Działania na ułamkach zwykłych

Przypomnijmy, jak wykonujemy dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych.

Przykład 1

Na swoje urodziny Ania przygotowała dwie, jednakowej wielkości pizze. Zuzia, koleżanka Ani zjadła dwa kawałki z pierwszej pizzy i jeden kawałek drugiej. Obliczmy, jaką część jednej pizzy zjadła Zuzia. Zuzia poczęstowała się dwoma kawałkami z pierwszej pizzy, która była podzielona na osiem części oraz jednym kawałkiem drugiej pizzy, która była podzielona na sześć równych części.

\frac{2}{8} + \frac{1}{6}

Aby obliczyć jaką część pizzy zjadła Zuzia musimy dodać do siebie te dwa ułamki. Najpierw jednak skrócimy pierwszy ułamek przez dwa a następnie sprowadzimy obydwa ułamki do wspólnego mianownika. Będzie nim liczba $12$ .

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12}

A teraz dodamy do siebie liczniki tych ułamków, a mianownik pozostawimy bez zmian.

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

Zuzia zjadła $\frac{5}{12}$ pizzy.

Przykład 2

Policzymy teraz jaka część z obydwu pizz przygotowanych przez Anię pozostała jeszcze dla innych gości. Aby obliczyć, jaka część obydwu pizz pozostała musimy od dwóch pizz odjąć części pizzy, którą zjadła Zuzia.

2 - \frac{5}{12}

Podobnie jak przy dodawaniu, aby odjąć od siebie dwa ułamki sprowadzamy je najpierw do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy liczniki. Wspólnym mianownikiem będzie $12$ . Czyli mamy dwadzieścia cztery dwunaste

2 - \frac{5}{12} = \frac{24}{12}

2 - \frac{5}{12} = \frac{24}{12} - \frac{5}{12} = \frac{19}{12}

po wyłączeniu całości otrzymamy $1 \frac{7}{12}$ .
Pozostało jeszcze $\frac{17}{12}$ pizzy.

Przykład 3

Spróbujmy teraz od trzy i jedna czwarta odjąć jeden i dwie trzecie. Nie możemy odjąć od siebie całości, a dopiero potem zająć się ułamkami, ponieważ jedna czwarta jest mniejsza od dwóch trzecich.

\frac{1}{4} < \frac{2}{3}

ponieważ

\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \frac{2}{3} = \frac{8}{12}

Musimy odejmowanie zapisać w postaci:

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych.

Już wiesz

RhPsOTUzHSfAM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RrHkPSYpqqMCC1

Odejmowanie liczb mieszanych.

Już wiesz

R1LhTDe1g7bvZ1

izCHsKVxrP_d5e752

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci.

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3}$
$\frac{2}{4} + \frac{3}{4}$
$\frac{3}{15} + 1 \frac{2}{15}$
$3 \frac{2}{3} + 1 \frac{2}{3}$
$\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9}$
$1 \frac{3}{8} + 2 \frac{4}{8} + 3 \frac{5}{8}$

$1$
$1 \frac{1}{4}$
$1 \frac{1}{3}$
$5 \frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$7 \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 2

Oblicz w pamięci.

$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}$
$1 \frac{7}{12} - \frac{5}{12} - \frac{1}{12}$
$3 \frac{2}{3} - 1 \frac{2}{3}$
$3 - 1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$3 \frac{1}{3} - \frac{2}{3}$
$5 \frac{1}{5} - 2 \frac{3}{5}$

$\frac{2}{5}$
$1 \frac{1}{12}$
$2$
$1$
$2 \frac{2}{3}$
$2 \frac{3}{5}$

RK9ZhJh4cWdn11

Ćwiczenie 3

Połącz w pary.

$3 \frac{1}{6}$
$2 \frac{9}{35}$
$7 \frac{2}{3}$
$1 \frac{7}{12}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{7}{24}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Liczba $2 \frac{1}{3}$ jest wynikiem działania

RyI31qVTxqTz2

$1 \frac{1}{12} + 1 \frac{1}{12}$
$2 \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$
$3 - \frac{1}{6}$
$6 \frac{5}{6} - 4 \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 5

Na działce rosną róże i tulipany. Uprawa róż zajmuje $\frac{2}{3}$ całej działki, a $\frac{1}{4}$ działki zajmują tulipany. Jaką część powierzchni całej działki zajmują kwiaty?

ROGbBEeaam0oh

$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{11}{12}$
$\frac{2}{7}$

Rf7QXhCXC7QnI

Ćwiczenie 6

Przy planowaniu trasy wycieczki klasowej okazało się, że $\frac{5}{12}$ liczby wszystkich uczniów zwiedzało już Gdańsk, lecz nie było w Krakowie, a $\frac{1}{4}$ liczby uczniów chciałaby pojechać do Gdańska, bo było już w Krakowie. Jaka część klasy nie widziała żadnego z tych miast?

$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{4}$

Ćwiczenie 7

Od sumy liczb $2 \frac{3}{4}$ i $1 \frac{2}{5}$ odejmij $\frac{3}{20}$ .

$4$

Ćwiczenie 8

Suma trzech liczb wynosi $5 \frac{3}{4}$ . Druga z nich to $1 \frac{1}{3}$ , a pierwsza jest o $1 \frac{1}{12}$ mniejsza od drugiej. Znajdź trzecią liczbę.

Trzecia liczba to $4 \frac{1}{6}$ .

Ćwiczenie 9

W pierwszej klasie gimnazjum przeprowadzono wśród uczniów ankietę na temat spędzania wolnego czasu. Spośród ankietowanych $\frac{3}{4}$ lubi oglądać filmy, a $\frac{1}{3}$ uczniów preferuje długie spacery. Czy są w klasie osoby, które wybrały obie formy spędzania wolnego czasu? Jeśli tak, to jaka to część wszystkich uczniów?

