Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

Wiedzę na temat potęg o wykładnikach naturalnych, całkowitych i wymiernych, uzupełnimy krótką informacją o potędze o wykładniku niewymiernym.

Zakładamy, że podstawa $a$ jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, wykładnik $x$ jest dowolną liczbą niewymierną, na przykład $3^{\sqrt{2}}$ , $2^{π}$ .

Potęga $a^{x}$ jest liczbą, której przybliżenie możemy znaleźć, przyjmując przybliżenie wymierne wykładnika $x$ i ewentualnie podstawy $a$ . Oczywiste jest, że im lepsze przybliżenie wykładnika i podstawy, tym dokładniejszą wartość wymierną potęgi otrzymamy. Na przykład:

3^{\sqrt{2}} \approx 3^{1,4} = 3^{\frac{14}{10}} = \sqrt[10]{3^{14}} \approx 4,656

3^{\sqrt{2}} \approx 3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = \sqrt[100]{3^{141}} \approx 4,707

3^{\sqrt{2}} \approx 3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = \sqrt[1000]{3^{1414}} \approx 4,728

Korzystając z kalkulatora, otrzymamy:

3^{\sqrt{2}} \approx 4,728804388

Możemy teraz przyjąć, że wyrażenie $a^{x}$ jest dobrze określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej podstawy $a > 0$ .

Funkcja wykładnicza

Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a$ jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od $1$ .

Warunek występujący w tej definicji, dotyczący podstawy $a$ , wynika z tego, że jedynie dla $a > 0$ możemy jednoznacznie określić funkcję $f (x) = a^{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Zauważmy, że dla $a < 0$ funkcja nie byłaby określona dla każdej liczby rzeczywistej, np. nie dałoby się obliczyć $f (\frac{1}{2})$ , gdyż oznaczałoby to konieczność obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, a taki nie istnieje. Dla $a = 0$ nie można określić funkcji dla żadnej liczby $x$ niedodatniej. Z innego powodu zakładamy, że $a \neq 1$ . Dla $a = 1$ funkcja jest, co prawda, określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , ale wówczas jest to funkcja stała

f (x) = 1^{x} = 1

Funkcji $f (x) = 1^{x} = 1$ nie będziemy uznawać za funkcję wykładniczą, gdyż ma ona inne własności niż każda z funkcji wykładniczych.

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem przedstawiającym przykłady różnych funkcji wykładniczych. Odczytaj z rysunku współrzędne punktów i wpisz w luki ich wartości.

RC7sEi11588rC11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości lub argumenty podanych funkcji. Podaj punkty przecięcia wykresu z wybraną osią i określ jej monotoniczność.

RRoDnsUl7XdPz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MAbnWyRSQYj

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AM8ic4rXD8j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkJZBqAQwy1WN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem

f (x) = 2^{x}

W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.

$x$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$f (x) = 2^{x}$

$f (- 2) = 2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$
$f (- 1) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
$f (- \frac{1}{2}) = 2^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f (0) = 2^{0} = 1$
$f (\frac{1}{2}) = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
$f (1) = 2^{1} = 2$
$f (2) = 2^{2} = 4$
$f (3) = 2^{3} = 8$ .

Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczone wartości funkcji $f$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$f (x) = 2^{x}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$\sqrt{2}$	$2$	$4$	$8$

Zastanówmy się, jak funkcja $f$ będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na przykład

f (- 100) = 2^{- 100} = \frac{1}{2^{100}}

Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie współrzędnych punktu $(- 100, \frac{1}{2^{100}})$ , który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniejszych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bardzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego ujemnego argumentu.

Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji $f$ zbliża się do osi $X$ , czyli do prostej o równaniu $y = 0$ . Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.
Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te, które znaleźliśmy i dowolne inne, które moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej $f (x) = 2^{x}$ . Krzywą taką nazywamy krzywą wykładniczą albo eksponencjalną.

R4GM6Plc9n2bs1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą w kształcie łuku nieskończonego. Krzywa wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie 0;1 i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Na krzywej zaznaczono siedem zamalowanych punktów o następujących współrzędnych: -2;14, -1;12, -12;22, 0;1, 12;2, 1;2, 2;4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych

f (x) = a^{x}

w przypadku, gdy $a > 1$ .

RayPrYmjAqYuN1

Wykres funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ o podstawie $a > 1$ jest krzywą leżącą w drugiej i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, której asymptotą jest pozioma prosta $y = 0$ . Do krzywej należy punkt charakterystyczny $(0; 1)$ . Im podstawa jest większa, tym część krzywej leżąca w pierwszej ćwiartce jest bardziej zbliżona do poziomu (czyli im większa podstawa, tym funkcja szybciej rośnie). Przeanalizujemy kilka wykresów funkcji wykładniczej oraz znajdziemy punkty do niej należące.

Weźmy funkcję określoną wzorem $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Mamy:

$f (- 3) = {(\frac{3}{2})}^{- 3} = \frac{8}{27}$ , $f (- 2) = {(\frac{3}{2})}^{- 2} = \frac{4}{9}$ , $f (- 1) = {(\frac{3}{2})}^{- 1} = \frac{2}{3}$ , $f (0) = {(\frac{3}{2})}^{0} = 1$ , $f (1) = {(\frac{3}{2})}^{1} = \frac{3}{2}$ , $f (2) = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ , $f (3) = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8}$ .

Zatem do wykresu fukcji $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ należą między innymi następujące punkty:

$(- 3; \frac{8}{27})$ , $(- 2; \frac{4}{9})$ , $(- 1; \frac{2}{3})$ , $(0; 1)$ , $(1; \frac{3}{2})$ , $(2; \frac{9}{4})$ , $(3; \frac{27}{8})$ .

Weźmy teraz funkcję określoną wzorem $f (x) = {(\frac{5}{2})}^{x}$ . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Mamy:

$f (- 3) = {(\frac{5}{2})}^{- 3} = \frac{8}{125}$ , $f (- 2) = {(\frac{5}{2})}^{- 2} = \frac{4}{25}$ , $f (- 1) = {(\frac{5}{2})}^{- 1} = \frac{2}{5}$ , $f (0) = {(\frac{5}{2})}^{0} = 1$ , $f (1) = {(\frac{5}{2})}^{1} = \frac{5}{2}$ , $f (2) = {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$ , $f (3) = {(\frac{5}{2})}^{3} = \frac{125}{8}$ .

Zatem do wykresu funkcji $f (x) = {(\frac{5}{2})}^{x}$ należą między innymi następujące punkty: $(- 3; \frac{8}{125})$ , $(- 2; \frac{4}{25})$ , $(- 1; \frac{2}{5})$ , $(0; 1)$ , $(1; \frac{5}{2})$ , $(2; \frac{25}{4})$ , $(3; \frac{125}{8})$ .

