Funkcja jest określona dla $x\ne -1$. Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$. Zapisujemy dziedzinę w postaci: $D_f=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,\infty \right)$.

$f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}=x·\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=\left[\frac{{\left(-1\right)}^2-1+1}{0^{-}}\right]=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty$

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=\left[\frac{{\left(-1\right)}^2-1+1}{0^{+}}\right]=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty$

Prosta $x=-1$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Jeśli funkcję możemy przedstawić w postaci $f\left(x\right)=ax+b+g\left(x\right)$ i spełniony jest warunek $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ lub $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$, to prosta $y=ax+b$ jest asymptotą ukośną wykresu funkcji $f\left(x\right)$.

Ponieważ $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}$ i $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$ oraz $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$, to prosta $y=x$ jest asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}$.

R14nh5HOTmRIE

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się z dwóch łuków: górny ma wierzchołek w punkcie $\left(0;1\right)$ i ramiona skierowane w górę. Leży on w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Dolny łuk ma wierzchołek w punkcie $\left(-2;-3\right)$. Łuk ten leży w trzeciej ćwiartce. Łuki ograniczone są asymptotami zaznaczonymi linią przerywaną. Asymptota pionowa określona jest równaniem $x=-1$, a ukośna asymptota równaniem $y=x$.

Prosta $y=x$ jest asymptotą ukośną obustronną oraz prosta $x=-1$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.

Ponieważ funkcja jest określona dla $x\in \mathrm{ℝ}$, to jej wykres nie ma asymptot pionowych.

Licząc granice w plus i minus nieskończoności, sprawdzimy, czy istnieje asymptota ukośna/pozioma wykresu funkcji.

Aby policzyć granice w nieskończoności, zapiszemy wyrażenie $\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}$ w postaci:

$\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}=\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}\right)·\frac{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}=$

$=\frac{{\left(\sqrt{x^2+2}\right)}^2-{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\left(x^2+2\right)-\left(x^2+1\right)}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}$.

Funkcję $f\left(x\right)$ zapisujemy następująco:

$f\left(x\right)=3x·\frac{1}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2+1}}$.

Wyłączamy z mianownika $x$, pamiętając, że $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$:

$f\left(x\right)=\frac{3x}{\left|x\right|·\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}$.

Wykorzystując definicję wartości bezwzględniej, zapisujemy:

$f\left(x\right)=\frac{3x}{\left|x\right|·\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=$

$=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3x}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=\frac{3}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)},& \mathrm{dla} x⩾0\\ \frac{3x}{-x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=\frac{-3}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)} ,& \mathrm{dla} x<0\end{array}\right.$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{\left|x\right|·\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=$

$=\frac{3}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{3}{2}$.

Istnieje asymptota pozioma prawostronna wykresu funkcji i ma równanie $y=\frac{3}{2}$.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x}{\left|x\right|·\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=$

$=\frac{-3}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=-\frac{3}{2}$

Istnieje asymptota pozioma lewostronna wykresu funkcji i ma równanie $y=-\frac{3}{2}$.

R6xw1iUCc8moK

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji będący krzywą w kształcie litery S. Wykres biegnie w trzeciej ćwiartce wypłaszczając się w minus nieskończoności do poziomej asymptoty określonej wzorem $y=-\frac{3}{2}$. Wykres przecina początek układu i biegnie łukiem w pierwszej ćwiartce, wypłaszczając się w plus nieskończoności do poziomej asymptoty o równaniu $y=\frac{3}{2}$.

Wykres funkcji $f\left(x\right)=3x\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2+1}\right)$ ma asymptotę poziomą lewostronną $y=-\frac{3}{2}$ oraz poziomą prawostronną $y=\frac{3}{2}$.