Podobieństwo wielokątów

R1be12UQZSCio1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunki przedstawiają wielokąty. W każdej parze oba wielokąty mają tę samą liczbę boków.
Określ, które z rysunków nie przedstawiają wielokątów podobnych i dlaczego.

R1SziouWG5xXe1

Rysunki wielokątów. Na pierwszym rysunku pięciokąt wypukły i pięciokąt wklęsły. Na drugim rysunku dwa różne sześciokąty wklęsłe. Na trzecim rysunku dwa sześciokąty foremne o bokach różnej długości. Na czwartym rysunku dwie strzałki złożone z odcinków różnej długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeśli dwa wielokąty o tej samej liczbie boków wyraźnie różnią się kształtem, od razu możemy powiedzieć, że nie są podobne. W przeciwnym wypadku, trudno od razu stwierdzić lub wykluczyć ich podobieństwo.

Przykład 2

Zaobserwuj, jakie cechy wspólne mają wielokąty podobne.

R1AyhefXcRZQ71

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbZE5AxGE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Odpowiedź: Wielokąty podobne mają odpowiednie kąty równe.

Przykład 3

Czworokąty na rysunku są podobne.

RLj8RrUdZCy5y1

Rysunek dwóch czworokątów podobnych. W czworokącie A B C D boki mają długości: AB =5, BC =6, CD =2 i DA =4. W czworokącie E F G H boki mają długości: EF =3, FG =1, GH =2 i HE =2,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najdłuższy bok czworokąta $ABCD$ to $BC$ , a najkrótszy to $DC$ . Najdłuższy bok wielokąta $AFGH$ to $EF$ , a najkrótszy to $FG$ .
Obliczmy w obu wielokątach stosunek boku najdłuższego do najkrótszego.

\frac{|BC|}{|CD|} = \frac{6}{2} = 3

\frac{|EF|}{|FG|} = \frac{3}{1} = 3

Zauważmy, że stosunki te są równe. Obliczmy jeszcze odpowiadające sobie stosunki pozostałych boków.

\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{5}{4} = 1,25

\frac{|EH|}{|HG|} = \frac{2,5}{2} = 1,25

W każdym przypadku stosunek dwóch boków w jednym wielokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim wielokącie.
Zauważmy, że wielokąt $EFGH$ jest obrazem wielokąta $ABCD$ w skali $1 : 2$ , zatem miary odpowiednich kątów tych wielokątów są równe.

Ważne!

W wielokątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Odpowiednie kąty w tych wielokątach są równe.

R4uMah9qSBBia1

Rysunek dwóch podobnych sześciokątów wklęsłych. W obu wielokątach tym samym kolorem oznaczono odpowiednie boki proporcjonalne oraz odpowiednie kąty o tych samych miarach. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Trzy kąty czworokąta F są równe: $20 °, 80 °, 120 °$ . Trzy kąty czworokąta $W$ są równe: $120 °, 80 °, 130 °$ .
Wykaż, że czworokąty te nie są podobne.
Korzystając z tego, że suma kątów czworokąta jest równa $360 °$ , obliczymy miarę czwartego z kątów w czworokącie $F$ i miarę czwartego kąta w czworokącie W.

360 ° - (20 ° + 80 ° + 120 °) = 140 °

360 ° - (120 ° + 80 ° + 130 °) = 30 °

Kąty czworokąta $F$ są więc równe: $20 °, 80 °, 120 °, 140 °$ , a kąty czworokąta W: $120 °, 80 °, 130 °, 30 °$ .
Czworokąty mają dwa kąty o różnych miarach, nie są więc wielokątami podobnymi.

Przykład 5

Trapez prostokątny $ABCD$ jest podobny do trapezu $EFGH$ . Podstawy trapezu $ABCD$ mają długości $20 cm$ i $29 cm$ . Wysokość tego trapezu jest równa $40 cm$ . Wysokość trapezu $EFGH$ jest równa $25 cm$ . Oblicz obwód trapezu $EFGH$ .