$\frac{1}{12}$

Ćwiczenie 10

Tomek opowiedział kolegom, jak zazwyczaj wydaje swoje kieszonkowe:
$-$ Na słodycze przeznaczam $\frac{1}{3}$ kieszonkowego, $\frac{2}{5}$ kieszonkowego wydaję na karnet na siłownię. Na zakup gazet wydaję $\frac{1}{6}$ kwoty, za wstęp na pływalnię płacę $30$ złotych, $\frac{1}{12}$ kwoty przeznaczam na zakup karmy dla kota. Na kosmetyki zostaje mi $\frac{1}{5}$ kieszonkowego.
Czy Tomek powiedział prawdę?

Tomek nie mówi prawdy, bo wykorzystał już $1 \frac{11}{60}$ kieszonkowego i jeszcze płaci $30$ złotych za pływalnię.

Ćwiczenie 11

Oblicz w pamięci.

$\frac{2}{3} ∙ 2$
$\frac{1}{3} ∙ \frac{2}{3}$
$\frac{4}{3} ∙ \frac{2}{3}$
$1 \frac{1}{3} ∙ 2$
$\frac{1}{2} ∙ \frac{1}{3} ∙ \frac{1}{4}$
$1 \frac{1}{2} ∙ 1 \frac{1}{2}$

$1 \frac{1}{3}$
$\frac{2}{9}$
$\frac{8}{9}$
$2 \frac{2}{3}$
$\frac{1}{24}$
$2 \frac{1}{4}$

R11lrJKq1ANf41

Ćwiczenie 12

Połącz w pary.

$\frac{1}{5}$
$\frac{7}{9}$
$2 \frac{6}{7}$
$\frac{5}{16}$
$2 \frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Oblicz w pamięci.

$\frac{1}{2} : \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4} : 3$
$\frac{4}{3} : \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4} : 4$
$1 \frac{1}{2} : 2$
$4 : \frac{1}{2} : 4$

$1$
$\frac{1}{4}$
$4$
$\frac{1}{16}$
$\frac{3}{4}$
$2$

RplYvlvGHSGQk1

Ćwiczenie 14

Połącz w pary.

$3$
$12$
$\frac{9}{35}$
$1 \frac{1}{3}$
$36$
$4 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Liczba $2,5$ jest wynikiem działania

RarMDbZaOhfk7

$\frac{2}{5} ∙ 5$
$25 ∙ \frac{1}{5}$
$\frac{1}{2} ∙ 5$
$25 ∙ \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 16

Janek, idąc do szkoły, pokonuje $384$ metry. Długość drogi Julka do szkoły stanowi trzecią część długości drogi Janka. A zatem Julek ma do szkoły

RrEc5y83Mc1KP

$1152$ metry
$128$ metrów
$192$ metry
$768$ metrów

Ćwiczenie 17

Ania poprosiła mamę o $30 zł$ na bilet do kina. Ile złotych kieszonkowego dostaje Ania, jeżeli cena biletu stanowi $\frac{3}{5}$ kieszonkowego Ani?

ROHFSTt6qo7G9

$20 zł$
$30 zł$
$40 zł$
$50 zł$

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R12Pe3UKWhvuy

Jeżeli za $\frac{3}{4}$ kilograma cukierków zapłacimy $24 zł$ , to kilogram tych cukierków kosztuje $18 zł$ .
Połowa z połowy liczby $5$ to $\frac{5}{4}$ .
Liczba $a = 4$ , a liczba $b = 12$ . Zatem liczba $a$ stanowi $\frac{1}{3}$ liczby $b$ .
Jeżeli najmniejszą liczbę pierwszą podzielimy przez najmniejszą liczbę złożoną, to otrzymamy $\frac{1}{2}$ .

Ćwiczenie 19

Ile razy iloczyn liczb $1 \frac{1}{2}$ i $3$ jest większy od ilorazu tych liczb?

$9$ razy

Ćwiczenie 20

W klasie pierwszej gimnazjum jest $24$ uczniów. Liczba dziewcząt stanowi $\frac{1}{4}$ liczby wszystkich uczniów klasy. Ile jest dziewcząt, a ilu chłopców w tej klasie? Jaki jest stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt?

W klasie jest $6$ dziewcząt i $18$ chłopców. Stosunek $3 : 1 .$

Ćwiczenie 21

W sklepie warzywnym było $240 kg$ pomarańczy. Pierwszego dnia sprzedano $\frac{3}{8}$ wszystkich pomarańczy, drugiego $\frac{3}{5}$ pozostałych, a trzeciego dnia resztę.

Ile kilogramów pomarańczy sprzedano każdego dnia?
Jaki był zysk ze sprzedaży pomarańczy, jeżeli pierwszego i drugiego dnia cena brutto była o $40$ groszy wyższa od ceny netto, a trzeciego dnia cena brutto była o $30$ groszy wyższa od ceny netto?
Jaki jest stosunek zysku ze sprzedaży pomarańczy do ceny ich zakupu w hurtowni, jeżeli cena netto wynosiła $3 zł$ za kilogram?

$1$ dzień – $90 kg$ , $2$ dzień – $90 kg$ , $3$ dzień – $60 kg$ .
zysk – $90 zł$
stosunek $1 : 8$

Ćwiczenie 22

Poszukaj w dostępnych źródłach wiedzy, co to są ułamki egipskie. Przedstaw ułamek $\frac{77}{60}$ jako sumę ułamków egipskich.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{77}{60}$

Zapisywanie i odczytywanie liczb w systemie rzymskim

Działania na ułamkach dziesiętnych