Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja
Przykład 1
Rysunki przedstawiają wielokąty. W każdej parze oba wielokąty mają tę samą liczbę boków. Określ, które z rysunków nie przedstawiają wielokątów podobnych i dlaczego.
R1SziouWG5xXe1
Rysunki wielokątów. Na pierwszym rysunku pięciokąt wypukły i pięciokąt wklęsły. Na drugim rysunku dwa różne sześciokąty wklęsłe. Na trzecim rysunku dwa sześciokąty foremne o bokach różnej długości. Na czwartym rysunku dwie strzałki złożone z odcinków różnej długości.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Jeśli dwa wielokąty o tej samej liczbie boków wyraźnie różnią się kształtem, od razu możemy powiedzieć, że nie są podobne. W przeciwnym wypadku, trudno od razu stwierdzić lub wykluczyć ich podobieństwo.
Przykład 2
Zaobserwuj, jakie cechy wspólne mają wielokąty podobne.
R1AyhefXcRZQ71
Animacja przedstawia dwa wklęsłe jedenastokąty podobne. Poruszając wierzchołkami jednego z wielokątów obserwujemy wygląd obu wielokątów poznając ich własności. Zauważamy, że zawsze wielokąty mają tę samą liczbę wierzchołków. Długości boków obu wielokątów nie są równe. Odpowiadające kąty w obu wielokątach są takie same.
Animacja przedstawia dwa wklęsłe jedenastokąty podobne. Poruszając wierzchołkami jednego z wielokątów obserwujemy wygląd obu wielokątów poznając ich własności. Zauważamy, że zawsze wielokąty mają tę samą liczbę wierzchołków. Długości boków obu wielokątów nie są równe. Odpowiadające kąty w obu wielokątach są takie same.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Odpowiedź: Wielokąty podobne mają odpowiednie kąty równe.
Przykład 3
Czworokąty na rysunku są podobne.
RLj8RrUdZCy5y1
Rysunek dwóch czworokątów podobnych. W czworokącie A B C D boki mają długości: AB =5, BC =6, CD =2 i DA =4. W czworokącie E F G H boki mają długości: EF =3, FG =1, GH =2 i HE =2,5.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Najdłuższy bok czworokąta to , a najkrótszy to . Najdłuższy bok wielokąta to , a najkrótszy to . Obliczmy w obu wielokątach stosunek boku najdłuższego do najkrótszego.
Zauważmy, że stosunki te są równe. Obliczmy jeszcze odpowiadające sobie stosunki pozostałych boków.
W każdym przypadku stosunek dwóch boków w jednym wielokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim wielokącie. Zauważmy, że wielokąt jest obrazem wielokąta w skali , zatem miary odpowiednich kątów tych wielokątów są równe.
Ważne!
W wielokątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Odpowiednie kąty w tych wielokątach są równe.
R4uMah9qSBBia1
Rysunek dwóch podobnych sześciokątów wklęsłych. W obu wielokątach tym samym kolorem oznaczono odpowiednie boki proporcjonalne oraz odpowiednie kąty o tych samych miarach.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4
Trzy kąty czworokąta F są równe: . Trzy kąty czworokąta są równe: . Wykaż, że czworokąty te nie są podobne. Korzystając z tego, że suma kątów czworokąta jest równa , obliczymy miarę czwartego z kątów w czworokącie i miarę czwartego kąta w czworokącie W.
Kąty czworokąta są więc równe: , a kąty czworokąta W: . Czworokąty mają dwa kąty o różnych miarach, nie są więc wielokątami podobnymi.
Przykład 5
Trapez prostokątny jest podobny do trapezu . Podstawy trapezu mają długości i . Wysokość tego trapezu jest równa . Wysokość trapezu jest równa . Oblicz obwód trapezu .
