Funkcja wykładnicza i jej własności

Learning objectives

• You will learn how to draw the function $f\left(x\right)=a^x$.

• You will learn the properties of the function $f\left(x\right)=a^x$ based on its graph.

Learning effect

• You draw the function $f\left(x\right)=a^x$.

• You use the properties of the function $f\left(x\right)=a^x$ based on its graph.

Try to recall what you remember about functions and how to describe them. The aim of this lesson is to get to know the graph and properties of the function $f\left(x\right)=a^x$, where $a>0$ and $a\ne 1$.

Find the definition of the exponential functionexponential functionexponential function in available sources.

Analyze the applet presenting graphs of exponential functions. Based on the graphs, determine properties of the functions. Draw your own conclusions.

Task 2

RPj2NQnG9IyLF1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Analyze the material contained in the description. Discuss the properties of the function $f\left(x\right)=a^x$ depending on the value of $a$ ($a>1$ or $a\in (0,1)$).

RwvtF6prz0B0T1

Aplet geogebra: Wykresy funkcji wykładniczych. . Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplet geogebra: Wykresy funkcji wykładniczych. . Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DRgCn6BW8

R1cn1IVQZbbjX

Po prawej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi zaznaczono liczby od minus pięć do dziewięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi zaznaczono liczby od minus dwa do dziesięciu. W układzie narysowany jest wykres funkcji wykładniczej. Krzywa, która jest wykresem funkcji, umieszczona jest w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych, przecina oś y w punkcie o współrzędnych zero, jeden. Na wykresie zaznaczony jest punkt o współrzędnych trzy, osiem. Jest to wykres funkcji rosnącej. Asymptotą poziomą wykresu jest oś x. Po lewej stronie rysunku znajduje się tytuł: Exponential function. Poniżej jest napis There is given a graph of the function f od x równa się dwa do potęgi x. Find the value of function at the point 3. Poniżej f od trzech równa się osiem.

R6Zi06spOKV3n

Po prawej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi zaznaczono liczby od minus pięć do dziewięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi zaznaczono liczby od minus dwa do dziesięciu. W układzie narysowany jest wykres funkcji wykładniczej. Na wykresie zaznaczony jest punkt o współrzędnych minus dwa, cztery. Krzywa, która jest wykresem funkcji, umieszczona jest w pierwszej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, przecina oś y w punkcie o współrzędnych zero, jeden. Jest to wykres funkcji malejącej. Asymptotą poziomą wykresu jest oś x. Po lewej stronie rysunku znajduje się tytuł: Exponential function. Poniżej jest napis There is given a graph of the function f od x równa się w nawiasie jedna druga, poza nawiasem do potęgi x. Find the value of function at the point -2. Poniżej f od minus dwóch równa się cztery.

RAE9u49R5l3fw

Po prawej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest małą literą x. Na osi zaznaczono liczby od minus pięć do dziewięciu. Oś pionowa oznaczona jest małą literą y. Na osi zaznaczono liczby od minus dwa do dziesięciu. W układzie narysowany jest wykres funkcji wykładniczej. Na wykresie zaznaczony jest punkt o współrzędnych minus jeden, trzy. Krzywa, która jest wykresem funkcji, umieszczona jest w pierwszej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych, przecina oś y w punkcie o współrzędnych zero, jeden. Jest to wykres funkcji malejącej. Asymptotą poziomą wykresu jest oś x. Po lewej stronie rysunku znajduje się tytuł: Exponential function. Poniżej jest napis There is given a graph of the function f od x równa się w nawiasie jedna trzecia, poza nawiasem do potęgi x. Find the value of function at the point -1. Poniżej f od minus jednego równa się trzy.

Conclusion:

• The graph of the function $f\left(x\right)=a^x$, where $a>0$ and $a\ne 1$ is in the first and second quadrant of the coordinate system.

• It intersects the Y axis at the point of coordinates $(0,1)$.

• The domaindomaindomain of this function is all real numbers.

• The set of valuesset of valuesset of values is the interval $(0, +\infty )$.

• The function is increasing for $a>0$, decreasing for $0<a<1$.

• The asymptote of the graph of this function is the X axis.

Use the acquired knowledge to solve the following tasks.

Conclusion
The graph of function $f\left(x\right)=2^x$ is symmetrical to the graph of function $g\left(x\right)=(\frac{1}{2}{)}^x$ with respect to the axis Y.

Conclusion
The graph of function $f\left(x\right)=4^x$ is symmetrical to the function graph $g\left(x\right)=-4^x$ with respect to the axis X.

On completion of all the tasks do the revision exercises and try to remember.

The function $f\left(x\right)=a^x$, where $a>0$ and $a\ne 1$ specified for $x\in R$ is called the exponential functionexponential functionexponential function.

Exercises

Glossary

Keywords

domaindomaindomain

exponential functionexponential functionexponential function

monotonicity of the functionmonotonicity of the functionmonotonicity of the function

set of valuesset of valuesset of values

zero of the functionzero of the functionzero of the function