =(-2, -5), B =(8, 1), C =(0, 4). Zaznaczony środek S odcinka AB. Poprowadzona z wierzchołka C prosta zawierająca środkową trójkąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Punkty $A = (- 3, 7)$ i $B = (4, 8)$ są wierzchołkami rombu $A B C D$ , a punkt $S = (3, 5)$ jest jego środkiem symetrii. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

Środek symetrii rombu jest jednocześnie środkiem każdej przekątnej tego rombu.
Punkt $S = (3, 5)$ jest środkiem przekątnej $A C$ , zatem

(3, 5) = (\frac{- 3 + x_{C}}{2}, \frac{7 + y_{C}}{2})

czyli

3 = \frac{- 3 + x_{C}}{2}

5 = \frac{7 + y_{C}}{2}

x_{C} = 9

y_{C} = 3

C = (9, 3)

Podobnie obliczymy współrzędne punktu $D$ .

(3, 5) = (\frac{4 + x_{D}}{2}, \frac{8 + y_{D}}{2})

3 = \frac{4 + x_{D}}{2}

5 = \frac{8 + y_{D}}{2}

x_{D} = 2

y_{D} = 2

D = (2, 2)

RGBHeetGQ7doc1

Rysunek rombu A B C D w układzie współrzędnych o wierzchołkach w punktach o współrzędnych A równa się minus trzy, siedem, B równa się cztery, osiem, C równa się dziewięć, trzy, D równa się dwa, dwa. Zaznaczony jest także punkt przecięcia przekątnych tego rombu, który oznaczono S i ma on współrzędne trzy, pięć. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ . Znajdź brakujące współrzędne.

RtdikCA3PTUil1

R144vdkxT0ori

Ćwiczenie 1

Wyznacz współrzędne środka odcinka o końcach w punktach

A

B

. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

A = (\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})

B = (- 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2})

Odpowiedź: Współrzędne to

(

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

,

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

)

A = (1, 3 \sqrt{3})

B = (- 5, 3 \sqrt{3})

Odpowiedź: Współrzędne to

(

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

,

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

)

A = (- 4 \sqrt{2}, - 3)

B = (- 4 \sqrt{2}, 3)

Odpowiedź: Współrzędne to

(

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

,

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

)

A = (1 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{3})

B = (1 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{3})

Odpowiedź: Współrzędne to

(

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

,

- 2 \sqrt{2}

, 2.

4

, 3.

3 \sqrt{3}

, 4.

- 3 \sqrt{3}

, 5.

3

, 6.

- 1

, 7.

4 \sqrt{2}

, 8.

- 2

, 9.

\sqrt{2}

, 10.

- 4 \sqrt{2}

, 11.

1

, 12.

0

, 13.

- \sqrt{2}

)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RAweZ8eeTFQcc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NskvEJjhep3

Jeżeli znamy współrzędne środka okręgu

S = (a, b)

oraz długość jego promienia

r

, to możemy zapisać równanie okręgu następująco:

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie równania lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. 1.

x^{2} + y^{2} = 1

, 2.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 2

, 3.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9

, 4.

{(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9

, 5.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 4

, 6.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

, 7.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

, 8.

{(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

jest równaniem okręgu o środku w punkcie

(2, - 3)

i promieniu

\sqrt{2}

.
1.

x^{2} + y^{2} = 1

, 2.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 2

, 3.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9

, 4.

{(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9

, 5.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 4

, 6.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

, 7.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

, 8.

{(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

jest równaniem okręgu o środku w punkcie

(0, 0)

i promieniu

1

.
1.

x^{2} + y^{2} = 1

, 2.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 2

, 3.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9

, 4.

{(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9

, 5.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 4

, 6.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

, 7.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

, 8.

{(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

jest równaniem okręgu o środku w punkcie

(0, 3)

i promieniu

3

.
1.

x^{2} + y^{2} = 1

, 2.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 2

, 3.

x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9

, 4.

{(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9

, 5.

{(x - 2)}^{2} + (y + 3) = 4

, 6.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

, 7.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

, 8.

{(x + 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1

jest równaniem okręgu o środku w punkcie

(- 3, - 3)

i promieniu

1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1Co2BKJ3gdlN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15Z289NdbKgi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

RVHqq4FpzCwZE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rit9QiiphuOYx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RyskIOyEEiapi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JU3hNdKm8K6

Punkty

A = (- 3, 2)

B = (1, 4)

C = (0, - 4)

D = (4, - 2)

są wierzchołkami prostokąta

A B C D

. Oblicz długość odpowiednich odcinków, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

|B D| =

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

|A D| =

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

|A B| =

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

\sqrt{14}

, 2.