Weźmy teraz funkcję określoną wzorem $f (x) = 3^{x}$ . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Mamy:

$f (- 3) = 3^{- 3} = \frac{1}{27}$ , $f (- 2) = 3^{- 2} = \frac{1}{9}$ , $f (- 1) = 3^{- 1} = \frac{1}{3}$ , $f (0) = 3^{0} = 1$ , $f (1) = 3^{1} = 3$ , $f (2) = 3^{2} = 9$ , $f (3) = 3^{3} = 27$ .

Zatem do wykresu funkcji $f (x) = 3^{x}$ należą między innymi następujące punkty: $(- 3; \frac{1}{27})$ , $(- 2; \frac{1}{9})$ , $(- 1; \frac{1}{3})$ , $(0; 1)$ , $(1; 3)$ , $(2; 9)$ , $(3; 27)$ .

Weźmy teraz funkcję określoną wzorem $f (x) = 4^{x}$ . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty $- 3$ , $- 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ . Mamy:

$f (- 3) = 4^{- 3} = \frac{1}{64}$ , $f (- 2) = 4^{- 2} = \frac{1}{16}$ , $f (- 1) = 4^{- 1} = \frac{1}{4}$ , $f (0) = 4^{0} = 1$ , $f (1) = 4^{1} = 4$ , $f (2) = 4^{2} = 16$ , $f (3) = 4^{3} = 64$ .

Zatem do wykresu funkcji $f (x) = 4^{x}$ należą między innymi następujące punkty: $(- 3; \frac{1}{64})$ , $(- 2; \frac{1}{16})$ , $(- 1; \frac{1}{4})$ , $(0; 1)$ , $(1; 4)$ , $(2; 16)$ , $(3; 64)$ .

Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią $X$ . Zatem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny punkt. Jest to punkt o współrzędnych $(0, 1)$ , w którym wykres każdej z tych funkcji przecina oś $Y$ . Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby $a > 1$ mamy $a^{0} = 1$ .

Przykład 3

Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ . Korzystając z własności potęg, wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci

g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} = {(2^{- 1})}^{x} = 2^{- x}

To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji $f (x) = 2^{x}$ w symetrii osiowej względem osi $Y$ .

R1BaZI9eWbUXa1

Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a \in (0, 1)$ . Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią $X$ , więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ . Jednak każda z takich funkcji jest malejąca.

Zapoznaj się z poniższym filmem, który pokazuje jak wyglądają zbiory wartości dwóch wskazanych funkcji wykładniczych.

RZCGnYHihMT5o1

Zapoznaj się z poniższym filmem, który pokazuje, że wykresy dwóch funkcji wykładniczych o odwrotnych podstawach są symetryczne względem osi $Y$ .

R3sYycZPdmjSj

Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy.

Własności funkcji wykładniczej

Każda funkcja wykładnicza $f (x) = a^{x}$ ma następujące własności:

dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości jest przedział $(0, + \infty)$ ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu $y = 0$ ,
nie ma miejsc zerowych,
jest monotoniczna, przy czym gdy $a > 1$ , to funkcja $f$ jest rosnąca, a gdy $0 < a < 1$ , to funkcja jest malejąca,
jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
wykres funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ .

Omówimy teraz przesunięcia wykresów funkcji wykładniczych wzdłuż osi układu współrzędnych. Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ o $p$ wzdłuż osi $X$ , to otrzymamy wykres funkcji o wzorze $g (x) = a^{x - p}$ . Przypomnijmy, że przesunięcie o np. $p = - 2$ oznacza przesunięcie wykresu w lewo o $2$ jednostki.

RN5jizi6t1YJC1

R1UbvRnZOFf6v1

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ o $q$ wzdłuż osi $Y$ , to otrzymamy wykres funkcji o wzorze $g (x) = a^{x} + q$ . W tym przypadku przesunięcie o np. $q = - 3$ oznacza przesunięcie wykresu w dół o $3$ jednostki. Asymptotą wykresu funkcji $g$ jest teraz prosta o równaniu $y = q$ .

RpbkjCAFnatle1

RGdWoY1A0A5xI1

Przykład 4

Przesuniemy wykres funkcji $f (x) = 3^{x}$ o $m$ wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.

Rqdnif8OKOSxF1

Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji $g$ oraz zapiszemy jej wzór.

Przesuwając wykres funkcji $f (x) = 3^{x}$ o $2$ wzdłuż osi $X$ , otrzymujemy wykres funkcji $g (x) = 3^{x - 2}$ .
RN5frTyF9htig1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $f (x) = 3^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja f jest przesunięta w prawo o poziomy wektor o długości dwa. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $g (x) = 3^{x - 2}$ . Krzywa będąca wykresem funkcji g ma taki sam kształt jak wykres funkcji f oraz leży również w drugiej i w pierwszej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Po przesunięciu wykresu funkcji $f (x) = 3^{x}$ o $m = - 3$ wzdłuż osi $X$ otrzymujemy wykres funkcji o wzorze $g (x) = 3^{x - (- 3)} = 3^{x + 3}$ .
R16qoHTLKxPrA1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $f (x) = 3^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja f jest przesunięta w lewo o poziomy wektor o długości trzy. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $g (x) = 3^{x + 3}$ . Krzywa będąca wykresem funkcji g ma taki sam kształt jak wykres funkcji f oraz leży również w drugiej i w pierwszej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej $f (x) = 3^{x}$ o $m = 1$ wzdłuż osi $Y$ otrzymamy wykres funkcji $g (x) = 3^{x} + 1$ . Ponieważ zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $(1, + \infty)$ , więc można narysować także prostą o równaniu $y = 1$ , która jest asymptotą wykresu funkcji $g$ . Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.
R19gxZzIOFgzD1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $f (x) = 3^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja f jest przesunięta w górę o pionowy wektor o długości jeden. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $g (x) = 3^{x} + 1$ . Krzywa będąca wykresem funkcji g ma taki sam kształt jak wykres funkcji f oraz leży również w drugiej i w pierwszej ćwiartce, a jej asymptota pozioma przesunęła się z poziomej prostej $y = 0$ do $y = 1$ . Nową asymptotę narysowano linią przerywaną.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przesunięcie o $m = - 4$ wzdłuż osi $Y$ oznacza przesunięcie wykresu w dół o $4$ jednostki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać $f (x) = 3^{x} + (- 4) = 3^{x} - 4$ , a asymptotą jej wykresu jest prosta
$y = - 4$ .
Rw0tq6tS0BHTt1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $f (x) = 3^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja f jest przesunięta w dół o pionowy wektor o długości cztery. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $g (x) = 3^{x} - 4$ . Krzywa będąca wykresem funkcji g ma taki sam kształt jak wykres funkcji f oraz leży w trzeciej, czwartej i w pierwszej ćwiartce. W tym przypadku asymptota funkcji g również została przesunięta o cztery jednostki w dół, czyli z poziomej prostej $y = 0$ na poziomą prostą o równaniu $y = - 4$ , którą narysowano linią przerywaną.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Narysuj wykres funkcji $f$ . Podaj wzór funkcji wykładniczej $g$ , której wykres przesunęliśmy tak, aby otrzymać wykres funkcji $f$ . O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wykonaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji $f$ przetnie osie $Y$ i $X$ ?

