W tym materiale zawarte są informacje na temat dwusiecznej kąta. Poznasz jej definicję, własności oraz metody jej konstruowania. Swoją wiedzę sprawdzisz rozwiązując zawarte tu zadania.
Dwusieczna kąta
Definicja: Dwusieczna kąta
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku tego kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.
RgzD0j7nLVFug1
Zapoznaj się z poniższym filmem oraz apletem, w których przedstawione są konstrukcje dwusiecznej kąta.
Rfs9UyWaF1TUA1
RheLrM7JjVQjM1
Zapamiętaj!
Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta.
R1Xlhe3dIJqBm1
Oznacza to, że w każdym położeniu punktu jego odległość od jednego z ramion kąta jest równa odległości od drugiego z ramion.
1
Ćwiczenie 1
Narysuj dowolny kąt i skonstruuj jego dwusieczną.
RVpiLgum9efj8
Wyobraź sobie dowolny kąt i opisz konstrukcję jego dwusiecznej.
RVNX2wl0LXy7s
Aby skonstruować dwusieczną kąta postępuj zgodnie ze wskazówkami zawartymi w aplecie. Aby rysunek był czytelniejszy możesz rysować tylko te fragmenty okręgów, które wyznaczają punkty przecięcia ramion kąta oraz punkt należący do dwusiecznej.
Aby skonstruować dwusieczną kąta postępuj zgodnie ze wskazówkami zawartymi w opisie apletu.
R1WrPF1vmxpj1
Mamy kąt o wierzchołku S i ramionach SA i SB. Z punktu S kreślimy okrąg o dowolnym promieniu. Okrąg ten przecina ramiona kąta w punktach K i L. Konstruujemy symetralną odcinka KL. Kreślimy dwa okręgi o promieniu SK i środkach w punktach K i L. Okręgi przecinają się w punktach S oraz T. Prosta ST jest dwusieczną kąta A S B. Dwusieczna kąta jest symetralną odcinka łączącego punkty leżące na ramionach kąta i równoodległe od wierzchołka kąta.
R1XmpJjkwInf31
Ćwiczenie 2
ReiBZvjzHyrHi2
Ćwiczenie 3
2
Ćwiczenie 4
Wykaż, że kąt między dwusiecznymi kątów przyległych jest kątem prostym.
R1QRa2wRfQvyc
RZibm6ZwiYrTB
Zwróć uwagę, że suma miar kątów przyległych wynosi .
R19HQdMmIZYXI
Niech , - kąty przyległe.
Suma miar kątów przyległych wynosi , czyli .
Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa kąty o równej mierze. Zatem musimy obliczyć miarę kąta, która jest równa sumie połowy kąta i połowy kąta .
Stąd otrzymujemy, że
.
2
Ćwiczenie 5
Wykaż, że dwusieczne kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu przecinają się pod kątem prostym.
RaynGlR5PqAti
Zauważ, że suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa .
RtGqKaIrWfVVP
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa . Po narysowaniu dwusiecznych tych kątów otrzymamy trójkąt, którego kąty ostre są połówkami tych kątów. Zatem ich suma wynosi .
Stąd otrzymujemy, że trzeci kąt trójkąta ma miarę . Oznacza to, że dwusieczne kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu przecinają się pod kątem prostym.
3
Ćwiczenie 6
RVyrNCQnNOM6R
Wykonaj rysunek do zadania. Do obliczeń wykorzystaj twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie.
3
Ćwiczenie 7
W trójkącie równoramiennym , w którym ramiona i są równe, dwusieczne kąta oraz kąta przecinają się pod kątem . Oblicz miarę kąta .
RS7aze9dPM41P1
RYxmKochdUO6l
Wykorzystaj fakt, że trójkąt jest równoramienny.
Ze względu na to, że trójkąty i są równoramienne oraz i , miara kąta wynosi .