\sqrt{65}

, 3.

8

, 4.

2

, 5.

4

, 6.

64

, 7.

\sqrt{5}

, 8.

12

, 9.

1

, 10.

3

, 11.

\sqrt{11}

, 12.

\sqrt{5}

, 13.

\sqrt{63}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RoEYorSkW5i4W

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RYoir5KyJ7Rmo

Dopasuj wzór do środkowych odpowiednich trójkątów. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Środkowa trójkąta o końcach w punktach

A = (- 2, 5)

B = (- 2 \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{2})

leży na prostej, którą można opisać wzorem 1.

y = - 5 x + 20

, 2.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 3.

y = 2 x - 2

, 4.

y = - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7}

, 5.

y = 5 x + 15

, 6.

y = \frac{1}{2} x + 8

, 7.

y = 4 x + 1

, 8.

y = 2 x + \frac{1}{2}

.
Środkowa trójkąta o końcach w punktach

A = (2, 1)

B = (5 \frac{1}{2}, - 1)

leży na prostej, którą można opisać wzorem 1.

y = - 5 x + 20

, 2.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 3.

y = 2 x - 2

, 4.

y = - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7}

, 5.

y = 5 x + 15

, 6.

y = \frac{1}{2} x + 8

, 7.

y = 4 x + 1

, 8.

y = 2 x + \frac{1}{2}

.
Środkowa trójkąta o końcach w punktach

A = (5, - 5)

B = (5 \frac{1}{2}, - 7 \frac{1}{2})

leży na prostej, którą można opisać wzorem 1.

y = - 5 x + 20

, 2.

y = \frac{1}{2} x - 2

, 3.

y = 2 x - 2

, 4.

y = - \frac{4}{7} x + \frac{15}{7}

, 5.

y = 5 x + 15

, 6.

y = \frac{1}{2} x + 8

, 7.

y = 4 x + 1

, 8.

y = 2 x + \frac{1}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1KGM0POVksOx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SQzah4mgIUK

Dopasuj przybliżoną wartość obwodów do odpowiednich trójkątów. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Trójkąt o wierzchołkach

A = (- 1, 2)

B = (- 2, 5)

C = (- 4, 3)

ma w przybliżeniu obwód równy 1.

16, 53

, 2.

17, 86

, 3.

10, 16

, 4.

30, 86

, 5.

9, 86

, 6.

16, 3

, 7.

30, 90

, 8.

9, 15

.
Trójkąt o wierzchołkach

A = (2, 1)

B = (3, - 3)

C = (8, 1)

ma w przybliżeniu obwód równy 1.

16, 53

, 2.

17, 86

, 3.

10, 16

, 4.

30, 86

, 5.

9, 86

, 6.

16, 3

, 7.

30, 90

, 8.

9, 15

.
Trójkąt o wierzchołkach

A = (- 2, - 7)

B = (5, - 5)

C = (13, - 8)

ma w przybliżeniu obwód równy 1.

16, 53

, 2.

17, 86

, 3.

10, 16

, 4.

30, 86

, 5.

9, 86

, 6.

16, 3

, 7.

30, 90

, 8.

9, 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są podane punkty i uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wyrażenia lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

RwPhCXMQ2OrSi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RScCnwU5NxBv2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NRfsLHSgqY6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$|A B| = \sqrt{{(1 + 4)}^{2} + {(6 - 1)}^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ , $|A C| = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(6 + 4)}^{2}} = \sqrt{100} = 10$ , $|B C| = \sqrt{{(- 4 - 1)}^{2} + {(1 + 4)}^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ .
Obwód $L = 10 + 10 \sqrt{2}$ .
$|A B| = \sqrt{{(2 + 2)}^{2} + {(8 - 5)}^{2}} = \sqrt{25} = 5$ , $|A C| = \sqrt{{(2 - 6)}^{2} + {(8 + 1)}^{2}} = \sqrt{97}$ , $|B C| = \sqrt{{(- 2 - 6)}^{2} + {(5 + 1)}^{2}} = \sqrt{100} = 10$ .
Obwód $L = 15 + \sqrt{97}$ .
$|A B| = \sqrt{{(2 \sqrt{2} - \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2} + \sqrt{2})}^{2}} =$ $= \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2}} = 2$ , $|A C| = \sqrt{{(3 \sqrt{2} - \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2} + \sqrt{2})}^{2}} =$ $= \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}} = 4$ , $|B C| = \sqrt{{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{2})}^{2}} =$ $= \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(3 \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ .
Obwód $L = 6 + 2 \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 9

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową trójkąta $A B C$ poprowadzoną z wierzchołka $A$ .

