Figury podobne

RMfdUwIUyrfIH1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ważne!

Figury, które mają ten sam kształt, ale które mogą mieć inną wielkość, nazywamy podobnymi.

RYPkrAcDHhhyA1

Rysunek trójkąta równobocznego podzielonego na czterdzieści dziewięć małych, jednakowych trójkątów równobocznych. W dużym trójkącie zaznaczony jest trójkąt równoboczny G złożony z czterech małych trójkątów oraz trójkąt równoboczny T złożony z szesnastu małych trójkątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figura $F$ jest podobna do figury $G$ . Symbolicznie zapisujemy

F ~ G

Skala podobieństwa

R1athTGJlKeze1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

R10gfpIrDdHAh1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 2

R6o7igdYo9Vgi1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

R1HdlAbB4OEpk1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

R4yvAkq8NzvDr1

Rysunek trzech tych samych zdjęć w różnych wymiarach: w skali 100%, 75% oraz 54%. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszą z fotografii zmniejszono. Wymiary drugiej fotografii stanowią $75 %$ odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Wymiary trzeciej fotografii stanowią $54 %$ odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Zatem druga z fotografii jest obrazem pierwszej w skali $75 : 100$ , a trzecia jest obrazem pierwszej w skali $54 : 100$ .
Prostokąty, w kształcie których są fotografie, to figury podobne. Powiemy, że drugi jest podobny do pierwszego w skali $\frac{75}{100}$ , a trzeci do pierwszego w skali $\frac{54}{100}$ .

Ważne!

Skalą podobieństwa nazywamy liczbę $k (k > 0)$ , wyrażającą stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych.

Przykład 1

Figurę $F$ przedstawiono w skali $1,2 : 1$ , otrzymując figurę $G$ .

RpmiYALw5hkfR1

Rysunek dwóch figur podobnych F i G w kształcie sześcioramiennej gwiazdy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figury $F$ i $G$ to figury podobne. Figura $F$ jest podobna do figury $G$ w skali $k = \frac{10}{12}$ . Figura $G$ jest podobna do figury $F$ w skali $s = \frac{12}{10}$ .

Ważne!

Niech figury $F$ i $G$ będą podobne w skali $k$ .
Jeśli $A, B$ są punktami figury $F$ , a punkty $A_{1}$ , $B_{1}$ są odpowiadającymi im punktami figury $G$ , to $|A_{1} B_{1}| = k \cdot |AB|$ .

i1N1evcrkd_d5e224

Ćwiczenie 3

Określ skalę podobieństwa figur.

R5hdrnEPg9Ml91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 2

Okrąg $0_{1}$ jest podobny do okręgu $0_{2}$ w skali $k = \frac{3}{4}$ . Średnica okręgu $O_{1}$ jest równa $15$ . Oblicz pole koła, którego promień jest równy promieniowi okręgu $0_{2}$ .
Oznaczmy
$d_{1}$ – średnica okręgu $0_{1}$
$d_{2}$ – średnica okręgu $0_{2}$
Okrąg $0_{1}$ jest podobny do okręgu $0_{2}$ w skali $k = \frac{3}{4}$ . Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy średnicę drugiego z okręgów.

\frac{d_{1}}{d_{2}} = k

\frac{15}{d_{2}} = \frac{3}{4}

3 d_{2} = 60

d_{2} = 20

Średnica okręgu $0_{2}$ jest równa $20$ , zatem promień tego okręgu wynosi $10$ .
Obliczamy pole koła o promieniu $10$ .

P = π \cdot 1 0^{2} = 100 π

Pole koła jest równe $100 π$ .

Ważne!

Każde dwie figury przystające są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi $1$ .

R1MrPnLcZyhlr1

Rysunki trzech par figur podobnych: samochodzików, składanych szybowców i rowerów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Ogrodzenie zbudowane jest z elementów, z których każdy podobny jest do sąsiedniego w skali $1$ .