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 4}$
$f (x) = 2^{x + 3}$
$f (x) = 4^{x} + 1$
$f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3$

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 4}$ to wykres funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ przesunięty o $4$ wzdłuż osi $X$ .
RodZEo07T8vQ51
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem malejącej funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ i wypłaszcza się do dodatniej półosi OX w minus nieskończoności i przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ . Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja g jest przesunięta w prawo o poziomy wektor o długości cztery. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 4}$ . Asymptota pozostaje bez zmian, punkt $(0; 1)$ został przesunięty o cztery jednostki w prawo, czyli do punktu $(4; 1)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obliczając wartość funkcji $f$ dla argumentu $x = 0$ , znajdujemy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$ . Mamy
$f (0) = {(\frac{1}{2})}^{0 - 4} = 2^{4} = 16$ .
Zatem szukanym punktem jest $(0, 16)$ . Cały wykres leży nad osią $X$ , więc nie ma punktów wspólnych z tą osią.
Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = 2^{x + 3} = 2^{x - (- 3)}$ . Jej wykres powstaje zatem przez przesunięcie wykresu funkcji $g (x) = 2^{x}$ o $(- 3)$ wzdłuż osi $X$ , czyli o $3$ jednostki w lewo.
R1LjaUS45xeFs1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $g (x) = 2^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja g jest przesunięta w lewo o poziomy wektor o długości trzy. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $f (x) = 2^{x + 3}$ . Asymptota pozostaje bez zmian, punkt $(0; 1)$ został przesunięty o trzy jednostki w lewo, czyli do punktu $(- 3; 1)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ , obliczamy wartość funkcji dla argumentu $0$ , czyli
$f (0) = 2^{0 + 3} = 8$ .
Zatem wykres przecina tę oś w punkcie $(0, 8)$ . Z osią $X$ wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią.
Wykres funkcji $f (x) = 4^{x} + 1$ jest wykresem funkcji $g (x) = 4^{x}$ przesuniętym o $1$ wzdłuż osi $Y$ .
RFGWs9G7PNpIx1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem rosnącej funkcji $g (x) = 4^{x}$ i wypłaszcza się do ujemnej półosi OX w minus nieskończoności, przecina oś Y w punkcie $(0; 1)$ i dalej szybko rośnie do plus nieskończoności. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja g jest przesunięta w górę o pionowy wektor o długości jeden. W ten sposób otrzymano wykres funkcji $f (x) = 4^{x} + 1$ . Asymptota przesuwa się w górę i określona jest wzorem $y = 1$ , punkt $(0; 1)$ został przesunięty o jedną jednostkę w górę, czyli do punktu $(0; 2)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$f (0) = 4^{0} + 1 = 2$ , zatem punktem przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$ jest punkt $(0, 2)$ . Cały wykres leży nad osią $X$ , zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.
Wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ o $- 3$ wzdłuż osi $Y$ .
RWoE773Ji4jNH1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano krzywą wykładniczą, która ma kształt łuku. Krzywa jest wykresem malejącej funkcji $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ i przecina oś Y w punkcie $(0; 1) </math. Krzywa leży w drugiej i w pierwszej ćwiartce i przyjmuje tylko wartości dodatnie. Funkcja g jest przesunięta w dół o pionowy wektor o długości trzy. W ten sposób otrzymano wykres funkcji f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3 . Asymptota przesuwa się w dół i określona jest wzorem y = - 3, punkt (0; 1) został przesunięty o trzy jednostki w dół, czyli do punktu (0; - 2) .$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ponieważ wykres funkcji $g$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 1)$ , więc punktem przecięcia funkcji $f$ z osią $Y$ jest punkt $(0, - 2)$ . Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z osią $X$ , obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$ , czyli $0 = {(\frac{1}{3})}^{x} - 3$ . Stąd ${(\frac{1}{3})}^{x} = 3,$ czyli
${(\frac{1}{3})}^{x} = {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ .
Zatem $x = - 1$ . Punkt przecięcia z osią $X$ to punkt $(- 1, 0)$ .

RCrdQFpwjvQST1

R7gHvecqS07sc1

Zapoznaj się z poniższym apletem przedstawiającym przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej. Zwróć uwagę, jak przekształcanie wykresu wpływa na wzór funkcji.

RpEv67iOIyYCi11

Na przykładzie funkcji $f (x) = 2^{x}$ opiszemy symetryczne przekształcenia funkcji wykładniczej względem osi $X$ , względem osi $Y$ oraz przesunięcia wykresu wzdłuż każdej z osi.

Wykres funkcji $f (x) = 2^{x}$ jest nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i pierwszej ćwiartce układu. Jest to funkcja rosnąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem $y = 0$ . Funkcja $f$ przyjmuje więc tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji $f$ wypłaszcza się w minus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów większych od minus dwóch funkcja zaczyna bardzo szybko rosnąć, a w pierwszej ćwiartce jest niemal pionowa. Przykładowe punkty należące do wykresu funkcji $f$ to: $A (- 2; \frac{1}{4})$ , $B (- 1; \frac{1}{2})$ , $C (0; 1)$ , $D (1; 2)$ , $E (2; 4)$ . W kolejnych przekształceniach będziemy odnosić się do tych punktów, aby dokładniej przedstawić przekształcenia wykresu funkcji. Przesunięte punkty będziemy indeksować od nazwy nowej przesuniętej lub przekształconej funkcji.