R16dCIRQEFYx21

Rysunek trapezu prostokątnego A B C D. Wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołka C do dolnej podstawy CM =40 cm. Utworzony trójkąt prostokątny C M B ma przeciwprostokątną długości x oraz przyprostokątne długości 9 cm i 40 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Aby obliczyć obwód trapezu $EFGH$ , trzeba znać długości jego wszystkich boków.
Obliczmy najpierw długość $x$ ramienia $CB$ trapezu $ABCD$ . Niech $CM$ będzie wysokością trapezu $ABCD$ poprowadzoną z wierzchołka $M$ .
Trójkąt $CMB$ jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

x^{2} = 4 0^{2} + 9^{2}

x^{2} = 1681

x = \sqrt{1681} = 41

x > 0

Wysokość trapezu $ABCD$ jest równa $40 cm$ , a trapezu $EFGH$ jest równa $25 cm$ . Zatem trapez $EFGH$ jest podobny do trapezu $ABCD$ w skali

k = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}

Niech $EF, FG, GH, HE$ będą bokami trapezu $EFGH$ odpowiadającymi odpowiednio bokom $AB, BC, CD, DA$ trapezu $ABCD$ .
Obliczamy długości boków trapezu $EFGH$ .

RHuElYhzcU2El1

Rysunek trapezu prostokątnego E F G H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

|EF| = k \cdot 29

|EF| = \frac{5}{8} \cdot 29 = 18,125

|FG| = k \cdot 41

|FG| = \frac{5}{8} \cdot 41 = 25,625

|GH| = k \cdot 20

|GH| = \frac{5}{8} \cdot 20 = 12,5

|HE| = k \cdot 40

|HE| = \frac{5}{8} \cdot 40 = 25

Obliczamy obwód trapezu.

L = 18,125 + 25,625 + 12,5 + 25 = 81,25

Obwód trapezu jest równy $81,25 cm$ .

Przykład 6

Miary kątów czworokąta $W$ są równe miarom kątów wielokąta $K$ . Boki wielokąta $W$ mają długości
$5 cm, 15 cm, 6 cm$ i $10 cm$ . Boki wielokąta $K$ mają długości $19 cm, 14 cm, 6 cm, 5 cm$ .
Podobieństwo czworokątów sprawdzimy dwoma sposobami.

sposób $I$

Sprawdzimy, czy stosunki długości boków w czworokącie $W$ są równe stosunkom odpowiadających im długości boków w wielokącie $K$ .
Zapiszmy długości boków obu wielokątów w kolejności rosnącej , uzyskamy w ten sposób w kolumnach pary odpowiadających sobie boków .

Tabela. Dane
Wielokąt $W$	$5 cm$	$6 cm$	$10 cm$	$15 cm$
Wielokąt $K$	$5 cm$	$6 cm$	$14 cm$	$19 cm$

Badamy równość odpowiednich stosunków.

\frac{6}{5} = \frac{6}{5}

\frac{15}{10} \neq \frac{19}{14}

\frac{10}{6} \neq \frac{14}{6}

Nie wszystkie z zapisanych stosunków są równe, zatem choć miary ich kątów są równe, wielokąty nie są podobne.

sposób $II$

Sprawdzamy, czy boki obu czworokątów są proporcjonalne.

\frac{5}{5} = \frac{6}{6} \neq \frac{10}{14} \neq \frac{15}{19}

Boki nie są proporcjonalne – czworokąty nie są podobne.

iyhXHOKHxN_d5e284

Podobieństwo wielokątów foremnych

Rysując przekątne pięciokąta foremnego, otrzymujemy wielokąt gwiaździsty, zwany pentagramem. Pentagram uważany był przez pitagorejczyków za symbol doskonałości.

R1DsNIns2YReD1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbZE5AxGE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Ciekawostka

Z pentagramu można otrzymać gwiazdę pięcioramienną, która występuje na flagach wielu państw.

RgpditP7ce9x91

Rysunki prostokątów z gwiazdami pięcioramiennymi, które ilustrują flagi państw. Flaga Maroka – na czerwonym tle, w środku złote boki pentagramu. Flaga Somalii – na niebieskim tle, w środku biały pentagram. Flaga Chińskiej Republiki Ludowej – na czerwonym tle, w prawym górnym rogu jeden duży i cztery małe, żółte pentagramy. Flaga Wietnamu – na czerwonym tle, w środku żółty pentagram. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zastanówmy się, czy pięciokąt, w który jest wpisany pentagram, i pięciokąt, na którym zbudowane są ramiona pentagramu, to wielokąty podobne.

