Przekształcając lewą stronę, wykorzystujemy wzory:

1) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, stąd

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

oraz

2) $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$, więc

${\left(1\right)}^2-{\cos }^2\alpha =\left(1-\cos \alpha \right)\left(1+\cos \alpha \right)$.

$\frac{{\sin }^2\alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{\left(1-\cos \alpha \right)\left(1+\cos \alpha \right)}{1+\cos \alpha }=1-\cos \alpha =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ i $\left(1+\cos \alpha \right)\ne 0$

$\frac{{\sin }^2\alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1}{2}$

$\frac{{tg}^2\alpha }{{tg}^2\alpha +1}={\sin }^2\alpha$

Przekształcamy lewą stronę wyrażenia tak długo, aż dojdziemy do prawej.

$\frac{{tg}^2\alpha }{{tg}^2\alpha +1}=\frac{{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2}{{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2+1}=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=$

$=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }·\frac{{\cos }^2\alpha }{1}={\sin }^2\alpha$

Przekształcając lewą stronę, wykorzystaliśmy wzory: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ i $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

Dla dowolnego kąta $\alpha$ równość $\frac{{tg}^2\alpha }{{tg}^2\alpha +1}={\sin }^2\alpha$ jest prawdziwa.