Działania na pierwiastkach

Przykład 1

R1Kj0bXdRyhoo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R1CptGD5Y9oht1

Przykład 3

R5PJu4mCC2dh51

classicmobile

Ćwiczenie 1

Wartość wyrażenia $- (\sqrt{200} - \sqrt{8}) - (5 \sqrt{50} - 2 \sqrt{32})$ jest równa

R1YnLcKWDp7TP

$- 25 \sqrt{2}$
$25 \sqrt{2}$
$- 41 \sqrt{2}$
$41 \sqrt{2}$

static

Ćwiczenie 1

Wartość wyrażenia $- (\sqrt{200} - \sqrt{8}) - (5 \sqrt{50} - 2 \sqrt{32})$ jest równa

R19p9lPRRKJor

$- 25 \sqrt{2}$
$25 \sqrt{2}$
$- 41 \sqrt{2}$
$41 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 2

Wartość wyrażenia $\sqrt[3]{1029} - (\sqrt[3]{192} - \sqrt[3]{189}) - (\sqrt[3]{108} + 3 \sqrt[3]{7})$ jest równa

R13IFh4ktdS6Y

$3 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4}$
$4 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4} - 6 \sqrt[3]{7}$
$4 \sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{4} + 6 \sqrt[3]{7}$
$3 \sqrt[3]{4} - 4 \sqrt[3]{3}$

Ćwiczenie 3

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka $\frac{14}{3 \sqrt{7}}$ otrzymamy liczbę

R1AKSpDtRwOfH

$\frac{2 \sqrt{7}}{3}$
$\frac{14 \sqrt{7}}{3}$
$\frac{14}{21}$
$\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Ćwiczenie 4

Kwadrat liczby $\frac{4 \sqrt[3]{4}}{3}$ jest równy

Rd4btgY5uMQfg

$\frac{32 \sqrt[3]{2}}{9}$
$\frac{16 \sqrt[3]{2}}{9}$
$\frac{32 \sqrt[3]{2}}{27}$
$\frac{8 \sqrt[3]{2}}{9}$

Ćwiczenie 5

Sześcian liczby $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ jest równy

R1D1PkJXf0nQn

$\frac{125 \sqrt{3}}{72}$
$\frac{125 \sqrt{3}}{216}$
$\frac{45 \sqrt{3}}{216}$
$\frac{375 \sqrt{3}}{72}$

Ćwiczenie 6

RM10VrYWA0ZOK1

Które z podanych liczb są liczbami wymiernymi, a które liczbami niewymiernymi?

Przeciągnij i upuść.

liczby wymierne
liczby niewymierne

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 7

Spośród poniższych liczb wybierz te, które są równe.

R1HEbE4G4Lmqu

$10 \sqrt{5}$
$\sqrt{250}$
$5 \sqrt{10}$
$10 \sqrt{2,5}$
$\sqrt{80}$
$\sqrt{8} ∙ 2 \sqrt{5}$
$2 \sqrt{40}$
$4 \sqrt{10}$
$15 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{3} ∙ 4 \sqrt{6}$
$12 \sqrt{18}$
$36 \sqrt{2}$
$32$
$\sqrt[3]{1024}$
$8 \sqrt[3]{2}$
$4 \sqrt[3]{16}$
$12 \sqrt[3]{6}$
$\frac{12 \sqrt[3]{162}}{\sqrt[3]{3}}$
$\frac{36 \sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{3}}$
$36 \sqrt[3]{2}$
$15 \sqrt[3]{5}$
$\frac{15}{\sqrt[3]{5}}$
$\frac{15 \sqrt[3]{25}}{5}$
$3 \sqrt[3]{25}$

static

Ćwiczenie 7

Spośród poniższych liczb wybierz te, które są równe.

R1er30OJRxUFA

$10 \sqrt{5}$
$\sqrt{250}$
$5 \sqrt{10}$
$10 \sqrt{2,5}$

Ćwiczenie 8

R1aImf7XzowHe1

Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi?

Przeciągnij i upuść.

liczby naturalne
pozostałe liczby

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

i5q4l2pJOt_d5e718

Ćwiczenie 9

R2AykkxDbRrGs1

Połącz w pary.

${(3" \sqrt{5})}^{2}$
$3 {(\sqrt{5})}^{2}$
${(5" \sqrt{3})}^{2}$
$5 {(\sqrt{3})}^{2}$
${(2" \sqrt[3]{4})}^{3}$
${2 (\sqrt[3]{4})}^{3}$
${(3" \sqrt[3]{2})}^{3}$
${3 (\sqrt[3]{2})}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1O7ZggYhWXUx1

Połącz w pary.