RI356PgXuPzJM1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbZE5AxGE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

W każdym z tych pięciokątów miara kąta wewnętrznego wynosi $108 °$ .
Pięciokąty te mają więc równe kąty.
Ponieważ wszystkie boki pięciokąta foremnego są równe, zatem boki większego z pięciokątów i mniejszego są proporcjonalne.
Stwierdzamy zatem, że wielokąty te są podobne.
Zauważmy, że w podobny sposób można uzasadnić podobieństwo wielokątów foremnych o tej samej liczbie boków.

Ważne!

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Przykład 7

Obwód sześciokąta foremnego $G$ jest równy $120 mm$ . Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta $G$ w skali $1 : 5$ . Oblicz długość dłuższej przekątnej sześciokąta $K$ .
W sześciokącie $G$ wszystkie boki są równe. Zatem długość jednego boku wynosi

120 mm : 6 = 20 mm

Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta foremnego, jest więc również sześciokątem foremnym.
Długość jego boku wynosi

20 mm : 5 = 4 mm

RoFPjWh1HKyAC1

Rysunek sześciokąta foremnego złożonego z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku 4 mm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego przecinając się, tworzą trójkąty równoboczne. Przekątna zatem jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta .

2 \cdot 4 mm = 8 mm

Dłuższa przekątna sześciokąta $K$ ma długość $8 mm$ .

Podobieństwo prostokątów

Wiemy już, że dwa wielokąty są podobne, gdy mają równe kąty i odpowiednie ich boki są proporcjonalne.
W prostokącie każdy kąt ma miarę $90 °$ , więc dla każdych dwóch prostokątów zawsze jest spełniony pierwszy z warunków podobieństwa.
Zatem do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarczy zbadanie proporcjonalności ich odpowiednich boków.

Przykład 8

Sprawdzimy, czy koperty o standardowych rozmiarach $114 mm$ na $152 mm, 110 mm$ na $220 mm$ i $162 mm$ na $229 mm$ są w kształcie prostokątów podobnych.

RO2aTHDUT3BOT1

Rysunki prostokątnych kopert o rozmiarach C6 (114 mm na 162 mm), DL (110 mm na 220 mm) i C5 (162 mm na 229 mm). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Badamy, czy boki odpowiednich prostokątów są proporcjonalne.
$C 6$ i $DL$ : $\frac{114}{110} = 1,03636 . . ., \frac{152}{220} = 0,69090 . . ., \frac{114}{110} \neq \frac{152}{220}$ - prostokąty nie są podobne
$C 6$ i $C 5$ : $\frac{114}{162} = 0,7037 . . . \approx 0,7, \frac{162}{229} = 0,7074 . . \approx 0,7, \frac{114}{162} \approx \frac{162}{229}$ - można przyjąć, że prostokąty są podobne
DL i C5: $\frac{110}{162} = 0,6790 . . .$ $\frac{220}{229} = 0,9606 . . . .$ $\frac{110}{162} \neq \frac{220}{229}$ - prostokąty nie są podobne

sposób $II$

Obliczymy w każdym z prostokątów, odpowiadających kopertom, stosunek szerokości do długości.

C 6 : \frac{114}{162} = 0,7037 . . . \approx 0,7

DL : \frac{110}{220} = 0,5

C 5 : \frac{162}{229} = 0,7074 . . . . \approx 0,7

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń możemy przyjąć, że jedynie koperty o symbolach $C 6$ i $C 5$ są w kształcie prostokątów podobnych.

Przykład 9

Wykaż, że jeżeli dwa prostokąty są podobne w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy $k$ .
Rozważmy prostokąt $ABCD$ o bokach długości $a$ i $b$ oraz prostokąt $EFGH$ podobny do niego w skali $k$ .
Wówczas prostokąt $EFGH$ ma boki długości $ka$ i $kb$ .

RNrvJv1FxHhCv1

Rysunek dwóch prostokątów. Prostokąt A B C D ma boki długości a i b. Prostokąt E F G H ma boki odpowiednio długości k razy a oraz k razy b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy obwody prostokątów.

L_{ABCD} = 2 (a + b)

L_{EFGH} = 2 (ka + kb) = 2 k (a + b)

Obliczamy stosunek obwodów prostokątów $EFGH$ i $ABCD$ .

