Warto przeczytać

FalaFalaFala to rozchodzące się zaburzenie ośrodka, podczas którego drgające cząsteczki ośrodka przekazują energię drgań kolejnym cząsteczkom.

Fale czasem możemy po prostu zobaczyć, jak na przykład fale na powierzchni wody. Ale często o rozchodzeniu się fali wnioskujemy ze skutków, jakie ta fala wywołuje.

Falą jest dźwięk. Źródło dźwięku, na przykład drgająca struna gitary, powoduje periodyczne zagęszczenia i rozrzedzenia powietrza. Wprawione w drgania cząsteczki przekazują ten ruch drgający coraz dalej i w ten sposób rozchodzi się fala dźwiękowa. Gdy fala ta dotrze do nas, wprawi w drgania błonę bębenkową ucha, w wyniku czego usłyszymy dźwięk.

Światło ma również charakter falowy - jest falą elektromagnetyczną. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni, więc nie ma mowy o drganiach cząsteczek ośrodka. W tym przypadku w przestrzeni rozchodzą się drgania wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego.

Choć natura wymienionych fal jest różna, wszystkie one podlegają tym samym prawom odbicia i załamania.

Prawo odbicia fali ma proste brzmienie:

Rys. 1. pokazuje odbicie fali świetlnej od zwierciadła płaskiego. Kąt padania $\alpha$ definiujemy, jako kąt między promieniem padającym i normalną (prostopadłą) do płaszczyzny odbijającej falę. Analogicznie, kąt odbicia $\beta$ jest kątem między promieniem odbitym a normalną.

RWMXRz8JpTAcb

Rys. 1. Na dole rysunku znajduje się poziome zwierciadło płaskie. Od góry z lewej strony na zwierciadło pada promień światła. Promień padający skierowany jest w prawo i w dół. Z punktu powierzchni zwierciadła, na który pada promień, poprowadzono pionową, przerywaną linię, opisaną słowem normalna. Kąt między normalną i promieniem padającym oznaczono grecka literą alfa i opisano jako kąt padania. Promień odbity skierowany w prawo i do góry, tworzy z normalną kąt oznaczony grecką literą beta i opisany jako kąt odbicia. Kąt odbicia równy jest kątowi padania.

Załamanie fali następuje wtedy, gdy fala przechodzi przez granicę dwóch ośrodków, w których rozchodzi się z różną prędkością, przy czy kierunek propagacji fali nie jest prostopadły do powierzchni rozgraniczającej ośrodki. Fala padająca prostopadle do powierzchni nie załamuje się i przechodzi do drugiego ośrodka, zachowując swój kierunek propagacji.

Prawo załamania fali mówi, że iloraz sinusów kąta padania i kąta załamania równy jest stosunkowi prędkości fali w pierwszym i drugim ośrodku:

$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{sin\alpha }{sin\beta }=\frac{v_1}{v_2}\end{array}$

gdzie $\alpha$ jest kątem padania (kątem między promieniem padającym i normalną do powierzchni rozgraniczającej ośrodki), $\beta$ – kątem załamania (między promieniem załamanym i normalną), $v_1$ to prędkość fali w pierwszym ośrodku, a $v_2$ – w drugim.

Przykładem może być przejście fali świetlnej z powietrza do wody. Prędkość światła w powietrzu jest minimalnie mniejsza niż w próżni, możemy więc przyjąć przybliżoną  jej wartość $v_1=3\cdot10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Natomiast w wodzie światło porusza się znacznie wolniej – jego prędkość wynosi tam $v_2=2,25\cdot10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Dlatego, gdy światło przechodzi z powietrza do wody, stosunek $\frac{v_1}{v_2}$ jest większy od 1 i kąt załamania $\beta$ jest mniejszy niż kąt padania $\alpha$. Oznacza to, że promień światła załamuje się w kierunku do normalnej (Rys. 2.).

