Film samouczek

Odbicie i załamanie fal w zadaniach

Obejrzyj zabawny film samouczek, który rozpatruje prawo załamania na granicy ośrodków, ale nie w przypadku fali, tylko innego zjawiska mechanicznego. Tak, jak w przypadku fal, prędkości poruszania się w obu ośrodkach są różne.

Zapoznaj się z zabawnym filmem samouczkiem, który rozpatruje prawo załamania na granicy ośrodków, ale nie w przypadku fali, tylko innego zjawiska mechanicznego. Tak, jak w przypadku fal, prędkości poruszania się w obu ośrodkach są różne.

RI0uYZX34gaK8

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Polecenie 1

R1DlgjNuMN086

Analogia, która jest treścią filmu pokazuje, że prawo załamania nie jest regułą charakterystyczną tylko dla fal, ale dla każdego zjawiska fizycznego, w którym obiekt powinien pokonać dystans między dwoma punktami w najkrótszym możliwym czasie. Prawo załamania jest po prostu „rozwiązaniem zadania optymalizacyjnego”. Wyraża to zasada Fermata, która w optyce jest szczególnym przypadkiem zasady najmniejszego działania. W pierwotnym sformułowaniu zasada Fermata brzmiała:

Promień świetlny poruszający się w dowolnym ośrodku od punktu A do punktu B przebywa możliwie najkrótszą drogę optyczną, czyli taką, na której przebycie potrzebuje minimalnego czasu.

Obecnie wiadomo, że sformułowanie to nie jest najogólniejsze, ale dalsza analiza tego zagadnienia wykracza poza ramy naszego e‑materiału.

Polecenie 2

Wyprowadź wzór wyrażający czas ruchu Burka od Ali do boi w zależności od tego, w którym punkcie Burek wchodzi do wody. Przyjmij oznaczenia, jak na rysunku poniżej. Prędkość Burka na lądzie ma wartość $v$ , a w wodzie $u$ .

Wskazówka: argumentem poszukiwanej funkcji czasu od toru $t(x)$ niech będzie ułamek $x = |A'Z|/|A'B'|$ . Oznacza to w szczególności, że $x = 0$ odpowiada łamana $AA'B$ , a $x = 1$ - łamana $AB'B$ .

R1MX5bDKcTI4E

Na rysunku znajduje się poziomy odcinek, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem brzegu jeziora. Prawy koniec odcinka oznaczony jest literą wielkie A prim, lewy koniec oznaczony jest literą wielkie B prim. Pod punktem wielkie A prim znajduje się punkt oznaczony jako wielkie A. W punkcie wielkie A, leżącym na lądzie, Burek rozpoczyna bieg po patyk. Punkty wielkie A i A prim połączone są pionowym odcinkiem. Nad punktem wielkie B prim znajduje się punkt oznaczony jako wielkie B, który leży na jeziorze. Punkty B i B prim połączone są pionowym odcinkiem dłuższym niż odcinek A Aprim. Tor, po którym porusza się Burek składa się z dwóch czerwonych odcinków. Pierwszy odcinek, który skierowany jest w lewo i w górę, ma początek w punkcie wielkie A i kończy się w punkcie wielkie Z leżącym na odcinku A Aprim. Drugi odcinek zaczyna się w punkcie wielkie Z i kończy w punkcie wielkie B. Drugi odcinek jest nachylony pod większym kątem do poziomu niż odcinek pierwszy. Strzałki na czerwonych odcinkach pokazują kierunek ruchu od punktu wielkie A do punktu wielkie B. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Wykonaj (np. przy użyciu arkusza kalkulacyjnego ew. programu do rysowania wykresów, np. gnuplota) wykres funkcji $t(x)$ dla jakkolwiek dobranych (dodatnich) wartości $v,u,l,a,b$ .

Wiemy, że $|A'Z| = x |A'B'|$ i $|B'Z| = (1-x)|A'B'|$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $|AZ| = \sqrt{|AA'|^2 + |A'Z|^2} = \sqrt{a^2 + x^2l^2}$ oraz $|BZ|=\sqrt{|BB'|^2+|B'Z|^2}=\sqrt{b^2+(1-x)^2l^2}$ .

