Działania na ułamkach zwykłych - Działania na ułamkach zwykłych

Skracanie i rozszerzanie ułamków

Poniższa animacja przybliży czym jest rozszerzanie i skracanie ułamków zwykłych Zapoznaj się z nią, aby rozwiązać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.

R14aeo7Iw9DYp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Dwa jednakowe kwadraty podzielono na równe części: jeden na $4$ , a drugi na $8$ części.

R1enDCnOOMsW01

Rysunek dwóch jednakowych kwadratów podzielonych na równe części: jeden na 4 równe kwadraty w taki sposób, że wykreślono w nim dwa odcinki: pionowy łączący środki poziomych boków i poziomy łączący środki pionowych boków. Kolorem wyróżniono dolną lewą część. Drugi kwadrat o tych samych wymiarach podzielono na 8 równych prostokątów. Podzielono go tak ja pierwszy i dodatkowo podzielono jego lewą i prawą połowę jeszcze raz na pół dwoma pionowymi odcinkami. Kolorem zaznaczono dwa dolne lewe prostokąty będące ćwiartką całej figury. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDiLJgABTXdjc

Z rysunku wiemy, że jedna czwarta pierwszego kwadratu to taka sama część jak dwie ósme drugiego kwadratu. Połącz w pary równe ułamki. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, osiemnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, czterdzieści, mianownik, sześćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dziewięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dwadzieścia osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sześć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, dwa, mianownik, osiem, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R1QAYJAhDDeFX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $5$ , a w drugim $40$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $8$ , bo $40 : 5 = 8$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $8$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $27$ , a w drugim $3$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został skrócony przez $9$ , bo $27 : 3 = 9$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy podzielić licznik pierwszego ułamka przez $9$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $7$ , a w drugim $42$ . Wynika stąd, że pierwszy ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $42 : 7 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $48$ , a w drugim $16$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został skrócony przez $3$ , bo $48 : 16 = 3$ . Zatem, aby wyznaczyć $x$ należy pomnożyć licznik skróconego ułamka razy $3$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $32$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $32$ , bo $32 : 1 = 32$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $32$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać mianowniki. W pierwszym ułamku mianownik wynosi $8$ , a w drugim $48$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $6$ , bo $48 : 8 = 6$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić licznik rozszerzonego ułamka przez $6$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $9$ , a w drugim $18$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $2$ , bo $18 : 9 = 2$ . Zatem, aby wyznaczyć $t$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $2$ .
W podanych ułamkach możemy bez problemu porównać liczniki. W pierwszym ułamku licznik wynosi $1$ , a w drugim $5$ . Wynika stąd, że drugi ułamek został rozszerzony przez $5$ , bo $5 : 1 = 5$ . Zatem, aby wyznaczyć $y$ należy podzielić mianownik rozszerzonego ułamka przez $5$ .

Liczby mieszane i ułamki niewłaściwe

Przykład 1

Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek, trzeba tylko obliczyć licznik ułamka.

2 \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}

Łatwiejsze obliczenia wykonujemy w pamięci i zapisujemy krótko zamianę:

2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany liczb mieszanych na ułamki.

RXEslICEsGDmd1

Przykład 2

Zamieniając ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, wykorzystujemy wynik dzielenia licznika przez mianownik tego ułamka.

\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}

ponieważ

17 : 5 = 3 r 2

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną.

RZEKDWJvAuLA31

RNoZxlOpUIV1X1

Ćwiczenie 3

Ile wynoszą podane liczby mieszane w postaci ułamków niewłaściwych? Przeciągnij i upuść poprawny ułamek w wyznaczone pole. trzy początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedemdziesiąt pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto czterdzieści pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sto dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedemdziesiąt dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto pięćdziesiąt, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, sto piętnaście, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, pięć, koniec ułamka dziewięć początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedemdziesiąt pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto czterdzieści pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sto dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedemdziesiąt dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto pięćdziesiąt, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, sto piętnaście, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, pięć, koniec ułamka dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedemdziesiąt pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto czterdzieści pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sto dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedemdziesiąt dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto pięćdziesiąt, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, sto piętnaście, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, pięć, koniec ułamka jedenaście początek ułamka, pięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedemdziesiąt pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sto czterdzieści pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sto dziesięć, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedemdziesiąt dziewięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, sto pięćdziesiąt, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, sto piętnaście, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, pięć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROZDMVxm8EIuy1