R17xGY6vl9tyE

Rys. 2. Na rysunku znajduje się niebieski prostokąt symbolizujący naczynie z wodą. Nad powierzchnią wody zapisano słowo powietrze, pod powierzchnią - słowo woda. Od góry z lewej strony na powierzchnię wody pada promień światła. Promień padający skierowany jest w prawo i w dół. Przez punkt powierzchni wody, na który pada promień, poprowadzono pionową, przerywaną linię, opisaną słowem normalna. Kąt między normalną i promieniem padającym oznaczono grecka literą alfa i opisano jako kąt padania. Promień załamany biegnie w wodzie i skierowany jest w prawo i w dół. Tworzy on z normalną kąt oznaczony grecką literą beta i opisany jest jako kąt załamania. Kąt załamania jest mniejszy od kąta padania.

Stosunek prędkości światła w obu ośrodkach oznaczamy literą $n_{21}$ i nazywamy współczynnikiem załamania światła w drugim ośrodku względem pierwszego:

$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{v_1}{v_2}=n_{21}\end{array}$

Przykładowo, współczynnik załamania światła dla wody względem powietrza wynosi: ${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac{3\cdot {10}^8\frac{m}{s}}{2,25\cdot {10}^8\frac{m}{s}}=1,33}$

Prawo załamania fali możemy więc zapisać:

$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{sin\alpha }{sin\beta }=n_{21}\end{array}$

A jak wygląda przejście promienia świetlnego z wody do powietrza? Pokazuje to Rys.3. Teraz prędkość w pierwszym ośrodku (wodzie) wynosi $v_2$, a w drugim (powietrzu) $v_1$.

Przekształćmy wzór (1) do postaci:

$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{sin\beta }{sin\alpha }=\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{n_{21}}\end{array}$

Jak widać, kąty $\alpha$ i $\beta$ zamieniły się miejscami. Teraz $\alpha$ jest kątem załamania, a $\beta$ kątem padania. Oznacza to, że bieg promieni świetlnych jest odwrócony. Rysunek przedstawiający przejście promienia świetlnego z wody do powietrza jest identyczny z Rys. 2., tylko odwrócone są kierunki biegu promieni świetlnych (Rys. 3.). Promień załamany odchyla się w kierunku od normalnej.

R1AShEvGTSXTm

Rys. 3. Rysunek zawiera te same elementy co rysunek 2 z tym, że kierunek biegu promieni świetlnych jest odwrócony. Promień padający biegnie w wodzie i skierowany jest w górę i w lewo. Kąt między normalną i promieniem padającym oznaczono grecka literą beta i opisano jako kąt padania. Promień załamany biegnie w powietrzu i skierowany jest w lewo i w górę. Tworzy on z normalną kąt oznaczony grecką literą alfa i opisany jako kąt załamania. Kąt załamania jest większy od kąta padania.

Zastanówmy się, jak będzie zmieniała się sytuacja, w miarę zwiększania kąta padania (Rys. 4.). Kąt załamania jest zawsze większy od kąta padania, więc gdy zwiększamy kąt padania, w pewnym momencie kąt załamania stanie się równy 90Indeks górny o^o (promień 3 na Rys.4.). Taki kąt padania nazywamy kątem granicznym $\alpha_{gr}$.

RlZaFbUalhso8

Rys. 4. Na rysunku znajduje się niebieski prostokąt symbolizujący naczynie z wodą. Nad powierzchnią wody zapisano słowo powietrze, pod powierzchnią - słowo woda. Narysowano 3 promienie świetlne biegnące w wodzie w kierunku do góry i w lewo i padające na powierzchni wody w jednym punkcie. Przez ten punkt poprowadzono pionową, przerywaną linię, zwaną normalną. Promień padający oznaczony cyfrą 1 tworzy najmniejszy kąt z normalną. Na powierzchni wody promień 1 załamuje się od normalnej. Promień padający oznaczony cyfrą 2 tworzy nieco większy kąt z normalną i również załamuje się od normalnej. Jego kąt załamania również jest większy niż kąt załamania promienia 1. Promień padający oznaczony cyfrą 3 tworzy największy kąt z normalną. Kąt ten oznaczony jest grecką literą alfa z indeksem dolnym gr. Promień 3 załamuje się pod kątem prostym do normalnej. Promień załamany biegnie po powierzchni wody w lewo.

Dla kątów większych od granicznego załamanie fali jest niemożliwe i fala odbija się od granicy ośrodków. Zjawisko to nazywamy całkowitym wewnętrznym odbiciem (Rys. 5.).

