Figury osiowosymetryczne

W tym materiale zawarte są informacje na temat figur osiowosymetrycznych. Podana jest definicja oraz niektóre własności tych figur. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania zadań związanych z tym tematem.

R1TGWWwaLUxxM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Figura $F_{2}$ jest obrazem figury $F_{1}$ w symetrii względem prostej $p$ . Przesuwając suwak możemy połączyć figury $F_{1}$ i $F_{2}$ , otrzymując figurę $G$ w kształcie gitary.

R1XIbIrbhrkuW1

W symetrii względem prostej $p$ punkty figury $G$ , które należały do figury $F_{1}$ , można przekształcić na odpowiednie punkty figury $F_{2}$ . Zatem każdy punkt figury $G$ można przekształcić w symetrii względem prostej $p$ na punkt należący również do figury $G$ . O takiej figurze mówimy, że jest osiowosymetryczna.

Weźmy trzy dowolne punkty $A$ , $B$ , $C$ i znajdźmy obrazy $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ tych punktów w symetrii względem prostej $p$ .

R82DHdqBrCbzY1

Figura osiowosymetryczna

Definicja: Figura osiowosymetryczna

Figurę $G$ nazywamy osiowosymetryczną, jeżeli istnieje taka prosta $p$ , iż każdy punkt figury $G$ , po przekształceniu w symetrii względem prostej $p$ , należy do figury $G$ .
Prostą $p$ nazywamy osią symetrii figury $G$ .

Przykłady figur osiowosymetrycznych

R1CcvFpCwHQpH1

Rysunek bramy, muchy i tulipana. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura osiowosymetryczna jest swoim obrazem w symetrii osiowej.

Przykład 1

Przykłady czworokątów osiowosymetrycznych.

RXQo2AtnJrLgY1

Rysunek rombu, trapezu równoramiennego, kwadratu i prostokąta. W rombie poprowadzone dwie osie symetrii, w trapezie jedna oś symetrii, w kwadracie cztery osie symetrii, a w prostokącie dwie osie symetrii. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R778ZDbzwwRi11

Odpowiedź:

W ten sposób możemy otrzymać różne trapezy równoramienne, deltoidy oraz trójkąty równoramienne.

Ćwiczenie 1

Wskaż w najbliższym otoczeniu elementy, które można przyjąć za modele figur osiowosymetrycznych.

Ważne!

Obiekty, które przedstawiono na rysunkach w przykładowej odpowiedzi do ćwiczenia $1$ można uznać za figury osiowosymetryczne, ale w rzeczywistości są one bryłami.

Przykład 3

Przyjrzyjmy się wielokątom na rysunku. Ile osi symetrii ma każdy z nich?

RXfoBqNMT8I791

Rysunek trójkąta równobocznego i kwadratu. W trójkącie i kwadracie poprowadzone osie symetrii. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Trójkąt równoboczny ma $3$ osie symetrii, a kwadrat ma $4$ osie symetrii.

Ćwiczenie 2

Każdy z narysowanych wielokątów ma osie symetrii. Wskaż je.

Każdy z narysowanych wielokątów ma osie symetrii. Wskaż je. Podaj ile osi symetrii ma każda z nich.

R1J7pX06jtkzM1

Rysunki pięciokąta foremnego, gwiazdy pięcioramiennej i sześciokąta foremnego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Hq1pXoaQi3D1

Rysunki pięciokąta foremnego, gwiazdy pięcioramiennej i sześciokąta foremnego. Pięciokąt ma pięć osi symetrii, gwiazda pięć osi symetrii a sześciokąt ma sześć osi symetrii. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie rysunku możemy zauważyć, że figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii.
Natomiast nie każda figura ma oś symetrii.

Pięciokąt ma $5$ osi symetrii, gwiazda pięcioramienna ma $5$ osi symetrii, a sześciokąt ma $6$ osi symetrii.

Możemy zauważyć, że figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii. Natomiast nie każda figura ma oś symetrii.

Przykład 4

Przykłady figur, które nie mają osi symetrii.

RD7PmxlaWCJrA1

Rysunki budzika, kątomierza i słoika. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Płatki śniegu mają przepiękne kształty. Być może dlatego, że zawsze posiadają aż sześć osi symetrii. Ponadto każdy płatek jest wyjątkowy. Nie ma dwóch identycznych.

RJG1bDeDRTyr61

Zdjęcia trzech różnych płatków śniegu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figury osiowosymetryczne można otrzymać, wykorzystując symetrię względem prostej.

Rk7zzHRxMz8Vu1

R1WBrMpI5RuHI11

Polecenie 2

Figura w kolorze niebieskim, umieszczona na rysunku, jest osiowosymetryczna względem prostej w kolorze zielonym. Utwórz z zielonych łuków figurę symetryczną do początkowej względem prostej w kolorze szarym.

R1PYJG0z4he461

R1bZrIduN2AqK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Ułóż zielone łuki tak, aby figura na rysunku była osiowosymetrycna.