Symetria względem osi $X$

Przekształcenie wykresu funkcji $f$ względem poziomej osi układu jest następujące: $k (x) = - k (x) = - 2^{x}$ . Wykres funkcji $k (x) = - 2^{x}$ jest nieskończonym łukiem znajdującym się w trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Jest to funkcja malejąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem $y = 0$ . Funkcja $k$ przyjmuje więc tylko wartości ujemne. Wykres funkcji $k$ wypłaszcza się w minus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów większych od minus dwóch funkcja zaczyna bardzo szybko maleć, a w czwartej ćwiartce jest niemal pionowa. Prześledzimy teraz przekształcenie przykładowych punktów: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{k} (- 2; - \frac{1}{4})$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{k} (- 1; - \frac{1}{2})$ , punkt $C (0; 1)$ przesuwa się do punktu $C_{k} (0; - 1)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{k} (1; - 2)$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{k} (2; - 4)$ .

Symetria względem osi $Y$

Przekształcenie wykresu funkcji $f$ względem poziomej osi układu jest następujące: $h (x) = f (- x) = 2^{- x}$ . Wykres funkcji $h (x) = 2^{- x}$ jest nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i pierwszej ćwiartce układu. Jest to funkcja malejąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem $y = 0$ . Funkcja $h$ przyjmuje więc tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji $h$ wypłaszcza się w plus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów mniejszych od minus dwóch funkcja bardzo szybko maleje, w drugiej ćwiartce jest niemal pionowa, a w pierwszej niemal pozioma. Prześledzimy teraz przekształcenie przykładowych punktów: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{h} (- 2; 4)$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{h} (- 1; 2)$ , punkt $C (0; 1)$ pokrywa się z punktem $C_{h} (0; 1)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{h} (1; \frac{1}{2})$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{h} (1; \frac{1}{4})$ .

Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi $X$

W tym przesunięciu wykres funkcji nie zmienia swoich właściwości: funkcję przesuwamy tylko w lewo lub w prawo wzdłuż poziomej osi. Tak przekształcony wykres nadal znajduje się w drugiej w pierwszej ćwiartce, nadal jest to funkcja rosnąca o wartościach dodatnich i o poziomej asymptocie $y = 0$ . Podamy dwa przykłady takich przesunięć - jeden w lewo i jeden w prawo.

Przesunięcie funkcji wykładniczej w lewo o sześć jednostek:

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ wzdłuż poziomej osi układu jest następujące: $l (x) = f (x - 6) = 2^{x - (- 6)} = 2^{x + 6}$ . Wykres funkcji $l (x) = 2^{x + 6}$ przedstawimy za pomocą przesunięcia wybranych wcześniej przykładowych punktów o wektor $[- 6; 0]$ . Przesunięcie punktów jest następujące: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{l} (- 2 - 6; \frac{1}{4}) = A_{l} (- 8; \frac{1}{4})$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{l} (- 1 - 6; \frac{1}{2}) = B_{l} (- 7; \frac{1}{2})$ , punkt $C (0; 1)$ przesuwa się do punktu $C_{l} (0 - 6; 1) = C_{l} (- 6; 1)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{l} (1 - 6; 2) = D_{l} (- 5; 2)$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{l} (2 - 6; 4) = E_{l} (- 4; 4)$ .

Przesunięcie funkcji wykładniczej w prawo o trzy jednostki:

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ wzdłuż poziomej osi układu jest następujące: $p (x) = f (x + 3) = 2^{x - 3}$ . Wykres funkcji $p (x) = 2^{x - 3}$ przedstawimy za pomocą przesunięcia wybranych wcześniej przykładowych punktów o wektor $[3; 0]$ . Przesunięcie punktów jest następujące: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{p} (- 2 + 3; \frac{1}{4}) = A_{p} (1; \frac{1}{4})$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{p} (- 1 + 3; \frac{1}{2}) = B_{p} (2; \frac{1}{2})$ , punkt $C (0; 1)$ przesuwa się do punktu $C_{p} (0 + 3; 1) = C_{p} (3; 1)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{p} (2 + 3; 2) = D_{p} (5; 2)$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{p} (2 + 3; 4) = E_{p} (5; 4)$ .

Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi $Y$

W tym przesunięciu wykres funkcji zmienia niektóre swoje właściwości: funkcję przesuwamy tylko w górę lub w dół wzdłuż pionowej osi. Tak przekształcony wykres nadal reprezentuje funkcję rosnącą, jednak zmienia się jego położenie w układzie. Jeśli przesuniemy wykres wyżej, to nadal będzie on w drugiej i w pierwszej ćwiartce i będzie przyjmował tylko dodatnie wartości, jednak jeśli przesuniemy wykres w dół, będzie on znajdował się również w trzeciej i w czwartej ćwiartce, a także będzie przyjmował wartości ujemne. W zależności od przesunięcia będzie się również zmieniać asymptota pozioma. Podamy dwa przykłady takich przesunięć - jeden w górę i jeden w dół.

Przesunięcie funkcji wykładniczej w górę o pięć jednostek:

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ wzdłuż pionowej osi układu jest następujące: $g (x) = f (x) + 5 = 2^{x} + 5$ . Przesunięcie to oznacza przesunięcie wykresu funkcji o pionowy wektor $[0; 5]$ . Wykres funkcji $g (x) = 2^{x} + 5$ znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce, funkcja przyjmuje wartości w przedziale $y \in (5; + \infty)$ , asymptota przesuwa się w górę o pięć jednostek i jest postaci $y = 5$ . Przesunięcie wybranych punktów jest następujące: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{g} (- 2; \frac{1}{4} + 5) = A_{g} (- 2; \frac{21}{4})$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{g} (- 1; \frac{1}{2} + 5) = B_{g} (- 1; \frac{11}{2})$ , punkt $C (0; 1)$ przesuwa się do punktu $C_{g} (0; 1 + 5) = C_{g} (0; 6)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{g} (1; 2 + 5) = D_{g} (1; 7)$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{g} (2; 4 + 5) = E_{g} (2; 9)$ .

Przesunięcie funkcji wykładniczej w dół o cztery jednostki:

Przesunięcie wykresu funkcji $f$ wzdłuż pionowej osi układu jest następujące: $d (x) = f (x) - 4 = 2^{x} - 4$ . Przesunięcie to oznacza przesunięcie wykresu funkcji o pionowy wektor $[0; - 4]$ . Wykres funkcji $d (x) = 2^{x} - 4$ znajduje się w trzeciej, czwartej i w pierwszej ćwiartce, funkcja przyjmuje wartości w przedziale $y \in (- 4; + \infty)$ , asymptota przesuwa się w dół o cztery jednostki i jest postaci $y = - 4$ . Przesunięcie wybranych punktów jest następujące: $A (- 2; \frac{1}{4})$ przesuwa się do punktu $A_{d} (- 2; \frac{1}{4} - 4) = A_{d} (- 2; - \frac{15}{4})$ , punkt $B (- 1; \frac{1}{2})$ przesuwa się do punktu $B_{d} (- 1; \frac{1}{2} - 4) = B_{d} (- 1; \frac{7}{2})$ , punkt $C (0; 1)$ przesuwa się do punktu $C_{d} (0; 1 - 4) = C_{d} (0; - 3)$ , punkt $D (1; 2)$ przesuwa się do punktu $D_{d} (1; 2 - 4) = D_{d} (1; - 2)$ , a punkt $E (2; 4)$ przesuwa się do punktu $E_{d} (2; 4 - 4) = E_{d} (2; 0)$ .