\frac{L_{EFGH}}{L_{ABCD}} = \frac{2 k (a + b)}{2 (a + b)} = k

Stosunek obwodów prostokątów jest równy skali podobieństwa $k$ , co należało wykazać.

Ciekawostka

Narysujmy prostokąt o bokach $a, b$ . Do dłuższego boku dobudujmy kwadrat.

RCLXc4z7Sq4QB1

Rysunek prostokąta o bokach a i b. Obok prostokąt o bokach a i b z dobudowanym do dłuższego boku kwadratem o boku b. Powstał prostokąt o bokach a + b, b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powstał w ten sposób prostokąt o bokach $a + b, b$ .
Jeżeli dla boków tego prostokąta spełniony jest warunek

\frac{a}{b} = \frac{b}{a + b}

to taki prostokąt nazywamy złotym prostokątem.

R1KifIV2S8o521

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbZE5AxGE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Złoty prostokąt wykorzystywany był często w architekturze antycznej, romańskiej oraz sztuce renesansu i klasycyzmu.

R1Pp1NwHkbhGW1

iyhXHOKHxN_d5e483

Ćwiczenie 1

Pięciokąt $W$ o bokach długości $2, 6, 10, 16, 20$ jest podobny do wielokąta $F$ w skali $k = \frac{2}{3}$ .
Uzupełnij zdania.

Najdłuższy bok wielokąta $F$ jest dłuższy od boku najkrótszego o $\dots cm$ .
Wielokąt $F$ ma $\dots$ boków.
Wielokąt $\dots$ ma obwód większy od obwodu wielokąta $\dots$
Obwód wielokąta $F$ jest równy $\dots cm$ .

$27$
$5$
$F, W$
$81$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Czworokąty $Z$ i $W$ są podobne. Trzy kąty czworokąta Z są równe $50 °, 110 °, 160 °$ . Kąty czworokąta W są zatem równe

R1cHdaTLGbtSZ

$30 °, 50 °, 110 °, 160 °$
$50 °, 80 °, 110 °, 160 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 120 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 160 °$

static

Ćwiczenie 2

Czworokąty $Z$ i $W$ są podobne. Trzy kąty czworokąta Z są równe $50 °, 110 °, 160 °$ . Kąty czworokąta W są zatem równe

RniOJrOeSMv1J

$30 °, 50 °, 110 °, 160 °$
$50 °, 80 °, 110 °, 160 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 120 °$
$40 °, 50 °, 110 °, 160 °$

Ćwiczenie 3

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $10 dm$ i $20 dm$ . Obwód trapezu jest równy $56 dm$ . Trapez $ABCD$ zmniejszono, otrzymując trapez $EFGH$ o wysokości $10 dm$ . Jaka jest skala podobieństwa trapezu $EFGH$ do trapezu $ABCD$ ?

$\frac{5}{6}$

Ćwiczenie 4

Określ współrzędne wierzchołków wielokąta podobnego w skali $1$ do wielokąta $ABCD$ , gdy
$A = (0,0)$
$B = (- 3,2)$
$C = (5,6)$
$D = (8,0)$

Wskazówka – szukany wielokąt można znaleźć, przekształcając wielokąt $ABCD$ w symetrii względem jednej z osi układu współrzędnych lub początku układu.

classicmobile

Ćwiczenie 5

Przekątne rombu $E$ są równe $30$ i $16$ . Romb $M$ jest podobny do rombu $E$ w skali $1 : 34$ . Obwód rombu $M$ jest równy

R5veAEj4vuH3C

$4$
$2$
$68$
$8$

static

Ćwiczenie 5

Przekątne rombu $E$ są równe $30$ i $16$ . Romb $M$ jest podobny do rombu $E$ w skali $1 : 34$ . Obwód rombu $M$ jest równy

Rqqh21gfEVwaQ

$4$
$2$
$68$
$8$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Kąt wielokąta foremnego $Z$ ma miarę $135 °$ . Obwód wielokąta jest równy $20$ . Długość boku wielokąta podobnego w skali $3$ do wielokąta $Z$ jest równa

R1WVknT25PkFV

$7,5$
$5,5$
$12$
$15$

static

Ćwiczenie 6

Kąt wielokąta foremnego $Z$ ma miarę $135 °$ . Obwód wielokąta jest równy $20$ . Długość boku wielokąta podobnego w skali $3$ do wielokąta $Z$ jest równa