R16dCIRQEFYx21
Rysunek trapezu prostokątnego A B C D. Wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka C do dolnej podstawy CM =40 cm. Utworzony trójkąt prostokątny C M B ma przeciwprostokątną długości x oraz przyprostokątne długości 9 cm i 40 cm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Aby obliczyć obwód trapezu , trzeba znać długości jego wszystkich boków. Obliczmy najpierw długość ramienia trapezu . Niech będzie wysokością trapezu poprowadzoną z wierzchołka . Trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
bo
Wysokość trapezu jest równa , a trapezu jest równa . Zatem trapez jest podobny do trapezu w skali
Niech będą bokami trapezu odpowiadającymi odpowiednio bokom trapezu . Obliczamy długości boków trapezu .
RHuElYhzcU2El1
Rysunek trapezu prostokątnego E F G H.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obliczamy obwód trapezu.
Obwód trapezu jest równy .
Przykład 6
Miary kątów czworokąta są równe miarom kątów wielokąta . Boki wielokąta mają długości i . Boki wielokąta mają długości . Podobieństwo czworokątów sprawdzimy dwoma sposobami.
sposób
Sprawdzimy, czy stosunki długości boków w czworokącie są równe stosunkom odpowiadających im długości boków w wielokącie . Zapiszmy długości boków obu wielokątów w kolejności rosnącej , uzyskamy w ten sposób w kolumnach pary odpowiadających sobie boków .
Tabela. Dane
Wielokąt
Wielokąt
Badamy równość odpowiednich stosunków.
Nie wszystkie z zapisanych stosunków są równe, zatem choć miary ich kątów są równe, wielokąty nie są podobne.
sposób
Sprawdzamy, czy boki obu czworokątów są proporcjonalne.
Boki nie są proporcjonalne – czworokąty nie są podobne.
iyhXHOKHxN_d5e284
Podobieństwo wielokątów foremnych
Rysując przekątne pięciokąta foremnego, otrzymujemy wielokąt gwiaździsty, zwany pentagramem. Pentagram uważany był przez pitagorejczyków za symbol doskonałości.
R1DsNIns2YReD1
Animacja ilustruje jak z pięciokąta foremnego (pentagon) tworzy się pięciokąt gwiaździsty (pentagram). Pięciokąt gwiaździsty powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego. Następnie należy połączyć odcinkami pierwszy wierzchołek pięciokąta z trzecim, potem trzeci z piątym, piąty z drugim, drugi z czwartym i czwarty z pierwszym.
Animacja ilustruje jak z pięciokąta foremnego (pentagon) tworzy się pięciokąt gwiaździsty (pentagram). Pięciokąt gwiaździsty powstaje poprzez wyrysowanie przekątnych pięciokąta foremnego. Następnie należy połączyć odcinkami pierwszy wierzchołek pięciokąta z trzecim, potem trzeci z piątym, piąty z drugim, drugi z czwartym i czwarty z pierwszym.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ciekawostka
Z pentagramu można otrzymać gwiazdę pięcioramienną, która występuje na flagach wielu państw.
RgpditP7ce9x91
Rysunki prostokątów z gwiazdami pięcioramiennymi, które ilustrują flagi państw. Flaga Maroka – na czerwonym tle, w środku złote boki pentagramu. Flaga Somalii – na niebieskim tle, w środku biały pentagram. Flaga Chińskiej Republiki Ludowej – na czerwonym tle, w prawym górnym rogu jeden duży i cztery małe, żółte pentagramy. Flaga Wietnamu – na czerwonym tle, w środku żółty pentagram.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zastanówmy się, czy pięciokąt, w który jest wpisany pentagram, i pięciokąt, na którym zbudowane są ramiona pentagramu, to wielokąty podobne.
RI356PgXuPzJM1
Animacja prezentuje pięciokąt foremny z poprowadzonymi przekątnymi. Przekątne tworzą pentagram. Boki dużego pentagramu tworzą mały pięciokąt foremny, z którego otrzymujemy kolejny pentagram. Animacja pozwala obliczyć skalę podobieństwa.
Animacja prezentuje pięciokąt foremny z poprowadzonymi przekątnymi. Przekątne tworzą pentagram. Boki dużego pentagramu tworzą mały pięciokąt foremny, z którego otrzymujemy kolejny pentagram. Animacja pozwala obliczyć skalę podobieństwa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
W każdym z tych pięciokątów miara kąta wewnętrznego wynosi . Pięciokąty te mają więc równe kąty. Ponieważ wszystkie boki pięciokąta foremnego są równe, zatem boki większego z pięciokątów i mniejszego są proporcjonalne. Stwierdzamy zatem, że wielokąty te są podobne. Zauważmy, że w podobny sposób można uzasadnić podobieństwo wielokątów foremnych o tej samej liczbie boków.