${(\frac{4 \sqrt{6}}{9})}^{2}$
${(\frac{3 \sqrt{10}}{20})}^{2}$
${(\frac{3 \sqrt[3]{12}}{4})}^{3}$
${(\frac{4 \sqrt[3]{9}}{3})}^{3}$
${(\frac{6 \sqrt{5}}{15})}^{2}$
${(\frac{10 \sqrt{12}}{16})}^{2}$
${(\frac{2 \sqrt[3]{10}}{5})}^{3}$
${(\frac{\sqrt[3]{15}}{2})}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 11

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1bYT5e4sS1jh

Różnica liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Różnica liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej może być liczbą wymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej może być liczbą niewymierną.
Różnica liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Różnica liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej jest zawsze liczbą wymierną.
Kwadrat liczby niewymiernej jest zawsze liczbą niewymierną.

static

classicmobile

Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R13H2PJ31F6qz

Iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną
Suma liczb niewymiernych może być liczbą wymierną.
Suma liczb niewymiernych może być liczbą niewymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Iloczyn liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.
Suma liczb niewymiernych jest zawsze liczbą wymierną.
Suma liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.

static

Ćwiczenie 13

Niech $A = 2 \sqrt{5}$ , $B = \sqrt{3} - 4 \sqrt{2}$ , $C = - \frac{1}{2} \sqrt{12} + 3 \sqrt{8}$ .
Zapisz w najprostszej postaci.

$A ∙ B$
$A ∙ C$
$B + C$
$C - B$

$2 \sqrt{15} - 8 \sqrt{10}$
$- 2 \sqrt{15} + 12 \sqrt{10}$
$2 \sqrt{2}$
$- 2 \sqrt{3} + 10 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 14

RCu6eWi6Wb6dS1

Połącz w pary.

$\frac{3}{4} \sqrt[3]{4} \cdot 16 \sqrt[3]{10}$
$\sqrt[3]{50} \cdot \sqrt[3]{- 3} \cdot \sqrt[3]{- 20}$
$3 \sqrt[3]{- 20} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{- 32}$
$4 \sqrt[3]{18} \cdot \sqrt[3]{21}$
$- 2 \sqrt[3]{5} \cdot 2 \sqrt[3]{- 2000}$
$0,5 \sqrt[3]{54} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{432}$
$\frac{1}{9} \sqrt[3]{27} \cdot 4 \sqrt[3]{81}$
$0,5 \sqrt[3]{20} \cdot 5 \sqrt[3]{128}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Oblicz.

$3 \sqrt{2} (6 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10})$
$2 \sqrt{5} (3 \sqrt{15} + \sqrt{35})$
$- \sqrt{6} (8 \sqrt{3} - 7 \sqrt{2})$
$4 \sqrt{3} (\sqrt{12} - 2 \sqrt{18})$
$5 \sqrt{5} (\sqrt{15} - \sqrt{10})$
$\sqrt{7} (2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{8} + \sqrt{14})$
$3 \sqrt{3} (8 \sqrt{21} - \sqrt{24} + 3 \sqrt{30})$

$18 \sqrt{10} - 24 \sqrt{5}$
$30 \sqrt{3} + 10 \sqrt{7}$
$- 24 \sqrt{2} + 14 \sqrt{3}$
$24 - 24 \sqrt{6}$
$25 \sqrt{3} - 25 \sqrt{2}$
$14 - 4 \sqrt{14} + 7 \sqrt{2}$
$72 \sqrt{7} - 18 \sqrt{2} + 27 \sqrt{10}$

Ćwiczenie 16

RQ4M9yFXJi8zs1

Przeciągnij i upuść.

$10 \sqrt[3]{35} - 15 \sqrt[3]{6}$ , $8 \sqrt[3]{5} + 16 \sqrt[3]{10}$ , $10 \sqrt[3]{7} - 15 \sqrt[3]{3}$ , $4 \sqrt[3]{5} - 4 \sqrt[3]{6}$ , $10 \sqrt[3]{35} - 5 \sqrt[3]{6}$ , $4 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , $16 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{10}$ , $24 \sqrt[3]{2} + 36 \sqrt[3]{9}$ , $4 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$ , $36 \sqrt[3]{2} + 24 \sqrt[3]{9}$ , $9 \sqrt[3]{2} + 6 \sqrt[3]{9}$ , $2 \sqrt[3]{5} - 16 \sqrt[3]{6}$

$2 \sqrt[3]{2} (\sqrt[3]{20} - 4 \sqrt[3]{24}) =$ ....................
$8 \sqrt[3]{4} (\frac{1}{4} \sqrt[3]{80} + \frac{1}{2} \sqrt[3]{160}) =$ ....................
$4 \sqrt[3]{3} (3 \sqrt[3]{18} + 2 \sqrt[3]{81}) =$ ....................
$\sqrt[3]{10} (5 \sqrt[3]{28} - 3 \sqrt[3]{75}) =$ ....................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RrpyLHdvGAvl61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}$
$\frac{5 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}}$
$\frac{2 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2}}{\sqrt{10}}$
$\frac{10 \sqrt{3} - 10 \sqrt{5}}{7 \sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{10}}$
$\frac{2 \sqrt{2} + 3}{\sqrt{8}}$
$\frac{\sqrt{10} + 11}{\sqrt{1000}}$
$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{6}}{\sqrt{27}}$
$\frac{5 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{\sqrt{12}}$

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$
$\frac{5 \sqrt{2} + 2}{2}$
$\frac{3 \sqrt{5} + 5}{10}$
$\frac{2 \sqrt{15} + 6 \sqrt{5}}{5}$
$\frac{30 - 10 \sqrt{15}}{21}$
$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}}{10}$
$\frac{8 + 3 \sqrt{8}}{8}$
$\frac{100 + 110 \sqrt{10}}{1000}$
$\frac{9 + 9 \sqrt{2}}{27}$
$\frac{10 \sqrt{2} + 8}{4}$

i5q4l2pJOt_d5e1274

Ćwiczenie 19

R1QmNAP9iW2kh1

Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej.