Ćwiczenie 4

Ile wynoszą podane ułamki niewłaściwe w postaci ułamków właściwych? Przeciągnij i upuść odpowiednią liczbę w wyznaczone pole. początek ułamka, czternaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. osiem początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. osiem początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. cztery początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka początek ułamka, dwadzieścia cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, równa się 1. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. osiem początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. osiem początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. cztery początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka początek ułamka, czterdzieści dziewięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, równa się 1. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. osiem początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. osiem początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. cztery początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka początek ułamka, osiemdziesiąt siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, równa się 1. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 2. osiem początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. osiem początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. cztery początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R148zCf6uetgx1

Ćwiczenie 5

Połącz w pary liczby mieszane z równymi im ułamkami niewłaściwymi. jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka cztery początek ułamka, trzy, mianownik, jedenaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka jeden początek ułamka, osiem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka dziewięć początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka sześć początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka jedenaście początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka pięć początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka dziewiętnaście początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedemdziesiąt jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 3. początek ułamka, sześćdziesiąt siedem, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, sto dwadzieścia cztery, mianownik, dwadzieścia trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięćdziesiąt osiem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, cztery, koniec ułamka, 7. początek ułamka, czterdzieści siedem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, sto dziewiętnaście, mianownik, sześć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Przykład 3

Zapoznaj się z poniższą animacją dotyczącą dodawania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.

RKevxU9usOIl1

Wynikiem dodawania ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest sumą liczników składników. Zobacz przykład.

\frac{5}{17} + \frac{7}{17} = \frac{5 + 7}{17} = \frac{12}{17}

Przykład 4

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.

RIW83pHABJhYi1

Wynikiem odejmowania dwóch ułamków o tych samych mianownikach jest ułamek o tym samym mianowniku, którego licznik jest różnicą licznika odjemnej i odjemnika.

\frac{15}{19} - \frac{6}{19} = \frac{15 - 6}{19} = \frac{9}{19}

Przykład 5

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym odejmowania liczb mieszanych.

RNm2gZcZInt50

Przykład 6

Aby dodać do siebie ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie $3$ .

\frac{3}{10} + \frac{1}{15} = \frac{9}{30} + \frac{2}{30} = \frac{9 + 2}{30} = \frac{11}{30}

Aby odjąć dwa ułamki o różnych mianownikach, trzeba je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika i postępować tak, jak w przykładzie $4$ .

\frac{3}{10} - \frac{1}{15} = \frac{9}{30} - \frac{2}{30} = \frac{9 - 2}{30} = \frac{7}{30}

Staramy się, żeby wspólny mianownik ułamków był najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników.

Wspólny mianownik jest iloczynem liczb $3$ i $7$ .

2 \frac{2}{3} + 3 \frac{4}{7} = 2 \frac{14}{21} + 3 \frac{12}{21} = 5 \frac{26}{21} = 6 \frac{5}{21}

$18$ to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $6$ i $9$ .

\frac{5}{6} - \frac{4}{9} = \frac{15}{18} - \frac{8}{18} = \frac{7}{18}

Wspólny mianownik to $24$ , bo $24$ jest podzielne przez $8$ .