Ważne!
Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Przykład 7
Obwód sześciokąta foremnego jest równy . Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta w skali . Oblicz długość dłuższej przekątnej sześciokąta . W sześciokącie wszystkie boki są równe. Zatem długość jednego boku wynosi
Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta foremnego, jest więc również sześciokątem foremnym. Długość jego boku wynosi
RoFPjWh1HKyAC1
Rysunek sześciokąta foremnego złożonego z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku 4 mm.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego przecinając się, tworzą trójkąty równoboczne. Przekątna zatem jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta .
Dłuższa przekątna sześciokąta ma długość .
Podobieństwo prostokątów
Wiemy już, że dwa wielokąty są podobne, gdy mają równe kąty i odpowiednie ich boki są proporcjonalne. W prostokącie każdy kąt ma miarę , więc dla każdych dwóch prostokątów zawsze jest spełniony pierwszy z warunków podobieństwa. Zatem do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarczy zbadanie proporcjonalności ich odpowiednich boków.
Przykład 8
Sprawdzimy, czy koperty o standardowych rozmiarach na na i na są w kształcie prostokątów podobnych.
RO2aTHDUT3BOT1
Rysunki prostokątnych kopert o rozmiarach C6 (114 mm na 162 mm), DL (110 mm na 220 mm) i C5 (162 mm na 229 mm).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
sposób
Badamy, czy boki odpowiednich prostokątów są proporcjonalne. i : - prostokąty nie są podobne i : - można przyjąć, że prostokąty są podobne DL i C5: - prostokąty nie są podobne
sposób
Obliczymy w każdym z prostokątów, odpowiadających kopertom, stosunek szerokości do długości.
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń możemy przyjąć, że jedynie koperty o symbolach i są w kształcie prostokątów podobnych.
Przykład 9
Wykaż, że jeżeli dwa prostokąty są podobne w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy . Rozważmy prostokąt o bokach długości i oraz prostokąt podobny do niego w skali . Wówczas prostokąt ma boki długości i .
RNrvJv1FxHhCv1
Rysunek dwóch prostokątów. Prostokąt A B C D ma boki długości a i b. Prostokąt E F G H ma boki odpowiednio długości k razy a oraz k razy b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obliczamy obwody prostokątów.
Obliczamy stosunek obwodów prostokątów i .
Stosunek obwodów prostokątów jest równy skali podobieństwa , co należało wykazać.
Ciekawostka
Narysujmy prostokąt o bokach . Do dłuższego boku dobudujmy kwadrat.
RCLXc4z7Sq4QB1
Rysunek prostokąta o bokach a i b. Obok prostokąt o bokach a i b z dobudowanym do dłuższego boku kwadratem o boku b. Powstał prostokąt o bokach a + b, b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Powstał w ten sposób prostokąt o bokach . Jeżeli dla boków tego prostokąta spełniony jest warunek
to taki prostokąt nazywamy złotym prostokątem.
R1KifIV2S8o521
Animacja przedstawia prostokąt A B C D o bokach a i b. Prostokąt A B C D jest złotym prostokątem, co oznacza, że stosunek sumy długości boków a i b do długości boku a jest równy stosunkowi długości boku a do długości boku b. Jeżeli do dłuższego boku a dobudujemy kwadrat A B E F to powstanie prostokąt D E F C. Jego długość a + b, zaś szerokość to a. W kolejnych przekształceniach wykazano, że prostokąt D E F C jest prostokątem złotym, bo również spełnia warunek: stosunek sumy długości boków a i b do długości boku a jest równy stosunkowi długości boku a do długości boku b.