RV7PSlO32dzu51

Rysunek ogrodzenia zbudowanego z tej samej wysokości i kształtu metalowych elementów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W skład porcelanowego serwisu do kawy wchodzi 6 filiżanek, podobnych jedna do drugiej w skali $1$ .

RvyJCOpYDkWYM1

Rysunek serwisu do kawy złożonego z dzbanka, cukiernicy, dzbanuszka do śmietanki oraz sześciu, o jednakowym kształcie, filiżanek z podstawkami. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Przykłady figur podobnych
W życiu codziennym często spotykamy się z obiektami, które przypominają figury podobne.

R15Wm8QMNToIY1

Ważne!

Figury geometryczne podobne to na przykład:

dwa dowolne odcinki,
dwa dowolne okręgi,
dwa dowolne kwadraty.
RHPYnW53MFayJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Każde dwa odcinki są podobne. Każde dwa okręgi są podobne. Każde dwa kwadraty są podobne.

RhvAatTvvRK7u1

Rysunki czterech kul i trzech sześcianów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Każde dwie kule są podobne.
Każde dwa sześciany są podobne.

Przykład 5

Na planie wykonanym w skali $1 : 50$ dywan leżący w pokoju Wieśka jest przedstawiony jako kwadrat o przekątnej długości $8 cm$ . W rzeczywistości dywan leży pośrodku pokoju i jest oddalony od każdej ze ścian o $0,7 5 m$ . Oblicz pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka.
Kwadrat, w kształcie którego jest dywan leżący w pokoju Wieśka, jest podobny w skali $k = 50$ do kwadratu przedstawiającego go na planie.
Obliczmy rzeczywistą długość $d$ przekątnej dywanu.

\frac{d}{8} = 50

d = 400 cm = 4 m

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i obliczamy długość a boku kwadratu.

d = a \sqrt{2}

4 = a \sqrt{2}

a = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}

Teraz możemy obliczyć długość $x$ boku kwadratu, w kształcie którego jest podłoga.

x = 1,5 + 2 \sqrt{2}

x = (1,5 + 2 \sqrt{2}) m

Obliczamy pole $P$ powierzchni podłogi – jako pole kwadratu.

P = (1,5 + 2 \sqrt{2}) (1,5 + 2 \sqrt{2})

P = 2,25 + 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 8

P = 10,25 + 6 \sqrt{2}

P \approx 18,74 m^{2}

Pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka jest równe około $18,74 m^{2}$ .

i1N1evcrkd_d5e399

Otrzymywanie figur podobnych

Pokażemy na przykładach, jak można skonstruować figurę podobną do danej.

Przykład 6

Skonstruujemy odcinek $CD$ podobny do danego odcinka $AB$ w skali $k = 3$ .

R11UqUSEF4hW01

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 4

Narysuj dowolny czworokąt.
Zaproponuj sposób konstrukcji figury podobnej w skali $k = 0,5$ do tego czworokąta.

Wskazówka $-$ skorzystaj z podanej konstrukcji trójkąta podobnego do danego.

classicmobile

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1GLWJnuuvzwL

Każde dwa okręgi o równych obwodach są podobne.
Każde dwa prostopadłe odcinki są podobne.
Każde dwa kąty są podobne.
Okrąg o promieniu r jest podobny do koła o promieniu $2 r$ .
Prosta jest podobna do odcinka, który jest do niej równoległy.

static

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1EF8R8h6X1DK

Każde dwa okręgi o równych obwodach są podobne.
Każde dwa prostopadłe odcinki są podobne.
Każde dwa kąty są podobne.
Okrąg o promieniu r jest podobny do koła o promieniu $2 r$ .
Prosta jest podobna do odcinka, który jest do niej równoległy.

classicmobile

Ćwiczenie 6

Dwa odcinki podobne są w skali $4 : 5$ . Krótszy odcinek ma długość $7 cm$ . Suma długości tych dwóch odcinków jest równa

