Dwusieczna kąta

Zwróć uwagę, że suma miar kątów przyległych wynosi $180°$.

R19HQdMmIZYXI

Ilustracja przedstawia kąty przyległe alfa i beta, które podzielono dwusiecznymi w taki sposób, że powstały kąty, od lewej, alfa podzielić przez dwa, alfa podzielić przez dwa, beta podzielić przez dwa, beta podzielić przez dwa.

Niech $\alpha$, $\beta$ - kąty przyległe.

Suma miar kątów przyległych wynosi $180°$, czyli $\alpha +\beta =180\mathit{°}$.

Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa kąty o równej mierze. Zatem musimy obliczyć miarę kąta, która jest równa sumie połowy kąta $\alpha$ i połowy kąta $\beta$.

Stąd otrzymujemy, że

$\frac{1}{2}\alpha +\frac{1}{2}\beta =\frac{1}{2}·\left(\alpha +\beta \right)=\frac{1}{2}·180°=90°$.

Zauważ, że suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa $180°$.

RtGqKaIrWfVVP

Na rysunku ukazane są dwusieczne kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu, przecinające się pod kątem prostym.

Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa $180°$. Po narysowaniu dwusiecznych tych kątów otrzymamy trójkąt, którego kąty ostre są połówkami tych kątów. Zatem ich suma wynosi $90°$.

Stąd otrzymujemy, że trzeci kąt trójkąta ma miarę $90°$. Oznacza to, że dwusieczne kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu przecinają się pod kątem prostym.

Wykonaj rysunek do zadania. Do obliczeń wykorzystaj twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie.

Wykorzystaj fakt, że trójkąt $ABD$ jest równoramienny.

Ze względu na to, że trójkąty $ABC$ i $ABD$ są równoramienne oraz $\frac{1}{2}\alpha +\frac{1}{2}\alpha +140°=180°$ i $\alpha +\alpha +\beta =180°$, miara kąta $ACB$ wynosi $100°$.