Animacja przedstawia prostokąt A B C D o bokach a i b. Prostokąt A B C D jest złotym prostokątem, co oznacza, że stosunek sumy długości boków a i b do długości boku a jest równy stosunkowi długości boku a do długości boku b. Jeżeli do dłuższego boku a dobudujemy kwadrat A B E F to powstanie prostokąt D E F C. Jego długość a + b, zaś szerokość to a. W kolejnych przekształceniach wykazano, że prostokąt D E F C jest prostokątem złotym, bo również spełnia warunek: stosunek sumy długości boków a i b do długości boku a jest równy stosunkowi długości boku a do długości boku b.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
E-podręczniki z matematyki
iyhXHOKHxN_d5e483
A
Ćwiczenie 1
Pięciokąt o bokach długości jest podobny do wielokąta w skali . Uzupełnij zdania.
Najdłuższy bok wielokąta jest dłuższy od boku najkrótszego o .
Wielokąt ma boków.
Wielokąt ma obwód większy od obwodu wielokąta
Obwód wielokąta jest równy .
classicmobile
Ćwiczenie 2
Czworokąty i są podobne. Trzy kąty czworokąta Z są równe . Kąty czworokąta W są zatem równe
R1cHdaTLGbtSZ
static
Ćwiczenie 2
Czworokąty i są podobne. Trzy kąty czworokąta Z są równe . Kąty czworokąta W są zatem równe
RniOJrOeSMv1J
B
Ćwiczenie 3
W trapezie równoramiennym podstawy mają długości i . Obwód trapezu jest równy . Trapez zmniejszono, otrzymując trapez o wysokości . Jaka jest skala podobieństwa trapezu do trapezu ?
A
Ćwiczenie 4
Określ współrzędne wierzchołków wielokąta podobnego w skali do wielokąta , gdy
Wskazówka – szukany wielokąt można znaleźć, przekształcając wielokąt w symetrii względem jednej z osi układu współrzędnych lub początku układu.
classicmobile
Ćwiczenie 5
Przekątne rombu są równe i . Romb jest podobny do rombu w skali . Obwód rombu jest równy
R5veAEj4vuH3C
static
Ćwiczenie 5
Przekątne rombu są równe i . Romb jest podobny do rombu w skali . Obwód rombu jest równy
Rqqh21gfEVwaQ
classicmobile
Ćwiczenie 6
Kąt wielokąta foremnego ma miarę . Obwód wielokąta jest równy . Długość boku wielokąta podobnego w skali do wielokąta jest równa
R1WVknT25PkFV
static
Ćwiczenie 6
Kąt wielokąta foremnego ma miarę . Obwód wielokąta jest równy . Długość boku wielokąta podobnego w skali do wielokąta jest równa
R1W9R9jQbJoRF
classicmobile
Ćwiczenie 7
Do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarcza równość ich
R12cKuUUOGBnI
kątów
obwodów
przekątnych
stosunków prostopadłych boków
static
Ćwiczenie 7
Do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarcza równość ich
RoRbaKl7yI7rD
kątów
obwodów
przekątnych
stosunków prostopadłych boków
classicmobile
Ćwiczenie 8
Prostokąty podobne to prostokąty o wymiarach
R1IYSVjK5efej
na i na
na i na
na i i
na i na
static
Ćwiczenie 8
Prostokąty podobne to prostokąty o wymiarach
Rn9Mft8pxh6ix
na i na
na i na
na i i
na i na
A
Ćwiczenie 9
Prostokąt jest podobny do prostokąta w skali . Długość dłuższego boku jest równa . Oblicz długość dłuższego boku prostokąta .
A
Ćwiczenie 10
Prostokąty i są podobne. Obwód prostokąta jest równy . Długość prostokąta jest równa , a szerokość . Oblicz skalę podobieństwa prostokąta do prostokąta .
A
Ćwiczenie 11
Prostokątną fotografię o wymiarach na powiększono tak, że jej szerokość jest równa . W jakiej skali powiększono fotografię?
A
Ćwiczenie 12
W prostokącie przekątne przecinają się pod kątem ostrym o mierze . Prostokąt jest podobny do prostokąta . Jaki kąt tworzy przekątna prostokąta z dłuższym bokiem?
iyhXHOKHxN_d5e874
classicmobile
Ćwiczenie 13
Wskaż pary prostokątów podobnych.