R4DjXbCEilTtc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RrAG3D1k5f88n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RaBXiadxoJkFj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RU2ujfoQKRf5g

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Środek odcinka $B C$ : $S = (2, 2)$ . Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A = (2, 8)$ i $S = (2, 2)$ . Równanie tej prostej ma postać $x = 2$ .
Środek odcinka $B C$ : $S = (5, 4)$ . Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A = (- 3, 4)$ i $S = (5, 4)$ . Równanie tej prostej ma postać $y = 4$ .
Środek odcinka $B C$ : $S = (3, 2)$ . Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A = (0, 0)$ i $S = (3, 2)$ . Równanie tej prostej ma postać $y = \frac{2}{3} x$ .
Środek odcinka $B C$ : $S = (3, 4)$ . Prosta zawierająca środkową przechodzi przez punkty $A = (- 2, 1)$ i $S = (3, 4)$ . Równanie tej prostej ma postać $y = \frac{3}{5} x + 2 \frac{1}{5}$ .

Ćwiczenie 10

Punkty $A$ , $B$ , $C$ są wierzchołkami prostokąta $A B C D$ . Oblicz długość przekątnej prostokąta oraz wyznacz współrzędne wierzchołka $D$ . Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

$A = (- 2, 3)$ , $B = (1, 6)$ , $C = (5, 2)$
$A = (2, 0)$ , $B = (- 2, 6)$ , $C = (1, 8)$
$A = (0, 3)$ , $B = (- 6, 0)$ , $C = (0, - 12)$

RxfGrNs6xowTS

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna $|A C| = \sqrt{{(- 2 - 5)}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S = (\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{3 + 2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ . Zatem $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}) = (\frac{1 + x_{D}}{2}, \frac{6 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 2$ i $y_{D} = - 1$ .
Przekątna $|A C| = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{65}$ . Środek przekątnych prostokąta ma współrzędne $S = (\frac{2 + 1}{2}, \frac{8}{2}) = (\frac{3}{2}, 4)$ . Zatem $(\frac{3}{2}, 4) = (\frac{- 2 + x_{D}}{2}, \frac{6 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 5$ i $y_{D} = 2$ .
Zauważ, że punkty $A$ i $C$ mają pierwszą współrzędną równą $0$ , zatem leżą na osi $O y$ . Długość przekątnej $A C$ jest równa $|y_{A} - y_{C}| = |3 + 12| = 15$ . Środek przekątnych również leży na osi $O y$ i ma współrzędne $S = (0, \frac{3 - 12}{2}) = (0, - \frac{9}{2})$ . Zatem $(0, - \frac{9}{2}) = (\frac{- 6 + x_{D}}{2}, \frac{y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 6$ i $y_{D} = - 9$ .

Ćwiczenie 11

R1QqJm2SpxUoO

Sprawdź, czy trójkąt

A B C

jest równoramienny. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby i słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

A = (2, - 7)

B = (- 5, - 3)

C = (6, 0)

Odpowiedź:

|A B| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

|A C| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

, Trójkąt 1.

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

równoramienny.

A = (1, - 6)

B = (- 5, 1)

C = (7, 1)

Odpowiedź:

|A B| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

|A C| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

, Trójkąt 1.

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

równoramienny.

A = (1, - 5)

B = (8, - 6)

C = (6, 4)

Odpowiedź:

|A B| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

|A C| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

|B C| =

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

, Trójkąt 1.

\sqrt{95}

, 2.

\sqrt{95}

, 3. nie jest, 4.

\sqrt{65}

, 5.

\sqrt{65}

, 6.

\sqrt{106}

, 7.

\sqrt{105}

, 8. jest, 9.

\sqrt{50}

, 10. nie jest, 11.

\sqrt{55}

, 12.

\sqrt{85}

, 13.

\sqrt{104}

, 14.

\sqrt{85}

, 15.

\sqrt{107}

, 16. jest, 17.