Przykład 6

Narysujemy wykres funkcji

$f (x) = - 4^{x}$
$f (x) = - {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f (x) = - 4^{x}$ jest symetryczny względem osi $X$ do wykresu funkcji $g (x) = 4^{x}$ .
R1EhAQuBU1HVs1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem $g (x) = 4^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji $f (x) = - 4^{x}$ . Wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji g względem poziomej osi X. Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości ujemne, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Żeby sporządzić wykres funkcji $f (x) = - {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$ , narysujemy najpierw wykres funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ . Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi $X$ . Jest to wykres funkcji $h (x) = - {(\frac{1}{2})}^{x}$ , który z kolei przesuniemy o $2$ wzdłuż osi $Y$ . W ten sposób otrzymamy wykres funkcji $f$ .
R11ptGS2PWuJ31
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trzy wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ . Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji $h (x) = - {(\frac{1}{2})}^{x}$ . Wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji g względem poziomej osi X. Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości ujemne, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce. Wykres trzeci jest wykresem funkcji h przesuniętym o dwie jednostki w górę, czyli o wektor $[0, 2]$ . Funkcja trzecia określona jest wzorem $f (x) = - {(\frac{1}{2})}^{x} + 2$ . Funkcja f jest rosnąca, przyjmuje wartości ujemne i dodatnie mniejsze, niż dwa, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 2$ , którą zaznaczono linią przerywaną. Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej, drugiej i pierwszej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Narysujmy wykres funkcji

$f (x) = 9 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{x}$
$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + {(\frac{1}{2})}^{x}$

Rozwiązanie

Przekształćmy wzór funkcji $f$ , korzystając z własności potęgowania.
$f (x) = 9 \cdot \sqrt{3} \cdot 3^{x} = {3^{2} \cdot 3}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{x} = 3^{2 + \frac{1}{2} + x} = 3^{x + 2 \frac{1}{2}}$
Zatem, żeby narysować wykres funkcji $f$ , przesuwamy wykres funkcji $g (x) = 3^{x}$ o $(- 2 \frac{1}{2})$ wzdłuż osi $X$ .
RvcSanISH6RQz1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem $g (x) = 3^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji $f (x) = 3^{x + 2, 5}$ . Wykres funkcji f jest przesuniętym w lewo o dwie i pół jednostki wykresem funkcji g, czyli wykres f jest przesuniętym wykresem funkcji g o wektor $[- 2, 5, 0]$ . Funkcja f jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodatnie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji f znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + {(\frac{1}{2})}^{x} = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x} = {(\frac{1}{2})}^{- 1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{x} = {(\frac{1}{2})}^{x - 1}$ . Zatem rysujemy wykres funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ , a następnie przesuwamy go o $1$ wzdłuż osi $X$ .

Rsw0PoqPe2lga1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem gx=12x. Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta y=0. Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji fx=12x-1. Wykres funkcji f jest przesuniętym w prawo o jedną jednostkę wykresem funkcji g, czyli wykres f jest przesuniętym wykresem funkcji g o wektor 1, 0. Funkcja f jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodatnie, jej asymptotą poziomą jest prosta y=0. Wykres funkcji f znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ , mając dany punkt $(- 2, \frac{1}{49})$ leżący na jej wykresie.

Skoro punkt $(- 2, \frac{1}{49})$ leży na wykresie funkcji $f$ , więc dla argumentu $x = - 2$ funkcja przyjmuje wartość $f (- 2) = \frac{1}{49}$ . Mamy więc

\frac{1}{49} = a^{- 2}

Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać $7^{- 2} = a^{- 2}$ , stąd $a = 7$ . Zatem wzór funkcji $f$ ma postać $f (x) = 7^{x}$ .

Przykład 9

Sprawdzimy, czy punkt $A = (4, 4)$ leży na wykresie funkcji $f (x) = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu $x = 4$ funkcja $f$ przyjmie wartość $4$ . Ponieważ $f (4) = {(\sqrt{2})}^{4} = 2^{2} = 4$ , więc punkt $A$ leży na wykresie funkcji $f$ .

Przykład 10

Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej $f (x) = {(\sqrt{5})}^{x}$ w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ ?

Funkcja $f (x) = {(\sqrt{5})}^{x}$ jest rosnąca, ponieważ $\sqrt{5} > 1$ , a dla $a > 1$ funkcja wykładnicza $g (x) = a^{x}$ jest rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z przedziału $⟨- 2, 0⟩$ , czyli dla $x = - 2$ , a największą dla największego argumentu z tego przedziału, czyli dla $x = 0$ . Mamy więc wartość najmniejszą $f (- 2) = {(\sqrt{5})}^{- 2} = \frac{1}{{(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{1}{5}$ oraz wartość największą $f (0) = {(\sqrt{5})}^{0} = 1$ w przedziale $⟨- 2, 0⟩$ .

Przykład 11

Określ monotoniczność funkcji $f (x) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{x}$ i na tej podstawie porównaj liczby ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{10}$ oraz ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{20}$ .

Ponieważ $a = \frac{\sqrt{3}}{2} \in (0,1)$ , więc funkcja $f (x) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{x}$ jest malejąca. Zatem dla mniejszego argumentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ $10 < 20$ , więc ${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{10} > {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{20}$ .

Przykład 12

Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ , dla których wartość funkcji jest

równa $81$ ,
większa od $81$ ,
co najmniej równa $81$ .

Narysujmy wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

R1ImS6j4EkaWc1

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość $y \in (0, + \infty)$ jest przyjmowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu $x$ , dla którego $f (x) = 81$ , czyli ${(\frac{1}{3})}^{x} = 81$ . Mamy ${(\frac{1}{3})}^{x} = {(\frac{1}{3})}^{- 4}$ , stąd $x = - 4$ .
Funkcja $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ jest malejąca, czyli wartości większe od $81$ funkcja $f$ przyjmuje dla argumentów mniejszych od $x = - 4$ . Zatem $f (x) > 81$ dla $x \in (- \infty, - 4)$ .
Wartości co najmniej równe $81$ funkcja $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ przyjmuje dla argumentów mniejszych lub równych $(- 4)$ . Zatem $f (x) \geq 81$ dla $x \in (- \infty, - 4〉$ .