R66BRV5iXBrIb1

R1YBTU7D80lyY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 4

RRyLYwG00pGg21

R3WuB5Fp9hB2P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKNUj34hZQRcM2

Ćwiczenie 3

Uzupełnij odpowiedzi na poniższe pytania, przeciągając w luki odpowiednie słowa lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile osi symetrii ma odcinek? Ile punktów wspólnych mają te osie?
Odpowiedź: Odcinek ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osie symetrii, mają one 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery punkt wspólny
Ile osi symetrii ma okrąg? Czy mają one punkt wspólny?
Odpowiedź: Okrąg ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osi symetrii. Ich punktem wspólnym jest 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery.
Czy kwadrat ma osie symetrii?
Odpowiedź: Kwadrat ma 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery osie symetrii.
Czy każdy wielokąt ma oś symetrii?
Odpowiedź: Nie każdy wielokąt ma oś symetrii, np. 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery nie ma osi symetrii.
Czy prosta jest figurą osiowosymetryczną?
Odpowiedź: 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery, prosta 1. nieskończenie wiele, 2. jeden, 3. Tak, 4. punkt leżący na krawędzi okręgu, 5. trzy, 6. nie ma, 7. równoległobok (o ile nie jest rombem) o różnych przekątnych, 8. ma, 9. Nie, 10. środek okręgu, 11. dwanaście, 12. dwie, 13. cztery nieskończenie wiele osi symetrii.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 5

RIdzbHDzdMG6O1

R1UsyihSUeMFf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Poszukaj figur osiowo symetrycznych wśród dużych drukowanych liter alfabetu łacińskiego.

Które z tych liter mają oś symetrii?
Czy są wśród tych liter takie, które mają więcej niż jedną oś symetrii?

R13CuHU2dsMBy1

Rysunek dwudziestu sześciu kolejnych liter alfabetu łacińskiego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6jLmzUIvv2ak

Przeciągnij litery do odpowiednich grup. W alfabecie łacińskim osie symetrii mają litery: Możliwe odpowiedzi: 1.

H

, 2.

T

, 3.

U

, 4.

I

, 5.

C

, 6.

O

, 7.

O

, 8.

V

, 9.

B

, 10.

X

, 11.

A

, 12.

X

, 13.

Y

, 14.

W

, 15.

D

, 16.

M

, 17.

I

, 18.

H

Dwie osie symetrii mają litery: Możliwe odpowiedzi: 1.

H

, 2.

T

, 3.

U

, 4.

I

, 5.

C

, 6.

O

, 7.

O

, 8.

V

, 9.

B

, 10.

X

, 11.

A

, 12.

X

, 13.

Y

, 14.

W

, 15.

D

, 16.

M

, 17.

I

, 18.

H

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Narysuj czworokąt, który ma

jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.

RsE5Onnqa5qk4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj czworokąt, który ma

jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.

RhTSn8K3mo2Fm2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wśród figur przedstawionych na rysunku wskaż figury osiowosymetryczne.

RGcx0oJcjPxdg1

Na pierwszym rysunku znajduje się wysoka wieża oraz dwa budynki pod nią. Budynek po prawej stronie wieży jest wyższy niż ten po lewej. Na drugim rysunku znajduje się niebieska torebka z poziomą kokardą. Na trzecim rysunku znajduje się prosty wazon. Na czwartym rysunku znajduje się rower. Na piątym rysunku znajduje się czarna torba z paskiem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figurę $G$ nazywamy osiowosymetryczną, jeżeli istnieje taka prosta $p$ , iż każdy punkt figury $G$ po przekształceniu w symetrii względem prostej $p$ należy do figury $G$ .

RfvZiO0rbVssB2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RehEuxPp94QwJ2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Narysuj figurę $G$ , która ma co najmniej jedną oś symetrii i która składa się z

dwóch okręgów,
dwóch prostych,
trzech punktów,
pięciu prostych.

R1NsRvpmsom66

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Podaj przykład figury, która ma co najmniej jedną oś symetrii i która składa się z

dwóch okręgów,
dwóch prostych,
trzech punktów,
pięciu prostych.

RzLjK1oYaPH212

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhgM7v1cF6zjs2

Ćwiczenie 12

prosta
okrąg
trójkąt równoboczny
dowolny równoległobok

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R4eFIWdDGWnE93

Ćwiczenie 13

kwadrat
deltoid
trapez równoramienny
trójkąt różnoboczny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Narysuj

trójkąt różnoboczny i prostą $a$ przechodzącą przez środek jednego z jego boków; uzupełnij rysunek tak, aby otrzymać figurę, której osią symetrii będzie prosta $a$ ;
prostokąt i prostą $p$ będącą jego przekątną; uzupełnij rysunek tak, aby otrzymać figurę, której osią symetrii będzie prosta $p$ .

R19j5EnSjWEu0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dany jest prostokąt o wymiarach $3 cm$ na $4 cm$ . Prosta $p$ przechodzi przez krótszy bok tego prostokąta. Jaka figura powstanie po uzupełnieniu tego rysunku tak, aby prosta $p$ była osią symetrii tej figury?

Zastanów się w których miejscach będą znajdowały się wierzchołki tej figury w symetrii osiowej względem prostej $p$ , oraz jakie figury one utworzą.

RON7Goj7jSwJy

Powstanie prostokąt o wymiarach $8 cm$ na $3 cm$ .

Ćwiczenie 15

Kwadrat o boku długości $3 cm$ przecięto wzdłuż osi symetrii równoległej do jego dwóch boków, otrzymując figury $A$ i $B$ .

Oblicz pole i obwód jednej z tak otrzymanych figur, np. figury $A$ . Co możesz powiedzieć o polu i obwodzie figury $B$ ?
Ile razy mniejsze jest pole figury $A$ od pola kwadratu?

Ta oś symetrii rozetnie ten kwadrat na dwa prostokąty o bokach długości $3 cm$ i $1, 5 cm$ .

Pole figury $A$ jest równe $4, 5 {cm}^{2}$ .
Obwód figury $A$ jest równy $9 cm$ .
Pole i obwód figury $B$ są równe odpowiednim wielkościom figury $A$ .
Pole figury $A$ jest dwa razy mniejsze od pola kwadratu.

Ćwiczenie 16

Czy figura zaprezentowana na grafice jest figurą osiowosymetryczną? Ile osi symetrii ma ta figura?

R11dGpIuDDi831

Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQwnkHqgPRgP2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.