\sqrt{55}

równoramienny.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$|A B| = \sqrt{{(2 + 5)}^{2} + {(- 7 + 3)}^{2}} = \sqrt{65}$ , $|A C| = \sqrt{{(2 - 6)}^{2} + {(- 7)}^{2}} = \sqrt{65}$ . Trójkąt jest równoramienny.
$|A B| = \sqrt{{(1 + 5)}^{2} + {(- 6 - 1)}^{2}} = \sqrt{85}$ , $|A C| = \sqrt{{(1 - 7)}^{2} + {(- 6 - 1)}^{2}} = \sqrt{85}$ . Trójkąt jest równoramienny.
$|A B| = \sqrt{{(1 - 8)}^{2} + {(- 5 + 6)}^{2}} = \sqrt{50}$ , $|A C| = \sqrt{{(1 - 6)}^{2} + {(- 5 - 4)}^{2}} = \sqrt{106}$ , $|B C| = \sqrt{{(8 - 6)}^{2} + {(- 6 - 4)}^{2}} = \sqrt{104}$ . Trójkąt nie jest równoramienny.

Ćwiczenie 12

Przekątne równoległoboku $A B C D$ przecinają się w punkcie $S$ . Wyznacz współrzędne brakujących wierzchołków równoległoboku.

$A = (0, - 4)$ , $B = (7, - 5)$ , $S = (3, 0)$
$A = (9, 1)$ , $B = (1, - 7)$ , $S = (2, - 2)$
$A = (7, 0)$ , $B = (0, - 4)$ , $S = (0, - 1)$
$A = (10, - 4)$ , $B = (5, - 7)$ , $S = (7, - \frac{7}{2})$

RcyVC5mYMCFMP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $S$ jest środkiem każdej przekątnej równoległoboku.

Przekątna $A C$ : $S = (3, 0) = (\frac{0 + x_{C}}{2}, \frac{- 4 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = 6$ i $y_{C} = 4$ .
Przekątna $BD$ : $S = (3, 0) = (\frac{7 + x_{D}}{2}, \frac{- 5 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = - 1$ i $y_{D} = 5$ .
Przekątna $A C$ : $S = (2, - 2) = (\frac{9 + x_{C}}{2}, \frac{1 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = - 5$ i $y_{C} = - 5$ .
Przekątna $B D$ : $S = (2, - 2) = (\frac{1 + x_{D}}{2}, \frac{- 7 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 3$ i $y_{D} = 3$ .
Przekątna $A C$ : $S = (0, - 1) = (\frac{7 + x_{C}}{2}, \frac{y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = - 7$ i $y_{C} = - 2$ .
Przekątna $B D$ : $S = (0, - 1) = (\frac{x_{D}}{2}, \frac{- 4 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 0$ i $y_{D} = 2$ .
Przekątna $A C$ : $S = (7, - \frac{7}{2}) = (\frac{10 + x_{C}}{2}, \frac{- 4 + y_{C}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{C} = 4$ i $y_{C} = - 3$ .
Przekątna $B D$ : $S = (7, - \frac{7}{2}) = (\frac{5 + x_{D}}{2}, \frac{- 7 + y_{D}}{2})$ . Z tego wynika, że $x_{D} = 9$ i $y_{D} = 0$ .

Ćwiczenie 13

R1QL2u4ZWmv40

Dane są punkty:

A = (4, 1)

B = (2, - 4)

C = (- 2, 2)

. Wyznacz równania prostych zawierających środkowe trójkąta

A B C

. Uzupełnij zdania, przeciągając w luki odpowiednie wzory lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. prosta

A S_{1}

: 1.

y = \frac{1}{3} x - 2

, 2.

y = \frac{1}{4} x - 3

, 3.

y = - \frac{9}{2} x + 6

, 4.

y = \frac{1}{2} x - 1

, 5.

y = - \frac{7}{9} x + \frac{3}{7}

, 6.

y = - \frac{7}{11} x + \frac{3}{8}

, 7.

y = - \frac{13}{2} x + 5

, 8.

y = - \frac{7}{10} x + \frac{3}{5}

, 9.

y = - \frac{11}{2} x + 7

,
prosta

B S_{2}

: 1.

y = \frac{1}{3} x - 2

, 2.

y = \frac{1}{4} x - 3

, 3.

y = - \frac{9}{2} x + 6

, 4.

y = \frac{1}{2} x - 1

, 5.

y = - \frac{7}{9} x + \frac{3}{7}

, 6.