Funkcja wykładnicza i jej własności Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej Zadania

Ćwiczenie 1

RIHj7a2f5vMcr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rk9e4JHD6jXYe

Poniżej przedstawiono wzory funkcji oraz punkty. Połącz w pary wzory funkcji z punktami należącymi do wykresu danych funkcji.

f (x) = 2^{x - 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

f (x) = 2^{x} - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

f (x) = 2^{x + 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

f (x) = 2^{x} + 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

f (x) = - 2^{x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

f (x) = 2^{- x}

Możliwe odpowiedzi: 1.

(0; 3)

(1; 4)

, 2.

(- 2; 4)

(0; 1)

, 3.

(0; - 1)

(1; - 2)

, 4.

(- 2; 1)

(0; 4)

, 5.

(2; 1)

(3; 2)

, 6.

(0; - 1)

(1; 0)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MVRnenM81CC21

Ćwiczenie 2

Dana jest funkcja wykładnicza

y = {(\frac{1}{2})}^{x}

. Wyznacz wartość funkcji

y

dla podanych wykładników

x

, a następnie uzupełnij luki. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

x = - 1

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

x = 2

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

x = - 2

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

x = - 5

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

x = \frac{1}{2}

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

x = - \frac{1}{2}

y =

\frac{1}{16}

, 2.

- \frac{1}{4}

, 3.

\sqrt{2}

, 4.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

2

, 6.

4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

32

, 9.

\frac{1}{4}

, 10.

\frac{1}{32}

Dana jest funkcja wykładnicza $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

Przeciągnij i upuść.

$- \frac{1}{4}$ , $\sqrt{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{1}{32}$ , $2$ , $4$ , $32$ , $- \frac{1}{2}$

$x = - 1$ ............
$x = 2$ ............
$x = - 2$ ............
$x = - 5$ ............
$x = \frac{1}{2}$ ............
$x = - \frac{1}{2}$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R1OBv8HMYaplv

R1dqg1yA8fafv

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R139dqQl0ob821

Ćwiczenie 4

$(1,0)$
$(1, 3)$
$(- 2, 9)$
$(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1WtKeUwzHd0311

Ćwiczenie 5

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

2^{5} \cdot 2^{4} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

2^{5} \cdot 2^{6} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

\frac{2^{5}}{2^{6}} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

{(2^{2})}^{5} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

{(2^{5})}^{3} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

2^{4} \cdot 3^{4} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

2^{4} \cdot \sqrt{2} =

2^{4 \frac{1}{2}}

, 2.

2^{9}

, 3.

1

, 4.

\frac{1}{2}

, 5.

2^{11}

, 6.

6^{4}

, 7.

2^{15}

, 8.

5

, 9.

2^{10}

Przeciągnij i upuść.

$\frac{1}{2}$ , $1$ , $2^{9}$ , $5$ , $2^{4 \frac{1}{2}}$ , $2^{10}$ , $2^{11}$ , $2^{15}$ , $6^{4}$

$2^{5} \cdot 2^{4} =$ ............
$2^{5} \cdot 2^{6} =$ ............
$\frac{2^{5}}{2^{6}} =$ ............
${(2^{2})}^{5} =$ ............
${(2^{5})}^{3} =$ ............
$2^{4} \cdot 3^{4} =$ ............
$2^{4} \cdot \sqrt{2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1HIxsIfxI3dy11

Ćwiczenie 6

Przedstaw podane liczby w postaci potęgi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę, i wybierz brakującą liczbę dla każdej równości.

\sqrt{2} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\frac{1}{\sqrt{2}} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\frac{1}{3} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\sqrt[3]{3^{4}} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\sqrt[3]{5^{7}} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\frac{1}{\sqrt[3]{2}} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

\frac{1}{\sqrt[5]{4^{3}}} =

3^{\frac{4}{3}}

, 2.

2^{- \frac{1}{3}}

, 3.

17

, 4.

15

, 5.

2^{- \frac{1}{2}}

, 6.

2^{\frac{1}{2}}

, 7.

5^{\frac{7}{3}}

, 8.

4^{- \frac{3}{5}}

, 9.

3^{- 1}

Przeciągnij i upuść.

$5^{\frac{7}{3}}$ , $15$ , $4^{- \frac{3}{5}}$ , $2^{\frac{1}{2}}$ , $3^{- 1}$ , $3^{\frac{4}{3}}$ , $17$ , $2^{- \frac{1}{2}}$ , $2^{- \frac{1}{3}}$

$\sqrt{2} =$ ............
$\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ............
$\frac{1}{3} =$ ............
$\sqrt[3]{3^{4}}$ ............
$\sqrt[3]{5^{7}}$ ............
$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ............
$\frac{1}{\sqrt[5]{4^{3}}}$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11QCVHBsc2tX11

Ćwiczenie 7

$f (x) = 3^{x}$
$f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$
$f (x) = {(\sqrt{3})}^{x}$
$f (x) = 9^{x}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1DiDemMST7w91

Ćwiczenie 8

$f (x) = 3^{- x}$
$f (x) = - 3^{x}$
$f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$
$f (x) = {(\frac{1}{3})}^{- x}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwOkSafqlW12P1

Ćwiczenie 9

$"〈"\frac{1}{4}, 2"〉"$
$"〈"\frac{1}{2}, 4"〉"$
$"〈"- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}"〉"$
$"〈"2, 4"〉"$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eDYQoXSfm881

Ćwiczenie 10

$f (x) = 2^{x} - 3$
$f (x) = - 2^{x}$
$f (x) = 3^{- x}$
$f (x) = - 5^{x} + 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AT7ZGqW94S91

Ćwiczenie 11

$a = 3$
$a = \frac{1}{3}$
$a = \sqrt{3}$
$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1SKqQpizWyvB1

Ćwiczenie 12

$y = {(\frac{2}{3})}^{x - 3}$
$y = {(\frac{2}{3})}^{x + 3}$
$y = {(\frac{2}{3})}^{x} - 3$
$y = {(\frac{2}{3})}^{x} + 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R3jBmn2y8VBfy1

Ćwiczenie 13

$g (x) = - {(\frac{4}{\sqrt{2}})}^{x}$
$g (x) = - {(\frac{\sqrt{2}}{4})}^{x}$
$g (x) = {(\frac{8}{\sqrt{2}})}^{x}$
$g (x) = {(2 \sqrt{2})}^{x}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RD5LqT5AAMC7R1

Ćwiczenie 14

$- 100$
$1$
$50$
$10 000$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1k2NBe76KNcM1

Ćwiczenie 15

$(0, - 2)$
$(0, 1)$
$(0, - 3)$
$(3, 0)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$ . Narysuj wykres tej funkcji.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$
$f (x) = 3^{x + 2}$
$f (x) = 4^{x} - 3$

RowBYlSCFTSPh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $Y$ . Opisz jak wygląda wykres tej funkcji.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$
$f (x) = 3^{x + 2}$
$f (x) = 4^{x} - 3$

R1J74iXNoM5sf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$ otrzymamy poprzez odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
Wykres funkcji $f (x) = 3^{x + 2}$ otrzymamy poprzez odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = 3^{x}$ .
Wykres funkcji $f (x) = 4^{x} - 3$ otrzymamy poprzez odpowiednie przesunięcie funkcji $g (x) = 4^{x}$ .