4 \frac{7}{8} - \frac{13}{24} = 4 \frac{21}{24} - \frac{13}{24} = 4 \frac{8}{24} = 4 \frac{1}{3}

RQoie6R2eCn7H1

Ćwiczenie 6

Dodaj do siebie ułamki, a następnie przeciągnij i upuść poprawny wynik w wyznaczone pole. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka początek ułamka, siedemnaście, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dziewięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka pięć początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka czternaście, minus, dziewięć początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka osiemnaście początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, minus, siedem początek ułamka, piętnaście, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka jeden początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, plus, cztery początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. sześć, 5. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, siedemnaście, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 8. początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 9. dziesięć początek ułamka, sześć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 10. jeden początek ułamka, czterdzieści pięć, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. sześć początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 12. cztery początek ułamka, osiemnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R10HAWZl8MoDI2

Ćwiczenie 7

Oblicz do najprostszej postaci.
Połącz w pary działanie z wynikiem. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka jeden początek ułamka, cztery, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, plus, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka początek ułamka, trzynaście, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedemnaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka pięć początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka sześć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka trzynaście początek ułamka, cztery, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, minus, dziewięć początek ułamka, sześć, mianownik, piętnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 4. cztery, 5. pięć początek ułamka, siedem, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DT871j3oYhZ2

Ćwiczenie 8

Przeciągnij i upuść wynik działania w odpowiednie pole. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka początek ułamka, cztery, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, plus, nawias, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka cztery początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, nawias, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. pięć, 3. jeden, 4. dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie ułamków zwykłych

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym mnożenia ułamków.

RjVyvS1op1gn81

Przykład 7

Wynikiem mnożenia dwóch ułamków jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników mnożonych ułamków.

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}

\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{15}{56}

Przykład 8

Jeżeli jeden z czynników jest liczbą mieszaną lub oba są liczbami mieszanymi, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

2 \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{19}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{57}{28} = 2 \frac{1}{28}

2 \frac{3}{4} \cdot 3 \frac{5}{6} = \frac{11}{4} \cdot \frac{23}{6} = \frac{253}{24} = 10 \frac{13}{24}

R1AcgTVp0BsY21

Ćwiczenie 9

Pomnóż ułamki. Przeciągnij i upuść wynik działania w odpowiednie pole. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, dwadzieścia jeden, mianownik, dwadzieścia dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, jedenaście, mianownik, trzydzieści pięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia osiem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka pięć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, siedem początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. początek ułamka, piętnaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 3. dziewięćdziesiąt pięć, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 5. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzydzieści jeden, koniec ułamka, 9. początek ułamka, jeden, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka, 10. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1JqWWqznBteb2

Ćwiczenie 10

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary mnożenie ułamków z wynikiem. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, czternaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, dwadzieścia sześć, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, razy, pięć początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pięć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka siedem początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, osiem początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, siedem początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka pięć początek ułamka, dwa, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięćdziesiąt siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. dziesięć początek ułamka, pięć, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, 3. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. dwanaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. dziewięćdziesiąt pięć, 6. pięćdziesiąt dziewięć początek ułamka, jedenaście, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka, 7. początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 8. początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8L9RF2k28Ba72

Ćwiczenie 11

Pomnóż przez siebie liczby mieszane. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone pole. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery jeden początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery trzy początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery dwa początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, sześć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, razy, trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, równa się 1. szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, 4. cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. cztery, 7. dwanaście, 8. cztery

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dzielenie ułamków zwykłych

Przykład 9

Zapoznaj się z poniższym filmem dotyczącym dzielenia ułamków przez liczby naturalne.

RRw6zEXPBSzYf1

Dzieląc ułamek przez liczbę naturalną, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez mianownik ułamka, a licznik pozostawić ten sam.

\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{6 \cdot 2} = \frac{5}{12}

\frac{12}{13} : 3 = \frac{12}{39} = \frac{4}{13}

Przykład 10

Aby podzielić dwa ułamki zwykłe, mnożymy pierwszy z tych ułamków przez odwrotność drugiego.