R1errJvrn83rB

$9 cm$
$39 cm$
$14,75 cm$
$15,75 cm$

static

Ćwiczenie 6

Dwa odcinki podobne są w skali $4 : 5$ . Krótszy odcinek ma długość $7 cm$ . Suma długości tych dwóch odcinków jest równa

R132BUT7kLeiy

$9 cm$
$39 cm$
$14,75 cm$
$15,75 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 7

W skali $1 : 2$ podobny jest odcinek $AB$ do odcinka $CD$ , gdy

RAQWI8vLxoBF4

$"|"AB"|" = \sqrt{2}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{8}$
$"|"AB"|" = 1$ , $"|"CD"|" = \sqrt{2}$
$"|"AB"|" = \sqrt{2}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{32}$
$"|"AB"|" = \sqrt{3}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{6}$

static

Ćwiczenie 7

W skali $1 : 2$ podobny jest odcinek $AB$ do odcinka $CD$ , gdy

RR30nInxGrVNX

$"|"AB"|" = \sqrt{2}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{8}$
$"|"AB"|" = 1$ , $"|"CD"|" = \sqrt{2}$
$"|"AB"|" = \sqrt{2}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{32}$
$"|"AB"|" = \sqrt{3}$ , $"|"CD"|" = \sqrt{6}$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Obwód okręgu $O_{1}$ jest równy $6 π$ . Promień okręgu $O_{2}$ jest równy $4$ . Okrąg $O_{1}$ jest podobny do okręgu $O_{2}$ w skali

RLkUQoDkUdl10

$6 : 4$
$3 : 2$
$3 : 4$
$3 π : 4$

static

Ćwiczenie 8

Obwód okręgu $O_{1}$ jest równy $6 π$ . Promień okręgu $O_{2}$ jest równy $4$ . Okrąg $O_{1}$ jest podobny do okręgu $O_{2}$ w skali

RWCH2LQVAzwX3

$6 : 4$
$3 : 2$
$3 : 4$
$3 π : 4$

Ćwiczenie 9

Koło $K$ o promieniu $r$ jest podobne do koła $W$ o promieniu $w$ .
Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Skala podobieństwa	Długość promienia r	Długość promienia w	Obwód koła K	Obwód koła W	Pole koła K	Pole koła W
$5$		$9$
$0,2$	$10$
			$16 π$	$2 π$
					$π$	$25 π$

Tabela. Dane
Skala podobieństwa	Długość promienia r	Długość promienia w	Obwód koła K	Obwód koła W	Pole koła K	Pole koła W
$5$	$45$	$9$	$90 π$	$18 π$	$2025 π$	$81 π$
$0,2$	$10$	$50$	$20 π$	$100 π$	$100 π$	$400 π$
$8$	$8$	$1$	$16 π$	$2 π$	$64 π$	$π$
$0,2$	$1$	$5$	$2 π$	$10 π$	$π$	$25 π$

RLNowPBhjiRPD1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D3vRJo8Bt

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ćwiczenie 10

Narysuj dowolny odcinek.
Znajdź konstrukcyjnie odcinek

dwa razy dłuższy
cztery razy krótszy
trzy razy dłuższy

i1N1evcrkd_d5e741

Ćwiczenie 11

Narysuj trzy różne odcinki i oznacz ich długości literami $a$ , $b$ i $c$ . Skonstruuj odcinek takiej długości $y$ , aby spełniona była równość

$\frac{a}{b} = \frac{c}{y}$
$\frac{y}{a} = \frac{c}{b}$
$y = \frac{ab}{c}$

Ćwiczenie 12

Udowodnij, że każda figura osiowosymetryczna składa się z dwóch figur podobnych.

Wskazówka $-$ figura osiowosymetryczna ma oś symetrii, która dzieli tę figurę na dwie figury przystające.