$(0,8)$
R1FBQcgkMUtSD1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dziesięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ . Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o trzy jednostki w prawo, czyli o wektor $[3, 0]$ . Punkt przecięcia funkcji f z osią Y to $(0; 8)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$(0,9)$
RWQ6SDUFQsx641
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dziesięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = 3^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = 3^{x + 2}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o dwie jednostki w lewo, czyli o wektor $[- 2, 0]$ . Punkt przecięcia funkcji f z osią Y to $(0; 9)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$(0, - 2)$
R1OCjkr3rBiBI1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do dziesięciu. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = 3^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = 3^{x + 2}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o dwie jednostki w lewo, czyli o wektor $[- 2, 0]$ . Punkt przecięcia funkcji f z osią Y to $(0; - 2)$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$f (0) = {(\frac{1}{2})}^{0 - 3} = 8$ , czyli punktem przecięcia wykresu z osią $Y$ jest punkt $(0, 8)$ . Wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x - 3}$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ o $3$ wzdłuż osi $X$ .
$f (0) = 3^{0 + 2} = 9$ , czyli wykres ten przecina oś $Y$ w punkcie $(0, 9)$ . Przesuwając wykres funkcji $g (x) = 3^{x}$ o $- 2$ wzdłuż osi $X$ , otrzymujemy wykres funkcji $f (x) = 3^{x + 2}$ .
Wykres funkcji $g (x) = 4^{x}$ przesuwamy o $- 3$ wzdłuż osi $Y$ i otrzymujemy wykres funkcji $f (x) = 4^{x} - 3$ . Punkt przecięcia tego wykresu z osią $Y$ przesunie się więc o $3$ w dół z punktu $(0, 1)$ do punktu $(0, - 2)$ .

Ćwiczenie 17

Narysuj wykres funkcji

$f (x) = - 3^{x}$
$f (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x} + 1$

RZDA72qgyuZfg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz w jaki sposób możemy uzyskać wykres funkcji

$f (x) = - 3^{x}$
$f (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x} + 1$

Wykorzystaj symetrię odpowiednich wykresów względem osi $Y$ .

Wykres funkcji $f (x) = - 3^{x}$ jest obrazem wykresu funkcji $g (x) = 3^{x}$ w symetrii osiowej względem osi $X$ .
R10a5dZCmIS0u1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem $g (x) = 3^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji $f (x) = - 3^{x}$ . Wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji g względem poziomej osi X. Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości ujemne, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przekształcamy wykres funkcji $g (x) = {(\frac{2}{3})}^{x}$ w symetrii osiowej względem osi $X$ i otrzymujemy wykres funkcji $h (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x}$ , który następnie przesuwamy o $1$ wzdłuż osi $Y$ . W ten sposób otrzymujemy wykres funkcji $f (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x} + 1$ .
R1CDwVldT6ndJ1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trzy wykresy funkcji. Wyjściowa funkcja określona jest wzorem $g (x) = {(\frac{2}{3})}^{x}$ . Funkcja g jest malejąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugim wykresem narysowanym na płaszczyźnie jest wykres funkcji $h (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x}$ . Wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji g względem poziomej osi X. Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości ujemne, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce. Wykres trzeci jest wykresem funkcji h przesuniętym o jedną jednostkę w górę, czyli o wektor $[0, 1]$ . Funkcja trzecia określona jest wzorem $f (x) = - {(\frac{2}{3})}^{x} + 1$ . Funkcja f jest rosnąca, przyjmuje wartości ujemne i dodatnie mniejsze, niż jeden, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 1$ , którą zaznaczono linią przerywaną. Wykres funkcji f znajduje się w trzeciej, drugiej i pierwszej ćwiartce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Narysuj wykres funkcji

$f (x) = \frac{2^{x}}{8}$
$f (x) = 3^{x} + 3^{x} + 3^{x}$
$f (x) = 2^{x + 4} + 2^{x + 6} - 48 \cdot 2^{x}$

R1A66tLxwnNqG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz w jaki sposób możemy uzyskać wykres funkcji

$f (x) = \frac{2^{x}}{8}$
$f (x) = 3^{x} + 3^{x} + 3^{x}$
$f (x) = 2^{x + 4} + 2^{x + 6} - 48 \cdot 2^{x}$

Wzór funkcji $f$ przekształcamy do postaci $f (x) = \frac{2^{x}}{8} = \frac{2^{x}}{2^{3}} = 2^{x - 3}$ . Rysujemy wykres funkcji $g (x) = 2^{x}$ i przesuwamy go o $3$ wzdłuż osi $X$ . Otrzymujemy wykres funkcji $f$ .
RP59pMWQJrfMI1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = 2^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = 2^{x - 3}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o trzy jednostki w prawo, czyli o wektor $[3, 0]$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przekształcamy wzór funkcji $f$ i otrzymujemy $f (x) = 3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = 3 \cdot 3^{x} = 3^{x + 1}$ . Rysujemy wykres funkcji $g (x) = 3^{x}$ , a potem przesuwamy go o $(- 1)$ wzdłuż osi $X$ . Otrzymujemy wykres funkcji $f$ .
RyRDgwQuQQgzw1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = 3^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = 3^{x + 1}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o jedną jednostkę w lewo, czyli o wektor $[- 1, 0]$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
$f (x) = 2^{x + 4} + 2^{x + 6} - 48 \cdot 2^{x} = 2^{x} \cdot 2^{4} + 2^{x} \cdot 2^{6} - 48 \cdot 2^{x} =$ $= 16 \cdot 2^{x} + 64 \cdot 2^{x} - 48 \cdot 2^{x} = 32 \cdot 2^{x} = 2^{5} \cdot 2^{x} = 2^{x + 5}$ . Rysujemy wykres funkcji $g (x) = 2^{x}$ i przesuwamy go o $(- 5)$ wzdłuż osi $X$ . Otrzymujemy wykres funkcji $f$ .
R1Oz1cApC2EyY1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji. Wyjściowy wykres przedstawia funkcję określoną wzorem $g (x) = 2^{x}$ . Funkcja g jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodanie, jej asymptotą poziomą jest prosta $y = 0$ . Wykres funkcji g znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. Drugi wykres przedstawia funkcję f określoną wzorem $f (x) = 2^{x + 5}$ . Jest to wykres funkcji g przesuniętej o pięć jednostek w lewo, czyli o wektor $[- 5, 0]$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Na wykresie funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ leży punkt $A = (- 3, \frac{1}{125})$ . Wyznacz wzór tej funkcji. Określ jej monotoniczność.