\frac{4}{9} : \frac{5}{7} = \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{5} = \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 5} = \frac{28}{45}

Przykład 11

Jeżeli dzielna lub dzielnik są liczbami mieszanymi, zanim wykonamy dzielenie, zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

2 \frac{5}{7} : 1 \frac{1}{3} = \frac{19}{7} : \frac{4}{3} = \frac{19}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{57}{28} = 2 \frac{1}{28}

Przykład 12

W pewnych sytuacjach, dzieląc ułamki zwykłe, warto dzielić licznik dzielnej przez licznik dzielnika, a mianownik dzielnej przez mianownik dzielnika. Na przykład:

\frac{28}{63} : \frac{4}{7} = \frac{28 : 4}{63 : 7} = \frac{7}{9}

RXIWxeig7BOHZ2

Ćwiczenie 12

Podziel ułamek przez ułamek. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone pole. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, sześć, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka początek ułamka, siedem, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka początek ułamka, sześćdziesiąt sześć, mianownik, siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, jedenaście, mianownik, trzydzieści pięć, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka dwa początek ułamka, trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, jedenaście, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka trzydzieści dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, dwanaście, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 3. dwa, 4. początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. dwa początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 8. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. trzy, 10. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAKg9n6iFzjH42

Ćwiczenie 13

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary dzielenie ułamków z wynikiem. jeden początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa dwa początek ułamka, trzy, mianownik, piętnaście, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, jedenaście, mianownik, piętnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, dwadzieścia osiem, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa siedem początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, trzynaście, mianownik, piętnaście, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa trzynaście początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, trzy, mianownik, dwadzieścia dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa dwadzieścia dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwadzieścia dwa, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa trzydzieści dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści trzy, 2. cztery, 3. dziewięć, 4. pięćdziesiąt pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. trzy, 6. dziewięćdziesiąt dziewięć, 7. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. dwa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RyfQTO01U5shh2

Ćwiczenie 14

Oblicz. Wynik sprowadź do najprostszej postaci. Połącz w pary dzielenie ułamków z wynikiem. cztery początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, podzielić na, jeden początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka dwa początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka dziesięć początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, pięć początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka dwanaście początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka szesnaście początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, podzielić na, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka osiem początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, podzielić na, czternaście początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, dziesięć, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 2. jeden początek ułamka, pięćdziesiąt dziewięć, mianownik, sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. jeden początek ułamka, dziewięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 4. jeden początek ułamka, pięć, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, siedem, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. jeden początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, trzydzieści trzy, koniec ułamka, 7. sześć początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. pięć początek ułamka, czterdzieści jeden, mianownik, czterdzieści pięć, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

RuYESiqNMrnQ22

Ćwiczenie 15

Wykonaj działania. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone miejsce. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, podzielić na, siedem, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy siedem, podzielić na, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, razy, siedem, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, razy, początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, podzielić na, trzy, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy trzy, podzielić na, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, razy, trzy, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, razy, początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pięć, mianownik, czterdzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, pięćdziesiąt sześć, mianownik, trzy, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, 6. początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzydzieści sześć, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 9. siedem, 10. początek ułamka, trzy, mianownik, pięćdziesiąt sześć, koniec ułamka, 11. dziewięć, 12. trzy

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPlWkZXnoMjpQ2

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rl4nAERYHusMt2

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Łączenie działań na ułamkach zwykłych

Poniższa animacja przybliża kolejność wykonywania działań. Zapoznaj się z nią, aby bez problemu rozwiązywać ćwiczenia znajdujące się w dalszej części materiału.