y = - \frac{7}{11} x + \frac{3}{8}

, 7.

y = - \frac{13}{2} x + 5

, 8.

y = - \frac{7}{10} x + \frac{3}{5}

, 9.

y = - \frac{11}{2} x + 7

,
prosta

C S_{3}

: 1.

y = \frac{1}{3} x - 2

, 2.

y = \frac{1}{4} x - 3

, 3.

y = - \frac{9}{2} x + 6

, 4.

y = \frac{1}{2} x - 1

, 5.

y = - \frac{7}{9} x + \frac{3}{7}

, 6.

y = - \frac{7}{11} x + \frac{3}{8}

, 7.

y = - \frac{13}{2} x + 5

, 8.

y = - \frac{7}{10} x + \frac{3}{5}

, 9.

y = - \frac{11}{2} x + 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJzJyuuuBfDOr1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych. Poprowadzono proste, które zawierają środkowe trójkąta AS z indeksem dolnym jeden, BS z indeksem dolnym dwa, CS z indeksem dolnym trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Prosta zawierająca środkową $A S_{1}$ przechodzi przez wierzchołek $A$ i punkt $S_{1}$ – środek boku $C B$ .

S_{1} = (\frac{2 - 2}{2}, \frac{- 4 + 2}{2}) = (0, - 1)

Równanie prostej $A S_{1}$ ma postać $y = \frac{1}{2} x - 1$ .

Prosta zawierająca środkową $B S_{2}$ przechodzi przez wierzchołek $B$ i punkt $S_{2}$ – środek boku $A C$ .

S_{2} = (\frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 2}{2}) = (1, \frac{3}{2})

Równanie prostej $B S_{2}$ ma postać $y = - \frac{11}{2} x + 7$ .

Prosta zawierająca środkową $C S_{3}$ przechodzi przez wierzchołek $C$ i punkt $S_{3}$ – środek boku $A B$ .

S_{3} = (\frac{4 + 2}{2}, \frac{1 - 4}{2}) = (3, - \frac{3}{2})

Równanie prostej $C S_{3}$ ma postać $y = - \frac{7}{10} x + \frac{3}{5}$ .

Ćwiczenie 14

Rmp6jIeUnZFBy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długości boków trójkąta $A B C$ : $|A B| = \sqrt{10}$ , $|A C| = \sqrt{10}$ , $|B C| = 2 \sqrt{5}$ .

Długości boków trójkąta $A_{1} B_{1} C_{1}$ : $|A_{1} B_{1}| = 2 \sqrt{10}$ , $|A_{1} C_{1}| = 2 \sqrt{10}$ , $|B_{1} C_{1}| = 4 \sqrt{5}$ .

Odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne, ponieważ $\frac{|A B|}{|A_{1} B_{1}|} = \frac{\sqrt{10}}{2 \sqrt{10}} = \frac{1}{2}$ , $\frac{|A C|}{|A_{1} C_{1}|} = \frac{\sqrt{10}}{2 \sqrt{10}} = \frac{1}{2}$ oraz $\frac{|B C|}{|B_{1} C_{1}|} = \frac{2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ . Wynika z tego, że trójkąty $A B C$ i $A_{1} B_{1} C_{1}$ są podobne.

Ćwiczenie 15

Rd8jgbH1woFQb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ , zatem

(4 \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) = (\frac{3 m + 3}{2}, \frac{2 m - 5}{2})

4 \frac{1}{2} = \frac{3 m + 3}{2}

- \frac{1}{2} = \frac{2 m - 5}{2}

Oba równania są prawdziwe dla $m = 2$ .

Ćwiczenie 16

R1096Gd4WM5tA

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długość odcinka $A B$ możemy zapisać

|A B| = \sqrt{{(m - 7)}^{2} + {(- 2 m + 8)}^{2}} = 2 \sqrt{2}

Zatem otrzymamy równanie

\sqrt{{(m - 7)}^{2} + {(- 2 m + 8)}^{2}} = \sqrt{8}

Ponieważ liczby pod pierwiastkiem są nieujemne, to równanie można zapisać w postaci

{(m - 7)}^{2} + {(- 2 m + 8)}^{2} = 8

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia i uporządkowaniu wyrażeń otrzymamy równanie kwadratowe

5 m^{2} - 46 m + 105 = 0

Rozwiązaniami tego równania są liczby $m = 5$ lub $m = 4 \frac{1}{5}$ .