R1W9R9jQbJoRF

$7,5$
$5,5$
$12$
$15$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarcza równość ich

R12cKuUUOGBnI

kątów
obwodów
przekątnych
stosunków prostopadłych boków

static

classicmobile

Ćwiczenie 8

Prostokąty podobne to prostokąty o wymiarach

R1IYSVjK5efej

$5 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $8 cm$
$4 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $4 cm$
$5 cm$ na $20 cm$ i $6 cm$ i $1,5 cm$
$10 cm$ na $6 cm$ i $12 cm$ na $22 cm$

static

Ćwiczenie 8

Prostokąty podobne to prostokąty o wymiarach

Rn9Mft8pxh6ix

$5 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $8 cm$
$4 cm$ na $10 cm$ i $6 cm$ na $4 cm$
$5 cm$ na $20 cm$ i $6 cm$ i $1,5 cm$
$10 cm$ na $6 cm$ i $12 cm$ na $22 cm$

Ćwiczenie 9

Prostokąt $A$ jest podobny do prostokąta $B$ w skali $1 : 4$ . Długość dłuższego boku $A$ jest równa $7$ . Oblicz długość dłuższego boku prostokąta $B$ .

$28$

Ćwiczenie 10

Prostokąty $M$ i $G$ są podobne. Obwód prostokąta $M$ jest równy $27 cm$ . Długość prostokąta $G$ jest równa $5 cm$ , a szerokość $4 cm$ . Oblicz skalę podobieństwa prostokąta $M$ do prostokąta $G$ .

$1,5$

Ćwiczenie 11

Prostokątną fotografię o wymiarach $12 cm$ na $18 cm$ powiększono tak, że jej szerokość jest równa $21 cm$ . W jakiej skali powiększono fotografię?

$\frac{7}{4}$

Ćwiczenie 12

W prostokącie $F$ przekątne przecinają się pod kątem ostrym o mierze $40 °$ . Prostokąt $E$ jest podobny do prostokąta $F$ . Jaki kąt tworzy przekątna prostokąta $E$ z dłuższym bokiem?

$20 °$

iyhXHOKHxN_d5e874

classicmobile

Ćwiczenie 13

Wskaż pary prostokątów podobnych.

R2XSbQeR7AydD1

Rysunek trzech par prostokątów o wierzchołkach w punktach kratowych. Na pierwszym rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 12 i 13 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 8 i 9. Na drugim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 4 i 5 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 7 i 11. Na trzecim rysunku prostokąt A E D L o bokach długości 3 i 6 oraz prostokąt M U R E o bokach długości 6 i 12. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LKhNapgaLqm

static

Ćwiczenie 13

Wskaż pary prostokątów podobnych.

R2XSbQeR7AydD1

RVqyl355xr3ss

Ćwiczenie 14

Wykaż, że podobne są prostokąty, w których

Kąty, pod jakimi przecinają się ich przekątne, mają równe miary
odpowiadające sobie kąty pomiędzy przekątnymi a bokami mają równe miary.

Wskazówka $-$ wykaż, że są równe odpowiednie kąty wielokątów, na jakie przekątne dzielą prostokąty.

Ćwiczenie 15

Długości boków prostokąta $ABCD$ są równe $a$ i $b$ .
Oblicz obwód prostokąta $EFGH$ podobnego do prostokąta $ABCD$ w skali $k$ , gdy

$k = \frac{2}{5}, a = 2, b = 10$
$k = 2, a : b = 3, a = 5$
$k = 1 \frac{1}{2}, a + b = 8$

$9,6$
$\frac{80}{3}$
$24$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Prostokąty $K$ i $M$ są podobne w skali $0,2$ .

RmXcLKKdP9lnY

Jeśli obwód prostokąta $M$ jest równy $0,5$ , to obwód prostokąta $K$ jest równy $0,1$ .
Szerokość prostokąta $K$ jest równa $2 \frac{3}{4}$ , a szerokość prostokąta $M$ wynosi $13,75$ .
Jeśli różnica długości boków prostokąta $K$ jest równa $16$ , to różnica długości boków prostokąta $M$ jest równa $3,2$ .

static

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Prostokąty $K$ i $M$ są podobne w skali $0,2$ .