RJ5RAhCnYVVtg1

Rw7rLY7dZtSBb3

Ćwiczenie 18

Wykonaj działania. Przeciągnij i upuść wynik działania w wyznaczone miejsce. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć nawias, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, podzielić na, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć nawias, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, jeden początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, podzielić na, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć dwa początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, podzielić na, nawias, pięć początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. sześć, 4. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 5. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 6. dwa, 7. trzy początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, 8. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści osiem, mianownik, trzydzieści dziewięć, koniec ułamka, 10. pięć

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

RVqCINLANZOma

Oblicz. nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka równa się1. początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści trzy, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, sześć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, podzielić na, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka równa się1. początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści trzy, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, sześć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
nawias, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka równa się1. początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści trzy, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, sześć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka
dwa początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, podzielić na, nawias, pięć początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu równa się1. początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 2. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. początek ułamka, trzydzieści cztery, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 6. początek ułamka, siedem, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 8. początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka, 9. początek ułamka, trzydzieści trzy, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 10. początek ułamka, sześć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzydzieści pięć, mianownik, trzydzieści sześć, koniec ułamka, 12. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RvVh81PCXv0CR

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

- sposób $I$ :
  $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot \frac{7}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{12} + \frac{7}{18} = \frac{21 + 14}{36} = \frac{35}{36}$
- sposób $II$ :
  $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot 1 \frac{1}{6} = (\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}) \cdot \frac{7}{6} = \frac{3 + 2}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{35}{36}$
- sposób $I$ :
  $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : \frac{9}{4} = (\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} =$
  $= \frac{1}{9} + \frac{6}{9} = \frac{7}{9}$
- sposób $II$ :
  $(\frac{1}{4} + 1 \frac{1}{2}) : 2 \frac{1}{4} = (\frac{1}{4} + \frac{3}{2}) : \frac{9}{4} = \frac{1 + 6}{4} \cdot \frac{4}{9} =$
  $= \frac{7}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$
- sposób $I$ :
  $(2 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{2} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{2} \cdot \frac{16}{25} - \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25} = \frac{16}{10} - \frac{8}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
- sposób $II$ :
  $(2 \frac{1}{2} - 1 \frac{1}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{5}{2} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = (\frac{10}{4} - \frac{5}{4}) \cdot \frac{16}{25} = \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$
- sposób $I$ :
  $2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{29}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{58}{10} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : \frac{47}{10} =$
  $= \frac{47}{20} \cdot \frac{10}{47} = \frac{1}{2}$
- sposób $II$ :
  $2 \frac{7}{20} : (5 \frac{4}{5} - 1 \frac{1}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{29}{5} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : (\frac{58}{10} - \frac{11}{10}) = \frac{47}{20} : \frac{47}{10} =$
  $= \frac{47}{20} \cdot \frac{10}{47} = \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 20