Całkowity czas ruchu Burka jest sumą czasów: $t_1$ – ruchu jednostajnego po plaży z prędkością $v$ i $t_2$ – ruchu jednostajnego w wodzie z prędkością $u$ . Zatem:

$t=\frac{|AZ|}{v}+\frac{|BZ|}{u}\ ,$

czyli

$t(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2l^2}}{v} + > > > \frac{\sqrt{b^2 + (1-x)^2 l^2}}{u}\ .$

Przykładowy wykres dla prędkości podanych w filmiku oraz $a = 20\ \mathrm{m},\ b = 10\ \mathrm{m},\ l = 15\ \mathrm{m}$ :

R1NkNVw0n1Xdf

Wykres pokazuje zależność czasu ruchu Burka w sekundach w zakresie od dziewiętnastu sekund do dwudziestu siedmiu sekund od parametru x w zakresie od zera do jednego. Wykres zaczyna się na osi pionowej w punkcie o współrzędnej 26 sekund i opada łagodnym łukiem w dół i w prawo. Osiąga minimum dla wartości parametru x około 0,85, a następnie wznosi się. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Polecenie 3

Wyznacz czas ruchu Burka dla „skrajnych” torów $AB'B$ oraz $AA'B$ i dla toru prostoliniowego $AB$ .

Dla „skrajnych” torów wystarczy podstawić w uzyskanym w Poleceniu 2. wzorze $x = 0$ oraz $x = 1$ . Jeśli torem jest linia prosta, jej długość musi wynosić $s = \sqrt{(a+b)^2 + l^2}$ . Z twierdzenia Talesa wynika, że $|AZ| = \frac{a}{a+b}s$ i $|BZ| = \frac{b}{a+b}s$ , zatem droga $\frac{a}{a+b}s$ przebywana jest z prędkością $v$ , a $\frac{b}{a+b}s$ - z prędkością $u$ . Stąd $\tilde{t} = \frac{\sqrt{(a+b)^2 + l^2}}{a + b} \left(\frac{a}{v} + \frac{b}{u}\right)$ . Sprawdź dla wybranych przez siebie parametrów, czy $t(0) \geqslant \tilde{t}$ i $t(1) \geqslant \tilde{t}$

Dla zainteresowanych

Uwaga 1

Czy światło porusza się zawsze po linii prostej? W ośrodku jednorodnym – tak (względnie po łamanej, jak w naszym przykładzie, jeśli raz zmienia ośrodek). Ale czy może ono zmieniać ośrodek wiele razy? Tak – wystarczy zestawić obok siebie powietrze, wodę, szkło i inne ośrodki. O ile nie wybierzemy kąta padania tak, że w którymś z ośrodków nastąpi całkowite wewnętrzne odbicie lub promień padnie prostopadle do granicy powierzchni, będziemy mogli powiedzieć, że następuje tyle załamań, ile ośrodków wybierzemy, minus jeden. A czy ośrodek może zmieniać współczynnik załamania w sposób ciągły? Tak. Pokazuje to znane doświadczenie z wodą, solą, mlekiem i akwarium. Do akwarium nalewamy wody, dodajemy odrobinę mleka, mieszamy i po uspokojeniu się wody dosypujemy ostrożnie, na całe dno, sól. Czekamy kilka‑kilkanaście godzin i świecimy laserem w ściankę akwarium, uważając, żeby nie uszkodzić sobie wzroku (dlatego najlepiej wykonywać to doświadczenie pod kierunkiem nauczyciela). Dzięki obecności niewielkiej ilości mleka jesteśmy w stanie zobaczyć tor promienia świetlnego. Stężenie soli przy dnie jest największe i maleje wraz z oddalaniem się od dna. Promień lasera, jeśli świecimy na ściankę blisko dna, jest wyraźnie zakrzywiony. Ciekawe efekty daje też patrzenie na ściankę boczną (poziomo, równolegle do dna!) – im niżej jesteśmy, tym lepiej widać właśnie dno akwarium.

RT70jWUyuuFs9

Rysunek pokazuje prostopadłościenne akwarium, wypełnione niejednorodna cieczą. Barwa cieczy przy dnie jest ciemnoniebieska, a wyżej stopniowo robi się coraz jaśniejsza. Pokazany jest tor promienia świetlnego, wchodzącego do cieczy przez lewą boczną ściankę akwarium. Tor ma kształt łagodnego łuku, którego najwyższy punkt znajduje się pośrodku akwarium. — Schemat wyniku doświadczenia, w którym promień lasera biegnie przez ośrodek o współczynniku załamania zmiennym w sposób ciągły.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Dla zainteresowanych

Uwaga 2

Pokazaliśmy matematyczną analogię między prawem załamania fali a przypadkiem kinematycznym (ruch jednostajny prostoliniowy), połączonym z optymalizacją czasu ruchu względem wszystkich możliwych torów. Czy oznacza to, że światło przechodząc z powietrza do szkła „wie”, jaką drogą się poruszać, a jego „intencją” jest tu minimalizacja czasu ruchu? Odpowiedź może Ci się wydać zaskakująca, ale brzmi ona – nie. Tu wkraczamy w obszar rozważań o przyczynowości zjawisk w fizyce i innych naukach, których nie będziemy w naszym materiale kontynuować. Zachęcamy Cię jednak do samodzielnych poszukiwań.

Przeczytaj

Sprawdź się

Odbicie i załamanie fal w zadaniach