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że dwusieczna kąta dzieli ten kąt na dwa katy podobne.

Wskazówka $-$ skorzystaj z definicji dwusiecznej kąta.

Ćwiczenie 14

Figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali k. Figura $F_{2}$ jest podobna do figury $F_{3}$ w skali m. Czy figury $F_{1}$ i $F_{3}$ są podobne? Jeśli tak to, w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

tak, w skali $km$

Ćwiczenie 15

Figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $k$ . Figura $F_{2}$ jest przystająca do figury $F_{3}$ . Czy figury $F_{1}$ i $F_{3}$ są podobne? Jeśli tak, to w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

tak w skali $k$

Wskazówka. Figury przystające są podobne w skali $k = 1$ .

classicmobile

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1Oz7bEEb0v2j

Figura $F’$ będąca obrazem figury $F$ w symetrii osiowej jest podobna do figury $F$ .
Każde dwie figury podobne są przystające.
Każde dwa wycinki danego koła są podobne.
Figura $F’$ będąca obrazem figury $F$ w symetrii środkowej jest podobna do figury $F$ .

static

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1JV88G957rzc

Figura $F’$ będąca obrazem figury $F$ w symetrii osiowej jest podobna do figury $F$ .
Każde dwie figury podobne są przystające.
Każde dwa wycinki danego koła są podobne.
Figura $F’$ będąca obrazem figury $F$ w symetrii środkowej jest podobna do figury $F$ .

classicmobile

Ćwiczenie 17

Zaznacz każde zdanie prawdziwe.
Koło $K_{2}$ jest podobne do koła $K_{1}$ w skali $k = 3$ . Wycinkowi kola $K_{1}$ o polu $6 π$ odpowiada kąt środkowy o mierze $60 °$ .

RcQCWxZcirY6F

Promień koła $K_{1}$ jest równy $6$ .
Obwód koła K₂ jest równy $36$ .
Pole koła $K_{2}$ jest o $288 π$ większe od pola koła $K_{1}$ .

static

Ćwiczenie 17

Zaznacz każde zdanie prawdziwe.
Koło $K_{2}$ jest podobne do koła $K_{1}$ w skali $k = 3$ . Wycinkowi kola $K_{1}$ o polu $6 π$ odpowiada kąt środkowy o mierze $60 °$ .

R1OkeOF7KMnni

Promień koła $K_{1}$ jest równy $6$ .
Obwód koła K₂ jest równy $36$ .
Pole koła $K_{2}$ jest o $288 π$ większe od pola koła $K_{1}$ .

Ćwiczenie 18

Uzupełnij zdania.
Okrąg $O_{2}$ jest podobny do okręgu $O_{1}$ w skali $\frac{2}{5}$ . W okręgu $O_{1}$ kąt środkowy o mierze $12 °$ jest oparty na łuku długości $2 π$ .
Długość okręgu $O_{1}$ jest równa …, zatem promień tego okręgu jest równy …
Ponieważ promień okręgu $O_{2}$ jest równy …, to kąt środkowy w tym okręgu oparty na łuku długości … ma miarę $45 °$ .

$60 π$ , $30, 12$ , $3 π$

Ćwiczenie 19

Koło $K_{2}$ jest podobne do koła $K_{1}$ w skali $k = 4$ . Promień koła $K_{1}$ jest równy $5$ .
Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni koła $K_{2}$ .

$100 π - 200$

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania.

Jeśli figura $F_{1}$ jest podobna do figury $F_{2}$ w skali $k$ , to $F_{2}$ jest podobna do $F_{1}$ w skali …
Jeśli koło $K$ jest podobne do koła $M$ w skali …, to promienie tych kół są równe.
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty podobne w skali …

$\frac{1}{k}, 1, 1$

Wycinek koła. Odcinek koła

Wielokąty podobne

Figury podobne

Figury podobne

Skala podobieństwa

Otrzymywanie figur podobnych