RAlNL4FS1xakN

Oblicz tak, jak w przykładach. Przykłady dwa początek ułamka, trzy, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, nawias, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, plus, trzy początek ułamka, osiem, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, sześć, razy, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwadzieścia jeden trzy początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, nawias, trzy początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, dwa, razy, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, pięć trzy początek ułamka, piętnaście, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, razy, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka, plus, trzy początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, razy, cztery początek ułamka, jeden, mianownik, siedem, koniec ułamka równa sięTu uzupełnij dwa początek ułamka, trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, razy, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka, plus, pięć początek ułamka, siedem, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, razy, pięć początek ułamka, jeden, mianownik, osiem, koniec ułamka równa sięTu uzupełnij trzynaście początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, pięć, mianownik, dwanaście, koniec ułamka równa sięTu uzupełnij szesnaście początek ułamka, osiem, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, pięć, mianownik, czternaście, koniec ułamka, minus, dwa początek ułamka, osiem, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, pięć, mianownik, czternaście, koniec ułamka równa sięTu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DZWpK35VmnV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 \frac{15}{16} \cdot 4 \frac{1}{7} + 3 \frac{1}{16} \cdot 4 \frac{1}{7} = \frac{48 + 15}{16} \cdot \frac{28 + 1}{7} + \frac{48 + 1}{16} \cdot \frac{28 + 1}{7} =$
$= \frac{63}{16} \cdot \frac{29}{7} + \frac{49}{16} \cdot \frac{29}{7} = \frac{63 \cdot 29 + 49 \cdot 29}{16 \cdot 7} = \frac{29 \cdot (63 + 49)}{112} = \frac{29 \cdot 112}{122} = 29$
$2 \frac{3}{10} \cdot 5 \frac{1}{8} + 5 \frac{7}{10} \cdot 5 \frac{1}{8} = \frac{20 + 3}{10} \cdot \frac{40 + 1}{8} + \frac{50 + 7}{10} \cdot \frac{40 + 1}{8} =$
$= \frac{23}{10} \cdot \frac{41}{8} + \frac{57}{10} \cdot \frac{41}{8} = \frac{23 \cdot 41 + 57 \cdot 41}{80} = \frac{41 \cdot (23 + 57)}{80} = \frac{41 \cdot 80}{80} = 41$
$13 \frac{5}{12} \cdot 2 \frac{5}{12} - 1 \frac{5}{12} \cdot 2 \frac{5}{12} = \frac{13 \cdot 12 + 5}{12} \cdot \frac{24 + 5}{12} - \frac{12 + 5}{12} \cdot \frac{24 + 5}{12} =$
$= \frac{161}{12} \cdot \frac{29}{12} - \frac{17}{12} \cdot \frac{29}{12} = \frac{161 \cdot 29 - 17 \cdot 29}{144} = \frac{29 \cdot (161 - 17)}{144} = \frac{29 \cdot 144}{144} = 29$
$16 \frac{8}{13} \cdot 2 \frac{5}{14} - 2 \frac{8}{13} \cdot 2 \frac{5}{14} = \frac{16 \cdot 13 + 8}{13} \cdot \frac{28 + 5}{14} - \frac{2 \cdot 13 + 8}{13} \cdot \frac{2 \cdot 14 + 5}{14} =$
$= \frac{216}{13} \cdot \frac{33}{14} - \frac{34}{13} \cdot \frac{33}{14} = \frac{33}{14} \cdot (\frac{216}{13} - \frac{34}{13}) = \frac{33}{14} \cdot \frac{182}{13} = \frac{33 \cdot 182}{182} = 33$

R1O28fyk4tSJ83

Ćwiczenie 21

Przeciągnij i upuść. a)początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, razy, jeden początek ułamka, pięć, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, razy, dwa początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka, plus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. jeden początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. cztery początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. sześć początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 7. osiem początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka
b) osiem, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, razy, nawias, dwa początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwanaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się 1. jeden początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. cztery początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. sześć początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 7. osiem początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka
c) dwa, podzielić na, nawias, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, szesnaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka, podzielić na, początek ułamka, szesnaście, mianownik, pięć, koniec ułamka, równa się 1. jeden początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. cztery początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. sześć początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 7. osiem początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka
d) nawias, trzy początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, minus, dwa początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, podzielić na, jeden początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, nawias, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, sześć, koniec ułamka, minus, jeden początek ułamka, jeden, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się 1. jeden początek ułamka, siedemnaście, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka, 2. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 3. cztery początek ułamka, czterdzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 4. sześć początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka, 5. początek ułamka, pięć, mianownik, sześć, koniec ułamka, 6. trzy początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, sto dwadzieścia pięć, koniec ułamka, 7. osiem początek ułamka, jedenaście, mianownik, osiemnaście, koniec ułamka

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie ułamka danej liczby

Przykład 13

Aby obliczyć ułamek danej liczby (lub ułamek z danej liczby), należy pomnożyć ułamek przez tę liczbę.

Na przykład: $\frac{3}{4}$ liczby $28$ wynosi $21$ , ponieważ $\frac{3}{4} \cdot 28 = 21$ .

Ćwiczenie 22

Oblicz w pamięci.