R2XSbQeR7AydD1
Rysunek trzech par prostokątów o wierzchołkach w punktach kratowych. Na pierwszym rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 12 i 13 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 8 i 9. Na drugim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 4 i 5 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 7 i 11. Na trzecim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 3 i 6 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 6 i 12.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1LKhNapgaLqm
static
Ćwiczenie 13
Wskaż pary prostokątów podobnych.
R2XSbQeR7AydD1
Rysunek trzech par prostokątów o wierzchołkach w punktach kratowych. Na pierwszym rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 12 i 13 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 8 i 9. Na drugim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 4 i 5 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 7 i 11. Na trzecim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 3 i 6 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 6 i 12.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVqyl355xr3ss
C
Ćwiczenie 14
Wykaż, że podobne są prostokąty, w których
Kąty, pod jakimi przecinają się ich przekątne, mają równe miary
odpowiadające sobie kąty pomiędzy przekątnymi a bokami mają równe miary.
Wskazówka wykaż, że są równe odpowiednie kąty wielokątów, na jakie przekątne dzielą prostokąty.
A
Ćwiczenie 15
Długości boków prostokąta są równe i . Oblicz obwód prostokąta podobnego do prostokąta w skali , gdy
classicmobile
Ćwiczenie 16
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Prostokąty i są podobne w skali .
RmXcLKKdP9lnY
Jeśli obwód prostokąta jest równy , to obwód prostokąta jest równy .
Szerokość prostokąta jest równa , a szerokość prostokąta wynosi .
Jeśli różnica długości boków prostokąta jest równa , to różnica długości boków prostokąta jest równa .
static
Ćwiczenie 16
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Prostokąty i są podobne w skali .
RPjwM67YkdqVY
Jeśli obwód prostokąta jest równy , to obwód prostokąta jest równy .
Szerokość prostokąta jest równa , a szerokość prostokąta wynosi .
Jeśli różnica długości boków prostokąta jest równa , to różnica długości boków prostokąta jest równa .
B
Ćwiczenie 17
Sprawdź, czy romby o przekątnych długości i oraz i są podobne.
tak Wskazówka w wielokątach podobnych stosunki odpowiadających sobie odcinków są równe. Zauważmy , że stosunek długości dłuższej przekątnej do krótszej w pierwszym rombie jest równy stosunkowi długości dłuższej przekątnej do krótszej w drugim rombie.
A
Ćwiczenie 18
Prostokąt ma boki o długościach oraz . Oblicz wymiary prostokąta podobnego do prostokąta w skali .
na
A
Ćwiczenie 19
Prostokąt ma boki o długościach oraz . Jaki obwód ma prostokąt podobny do prostokąta w skali ?
A
Ćwiczenie 20
W jakiej skali kwadrat o boku długości jest podobny do kwadratu o boku długości ?
A
Ćwiczenie 21
Prostokąty i są podobne. Prostokąt ma jeden bok długości i przekątną długości . Dłuższy bok prostokąta ma długość . Oblicz obwód prostokąta .
B
Ćwiczenie 22
Narysuj czworokąt podobny w skali do czworokąta o wierzchołkach: .
np.
A
Ćwiczenie 23
Narysuj czworokąt o wierzchołkach: oraz czworokąt o wierzchołkach: . Sprawdź, czy są one podobne.
Tak, są podobne.
C
Ćwiczenie 24
W prostokącie symetralna jednego z jego boków dzieli go na dwa prostokąty podobne do . Jaki jest stosunek długości dłuższego boku prostokąta do jego krótszego boku?
C
Ćwiczenie 25
Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na cztery jednakowe prostokąty podobne do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?
C
Ćwiczenie 26
Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na jednakowych prostokątów podobnych do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?
,
C
Ćwiczenie 27
Półokrąg jest podobny do półokręgu w skali . W półokrąg wpisano trapez o podstawach . Podstawa jest średnicą półokręgu . W półokrąg wpisano trapez o podstawach i . Podstawa jest średnicą półokręgu , a trapez jest podobny do trapezu w skali . Oblicz pole trapezu .