Kąt graniczny możemy wyznaczyć z prawa załamania światła, z równania (4), wstawiając wartość kąta załamania równą 90Indeks górny o^o.

więc:

RfLavGWr55kzx

Rys. 5. Na rysunku znajduje się niebieski prostokąt symbolizujący naczynie z wodą. Nad powierzchnią wody zapisano słowo powietrze, pod powierzchnią - słowo woda. Narysowano promień świetlny biegnący w wodzie w kierunku do góry i w lewo i padający na powierzchnię wody. Przez punkt powierzchni wody, na który pada promień, poprowadzono pionową, przerywaną linię, zwaną normalną. Od tego punktu narysowano pod powierzchnią wody, poniżej promienia padającego, przerywaną linię skierowaną w dół i prawo, która tworzy z normalną kąt graniczny oznaczony grecką literą alfa z indeksem dolnym gr. Kąt padania promienia biegnącego w wodzie jest większy od kąta granicznego. Promień odbija się od granicy wody z powietrzem. Promień odbity biegnie w wodzie w kierunku w lewo i dół.

Zastosujmy powyższe wiadomości do rozwiązania zadania:

Pryzmat szklany o współczynniku załamania n = 1,5 ma w przekroju kształt trójkąta równobocznego (Rys. 6.). Promień świetlny pada prostopadle na jedną ze ścian. Wyznacz kąt, o jaki odchyli się promień po wyjściu z pryzmatu.

RxFXNsasi5Vqd

Rys. 6. Na rysunku znajduje się pryzmat przedstawiony jako trójkąt równoboczny o poziomej podstawie. Kąt przy górnym wierzchołku trójkąta oznaczono jako 60 stopni. Na lewą ściankę pryzmatu pada promień świetlny skierowany w prawo i w dół. Promień jest prostopadły do ścianki i przechodzi do pryzmatu bez załamania. Promień pada na dolną, poziomą ściankę pryzmatu. Przez punkt dolnej ścianki, na który pada promień, poprowadzono pionową, przerywaną linię, zwaną normalną. Kąt między promieniem padającym i normalną oznaczono jako 60 stopni.

Promień padający prostopadle, czyli pod kątem padania 0Indeks górny o^o na ścianę pryzmatu, nie załamuje się w szkle i dociera do podstawy pryzmatu. Kąt padania wynosi 60Indeks górny o^o. Musimy teraz rozważyć dwie możliwości. Jeśli kąt padania jest mniejszy od kąta granicznego, promień załamie się, przechodząc do powietrza, a jeśli większy – nastąpi całkowite wewnętrzne odbicie. Obliczmy więc kąt graniczny:

Kąt padania jest większy od kąta granicznego (60Indeks górny o^o > 41,8Indeks górny o^o), nastąpi więc całkowite wewnętrzne odbicie (Rys. 7.). Promień pada na przeciwległą ściankę pryzmatu pod katem 0Indeks górny o^o i przechodzi do powietrza bez załamania. Kąt między pierwotnym kierunkiem promienia i promienia wychodzącego z pryzmatu wynosi 60Indeks górny o^o.

R19tZRfhr15D5

Rys. 7. Rysunek zawiera te same elementy co rysunek 6. Dodano promień odbity od dolnej poziomej ścianki pryzmatu skierowany w prawo i górę. Promień odbity tworzy z normalną kąt 60 stopni. Narysowano przerywaną linią przedłużenie promienia padającego skierowane w prawo i dół. Kąt między przedłużeniem promienia padającego i promieniem załamanym oznaczono jako 60 stopni.

Na koniec – praktyczna rada. Jak stosować w obliczeniach wzory opisujące prawo załamania fali, żeby nie pomylił nam się licznik z mianownikiem, $v_1$ z $v_2$ itp.? Jeśli zapiszemy ten wzór w postaci:

to musimy tylko pamiętać, że kąt $\alpha_1$ i prędkość fali $v_1$ dotyczą jednego ośrodka, a kąt $\alpha_2$ i prędkość fali $v_2$ – drugiego ośrodka. Który z kątów jest kątem padania, a który załamania, wynika jedynie z kierunku biegu fali.