$\frac{48}{5 \sqrt{3}}$
$\frac{12}{\sqrt{3}}$
$6 \sqrt{3}$
$5 \sqrt{27}$
$\frac{12 \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 20

Usuń niewymierność z mianownika ułamka.

$\frac{6}{\sqrt{50} + \sqrt{2}}$
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{12} - \sqrt{27}}$
$\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{80} + \sqrt{45}}$
$\frac{- 2}{\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16}}$
$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{192} + 2 \sqrt[3]{81}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$- \frac{2 \sqrt{15}}{3}$
$\frac{2 \sqrt{10}}{7}$
$- \sqrt[3]{4}$
$\frac{\sqrt[3]{2}}{10}$

Ćwiczenie 21

RrvmpvNwfBWRh1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Rpfmkl7l35DWb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 23

RPI5I8LpfsibF1

Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej.

$\frac{\sqrt{33}}{3 \sqrt{3}}$
$\frac{9}{\sqrt{11}}$
$2 \sqrt{176}$
$7 \sqrt{11}$
$\frac{88}{4 \sqrt{11}}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

RDcY6BGzx2QMb1

Uporządkuj liczby w kolejności rosnącej.

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
$\frac{\sqrt[3]{81}}{2 \sqrt[3]{9}}$
$4 \sqrt[3]{9}$
$\frac{6}{2 \sqrt[3]{3}}$
$\frac{1}{8} \sqrt[3]{72}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 25

Oblicz.

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{32}}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3 \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3}}$
$\frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{2}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2}}$
$\frac{1}{5 \sqrt[3]{5}} + \frac{1}{10 \sqrt[3]{5}} + \frac{1}{15 \sqrt[3]{5}}$

$\frac{7 \sqrt{2}}{8}$
$\frac{23 \sqrt{3}}{45}$
$\frac{11 \sqrt[3]{4}}{12}$
$\frac{11 \sqrt[3]{25}}{150}$

Ćwiczenie 26

Rozwiąż równania.

$x \sqrt{5} = 20$
$7 x \sqrt{2} = 21$
$\frac{3}{4} x \sqrt{3} = 27$
$12 x \sqrt{10} = 30 \sqrt{2}$
$x \sqrt[3]{7} = 14$
$5 x \sqrt[3]{6} = 40$
$6 x \sqrt[3]{4} = 120 \sqrt[3]{3}$

$4 \sqrt{5}$
$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$12 \sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
$2 \sqrt[3]{49}$
$\frac{4 : \sqrt[3]{36}}{3}$
$10 \sqrt[3]{6}$

Ćwiczenie 27

Rozwiąż równania.

$x \sqrt{3} = \sqrt{80} - \sqrt{20}$
$\sqrt{32} + x \sqrt{27} = \sqrt{50}$
$\sqrt{5} - 2 \sqrt{24} x = \sqrt{600}$
$x \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{250}$
$\sqrt[3]{81} - x \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{3000}$

$\frac{2 \sqrt{15}}{3}$
$\frac{\sqrt{6}}{9}$
$- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{30}}{24}$
$5 - 2 \sqrt[3]{12}$
$- \frac{7 \sqrt[3]{6}}{6}$

Ćwiczenie 28

Niech $A = 3 \sqrt[3]{6}$ , $B = \sqrt[3]{- 2^{2}} + \sqrt[3]{72}$ , $C = \sqrt[3]{- 4^{2}}$ .
Zapisz w najprostszej postaci.

$\frac{B}{A}$
$\frac{B}{C}$
$\frac{A ∙ B}{C}$
$\frac{B ∙ C}{A}$
$A ∙ B ∙ C$

$\frac{- \sqrt[3]{18} + 3 \sqrt[3]{12}}{9}$
$\frac{\sqrt[3]{16} - 2 \sqrt[3]{36}}{4}$
$\frac{6 \sqrt[3]{12} - 36}{4}$
$\frac{2 \sqrt[3]{36} - 12 \sqrt[3]{3}}{9}$
$12 \sqrt[3]{6} - 36 \sqrt[3]{4}$

Ćwiczenie 29

Oblicz pola poniższych figur.

R2jiQGEL9o63x1

"Rysunki czterech figur: a) kwadrat o boku długości trzy pierwiastki z dziesięciu — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$90$
$12 \sqrt{3}$
$72 \sqrt{5}$
$\frac{4 \sqrt{7}}{3} + \frac{7 \sqrt{2}}{2}$

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki