Temat

Funkcja wykładnicza i jej własności

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcja. Uczeń:
4. odczytuje z wykresu funkcji dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
14. posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Sporządzanie wykresu funkcji $f\left(x\right)=a^x$.

3. Określanie własności funkcji $f\left(x\right)=a^x$ na podstawie jej wykresu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- sporządza wykres funkcji $f\left(x\right)=a^x$,

- określa własności funkcji $f\left(x\right)=a^x$ na podstawie jej wykresu.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracują w małych grupach. Ich zadaniem jest usystematyzowanie poznanych wcześniej wiadomości na temat funkcji i sposobu jej opisywania. Zebrane informacje przedstawiają w postaci mapy myśli.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie wykresu i własności funkcji $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne 1$.

Uczniowie, pracując w dwóch  grupach, sporządzają wykresy funkcji typu $f\left(x\right)=a^x$.

Polecenie dla grupy 1
Korzystając z tabelki naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=3^x,x\in R$.

[Tabela 1]

Polecenie dla grupy 2
Korzystając z tabelki naszkicuj wykres funkcji $f\left(x\right)=(\frac{1}{3}{)}^x,x\in R$.

[Tabela 2]

Prezentując wyniki swojej pracy, uczniowie omawiają również jaki jest zbiór wartości funkcji, której wykres sporządzali, czy funkcja posiada miejsce zerowe, czy funkcja jest monotoniczna.

Nauczyciel informuje uczniów, że funkcja $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne 1$ nosi nazwę funkcji wykładniczej. Podaje uczniom definicję tej funkcji.

Definicja
Funkcję $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ , $a\ne 1$ i $x\in R$ , nazywamy funkcją wykładniczą.

Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują aplet przedstawiający wykresy funkcji wykładniczych. Na podstawie wykresów określają ich  własności. Formułują odpowiedni wniosek.

Polecenie

Przeanalizuj materiał zawarty w opisie. Omów własności funkcji $f\left(x\right)=a^x$ w zależności od wartości
$a(a>1\mathrm{lub}a\in (0,1\left)\right)$.

[Geogebra aplet]

Uczniowie powinni zauważyć, że:

- Wykres funkcji $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne 1$ znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych.

- Przecina oś Y w punkcie o współrzędnych (0,1) .

- Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.

- Zbiorem wartości jest przedział $(0,+\infty )$.

- Funkcja jest rosnąca dla $a>0$ , malejąca dla $0<a<1$.

- Asymptotą wykresu funkcji jest oś X.

Uczniowie wykorzystują poznane wiadomości do rozwiązywania zadań.

Polecenie
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f\left(x\right)=2^x$ , $x\in R$ oraz $g\left(x\right)=(\frac{1}{2}{)}^x$ , $x\in R$ . Jak są położone względem siebie wykresy tych funkcji? Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek
Wykres funkcji $f\left(x\right)=2^x$ jest symetryczny do wykresu funkcji $g\left(x\right)=(\frac{1}{2}{)}^x$ względem osi Y.

Polecenie
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $f\left(x\right)=4^x$ i $g\left(x\right)=-4^x$. Jak są położone względem siebie wykresy tych funkcji? Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek
Wykres funkcji $f\left(x\right)=4^x$ jest symetryczny do wykresu funkcji $g\left(x\right)=-4^x$ względem osi X.

Polecenie
Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji $f\left(x\right)=-(\frac{1}{5}{)}^x$ w przedziale ?

Polecenie
Do wykresu funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=a^x$ należy punkt $K(-2,9)$. Zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy także punkt $M(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Polecenie dla chętnych
Rozwiąż graficznie nierówność $(\frac{1}{2}{)}^x>8$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające i wspólnie podsumowują zajęcia formułując definicję  do zapamiętania.

Funkcję $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne 1$ określoną dla $x\in R$ nazywamy funkcją wykładniczą.