RPjwM67YkdqVY

Jeśli obwód prostokąta $M$ jest równy $0,5$ , to obwód prostokąta $K$ jest równy $0,1$ .
Szerokość prostokąta $K$ jest równa $2 \frac{3}{4}$ , a szerokość prostokąta $M$ wynosi $13,75$ .
Jeśli różnica długości boków prostokąta $K$ jest równa $16$ , to różnica długości boków prostokąta $M$ jest równa $3,2$ .

Ćwiczenie 17

Sprawdź, czy romby o przekątnych długości $9 dm$ i $4 dm$ oraz $5 dm$ i $11,25 dm$ są podobne.

tak
Wskazówka $-$ w wielokątach podobnych stosunki odpowiadających sobie odcinków są równe. Zauważmy , że stosunek długości dłuższej przekątnej do krótszej w pierwszym rombie jest równy stosunkowi długości dłuższej przekątnej do krótszej w drugim rombie.

\frac{9}{4} = 2,25 = \frac{11,25}{5}

Ćwiczenie 18

Prostokąt $ABCD$ ma boki o długościach $1 dm$ oraz $2 dm$ .
Oblicz wymiary prostokąta $A’B’C’D’$ podobnego do prostokąta $ABCD$ w skali $5$ .

$5 dm$ na $10 dm$

Ćwiczenie 19

Prostokąt $ABCD$ ma boki o długościach $1 dm$ oraz $2 cm$ .
Jaki obwód ma prostokąt podobny do prostokąta $ABCD$ w skali $\frac{7}{4}$ ?

$4,2 dm$

Ćwiczenie 20

W jakiej skali kwadrat o boku długości $10,5 cm$ jest podobny do kwadratu o boku długości $13,5 cm$ ?

$k = \frac{7}{9}$

Ćwiczenie 21

Prostokąty $ABCD$ i $A’B’C’D’$ są podobne. Prostokąt $ABCD$ ma jeden bok długości $5 cm$ i przekątną długości $13 cm$ . Dłuższy bok prostokąta $A’B’C’D’$ ma długość $24 cm$ . Oblicz obwód prostokąta $A’B’C’D’$ .

$68 cm$

Ćwiczenie 22

Narysuj czworokąt $A’B’C’D’$ podobny w skali $k = 2$ do czworokąta $ABCD$ o wierzchołkach: $A = (0,0), B = (- 3,2), C = (5,6), D = (8,0)$ .

np.
$A^{'} = (0,0)$
$B' = (- 6,4)$
$C' = (10,12)$
$D' = (16,0)$

Ćwiczenie 23

Narysuj czworokąt $ABCD$ o wierzchołkach: $A = (0,0), B = (- 3,2), C = (5,6), D = (8,0)$ oraz czworokąt $A’B’C’D’$ o wierzchołkach: $A = (1,1), B = (- 2,3), C = (6,7), D = (9,1)$ . Sprawdź, czy są one podobne.

Ćwiczenie 24

W prostokącie $ABCD$ symetralna jednego z jego boków dzieli go na dwa prostokąty podobne do $ABCD$ . Jaki jest stosunek długości dłuższego boku prostokąta $ABCD$ do jego krótszego boku?

$\sqrt{2}$

Ćwiczenie 25

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na cztery jednakowe prostokąty podobne do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?

$k = \sqrt{n,} \sqrt{n}$

Ćwiczenie 26

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na $n (n > 2)$ jednakowych prostokątów podobnych do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?

$k = \frac{n}{2}$ , $\frac{n}{2}$

Ćwiczenie 27

Półokrąg $P’$ jest podobny do półokręgu $P$ w skali $2$ . W półokrąg $P$ wpisano trapez $ABCD$ o podstawach $|AB| = 10, | CD | = 6$ . Podstawa $AB$ jest średnicą półokręgu $P$ . W półokrąg $P’$ wpisano trapez o podstawach $A'B'$ i $C'D'$ . Podstawa $A’B’$ jest średnicą półokręgu $P’$ , a trapez $A’B’C’D’$ jest podobny do trapezu $ABCD$ w skali $2$ . Oblicz pole trapezu $A’B’C’D’$ .

$128$

Figury podobne

Trójkąty prostokątne podobne

Wielokąty podobne

Podobieństwo wielokątów

Podobieństwo wielokątów foremnych

Podobieństwo prostokątów