RKkHeI3WksnfX

Uzupełnij obliczenia, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka z sto czterdzieści to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, cztery, mianownik, piętnaście, koniec ułamka z trzydzieści to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, siedem, mianownik, dwadzieścia cztery, koniec ułamka z siedemdziesiąt dwa to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwadzieścia dwa, koniec ułamka z osiemdziesiąt osiem to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, dwanaście, mianownik, dwadzieścia pięć, koniec ułamka ze sto to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, piętnaście, mianownik, dwadzieścia osiem, koniec ułamka z osiemdziesiąt cztery to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, dwadzieścia, mianownik, dwadzieścia jeden, koniec ułamka ze sto pięć to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka z tysiąc to 1. trzysta siedemdziesiąt pięć, 2. osiem, 3. trzydzieści sześć, 4. sto, 5. czterdzieści osiem, 6. siedemdziesiąt, 7. dwadzieścia jeden, 8. czterdzieści pięć

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ET0EUbyuCE22

Ćwiczenie 23

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Re7nChtwmQVtX2

Ćwiczenie 24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHZtrqKyVhIdT3

Ćwiczenie 25

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podsumowanie

Zapoznaj się z poniższym schematem, w którym zebrane zostały wszystkie wiadomości z tej lekcji.

R1NeZ1kyB1uVm1

Ułamki:

Podział ułamków:

Ułamek właściwy

Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku właściwym licznik jest mniejszy od mianownika, a cały ułamek jest mniejszy od jeden.

Ułamek niewłaściwy

Nad kreską ułamkową mamy licznik, pod kreską ułamkową mamy mianownik. W ułamku niewłaściwym licznik jest większy od mianownika, a cały ułamek jest większy od jeden.

Liczba mieszana

To pewna całość wraz z ułamkiem, na przykład $1\frac23$ .

Zagadnienia związane z ułamkami:

Ułamek z liczby

Ułamek, czyli pewną część z liczby możemy wyrażać nie tylko za pomocą procentów, ale również za pomocą ułamków, na przykład $25\%=\frac14$ , czyli $25\%$ z liczby $20$ to $\frac14\cdot 20$ .

Proporcje (mnożenie na krzyż)

Przykład: Jeśli ułamek o liczniku równym $5$ i o mianowniku równym $2$ przyrównamy do ułamka o liczniku równym $x$ i o mianowniku równym $3$ , to, aby obliczyć $x$ , korzystamy z proporcji. T taka równość jest zatem tożsama z równością $5\cdot 3=2x$ , czyli licznik ułamka z lewej strony równania pomnożyliśmy przez mianownik ułamka z prawej strony równania i przyrównaliśmy go do iloczynu licznika ułamka z prawej strony równania do mianownika z lewej strony równania.

Wspólny mianownik dwóch ułamków

Wspólny mianownik dwóch ułamków o różnych mianownikach otrzymujemy, znajdując wspólną wielokrotność obu ułamków. Może być to najmniejsza wspólna wielokrotność, ale nie musi. Liczniki ułamków przemnażamy odpowiednio przez taką samą liczbę, przez jaką przemnożyliśmy mianownik tego ułamka, aby zachować równość. Przykład: $\frac{3}{11}+\frac62=\frac{3\cdot2}{11\cdot2}+\frac{6\cdot11}{2\cdot11}=\frac{6+66}{22}$ .

Działania na ułamkach:

Dodawanie:

ułamków o takim samym mianowniku, na przykład $\frac32+\frac52=\frac{3+5}{2}$ ,

ułamków o różnych mianownikach, na przykład $\frac32+\frac75=\frac{3\cdot 5+7\cdot 2}{2\cdot 5}$

ułamka i liczby, na przykład $\frac23+1=1\frac23$ .

Odejmowanie:

ułamków o takim samym mianowniku, na przykład $\frac32-\frac52=\frac{3-5}{2}$ ,

ułamków o różnych mianownikach, na przykład $\frac32-\frac75=\frac{3\cdot 5-7\cdot 2}{2\cdot 5}$

ułamka i liczby, na przykład $\frac23+1=1\frac23$ .