R1CbYmKmVwhni

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj punkt $A$ do wyznaczenia wzoru tej funkcji wykładniczej.

Ponieważ na wykresie funkcji $f$ leży punkt $A = (- 3, \frac{1}{125})$ , więc dla argumentu $x = - 3$ funkcja przyjmuje wartość $f (- 3) = \frac{1}{125}$ . Otrzymujemy więc równanie $\frac{1}{125} = a^{- 3}$ , które jest równoważne równaniu $5^{- 3} = a^{- 3}$ . Stąd $a = 5$ , więc wzór funkcji $f$ ma postać $f (x) = 5^{x}$ . Jest to funkcja rosnąca.

Ćwiczenie 20

Na wykresie funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ leży punkt $A = (- 2, 9)$ . Czy na wykresie tej funkcji leży również punkt $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ?

R1Q0DGP7qIuEX

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykorzystaj punkt $A$ do wyznaczenia wzoru tej funkcji wykładniczej. Następnie sprawdż, czy funkcja dla argumentu punktu $B$ przyjmuje jego wartość.

Na wykresie funkcji $f$ leży punkt $A = (- 2, 9)$ . Zatem $9 = a^{- 2}$ . Równanie to jest równoważne równaniu ${(\frac{1}{3})}^{- 2} = a^{- 2}$ . Stąd $a = \frac{1}{3}$ . Rozważaną funkcją jest więc $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ . Żeby sprawdzić, czy punkt $B$ leży na wykresie funkcji $f$ , badamy, czy dla argumentu $x = \frac{1}{2}$ funkcja przyjmuje wartość $\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Mamy $f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , a zatem punkt $B$ również leży na wykresie funkcji $f$ .

Ćwiczenie 21

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej $f (x) = a^{x}$ oraz zaznaczony jest jeden z punktów leżących na tym wykresie. Wyznacz wzór funkcji
$f$ .

R13gJeCUx9mg81

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres malejącej funkcji wykładniczej i zaznaczono na niej zamalowany punkt -1;3. Wykres znajduje w drugiej i w pierwszej ćwiartce, a asymptotą poziomą funkcji jest prosta y=0. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIDjLlvZhKvze

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu zaznaczonego na wykresie: $(- 1, 3)$ . Prawdziwa jest zatem równość $3 = a^{- 1}$ , którą możemy zapisać w postaci ${(\frac{1}{3})}^{- 1} = a^{- 1}$ . Zatem $a = \frac{1}{3}$ , więc $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

Ćwiczenie 22

Wyznacz zbiór wartości funkcji

$f (x) = {(\frac{1}{7})}^{x} + 7$
$f (x) = {(\sqrt{3})}^{- x}$
$f (x) = - {(1,5)}^{x} - 3$
$f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} \cdot \frac{\sqrt{27}}{81} + \frac{1}{3}$

R17iuAqyH3OWE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że wszystkie te funkcje możemy uzyskać poprzez przesunięcie odpowiednich funkcji wykładniczych postaci $g (x) = a^{x}$ . Wykorzystaj fakt, że zbiór wartośći każdej funkcji wykładniczej takiej postaci to $(0, \infty)$ .

Wykres funkcji $f (x) = {(\frac{1}{7})}^{x} + 7$ powstaje po przesunięciu wykresu funkcji $g (x) = {(\frac{1}{7})}^{x}$ o $7$ wzdłuż osi $Y$ . Ponieważ zbiorem wartości funkcji $g$ jest zbiór $(0, + \infty)$ , więc zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $(7, + \infty)$ .
Wykres funkcji $f (x) = {(\sqrt{3})}^{- x}$ jest symetryczny do wykresu funkcji $g (x) = {(\sqrt{3})}^{x}$ względem osi $Y$ , zatem funkcja $f$ ma taki sam zbiór wartości jak funkcja $g$ , a więc przedział $(0, + \infty)$ .
Zauważmy, że aby narysować wykres funkcji $f (x) = - {(1,5)}^{x} - 3$ , najpierw rysujemy wykres funkcji $g (x) = {(1,5)}^{x}$ , której zbiorem wartości jest przedział $(0, + \infty)$ . Następnie rysujemy wykres symetryczny do wykresu funkcji $g$ względem osi $X$ . W ten sposób otrzymujemy wykres funkcji $h (x) = - {(1,5)}^{x}$ , której zbiorem wartości jest przedział $(- \infty, 0)$ . Teraz przesuwamy wykres funkcji $h$ o $(- 3)$ wzdłuż osi $Y$ , żeby otrzymać wykres funkcji $f$ . Zatem zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $(- \infty, - 3)$ .
Najpierw przekształcamy wzór funkcji $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} \cdot \frac{\sqrt{27}}{81} + \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{x} \cdot \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^{4}} + \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{x} \cdot 3^{- \frac{5}{2}} + \frac{1}{3} =$ $= {(\frac{1}{3})}^{x} \cdot {(\frac{1}{3})}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} = {(\frac{1}{3})}^{x + \frac{5}{2}} + \frac{1}{3}$ . Wynika stąd, że wykres funkcji $f$ otrzymamy, przesuwając wykres funkcji $g (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ o $(- \frac{5}{2})$ wzdłuż osi $X$ . Następnie otrzymany wykres funkcji ${h (x) = (\frac{1}{3})}^{x + \frac{5}{2}}$ przesuwamy o $\frac{1}{3}$ wzdłuż osi $Y$ . W ten sposób otrzymujemy wykres funkcji $f$ . Funkcje $g$ i $h$ mają ten sam zbiór wartości $(0, + \infty)$ . Zbiorem wartości funkcji $f$ jest więc przedział $(\frac{1}{3}, + \infty)$ .

Ćwiczenie 23

Rsf5Y6ItIJGeE

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rd5EeX03YuZQ2

Mając podane wzory opisujące poszczególne funkcje, podaj wybrane punkty należące do ich wykresów.
Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości zaproponowanych punktów. Ułamki zapisuj z ukośnikiem, np.

1 / 2

i podawaj w formie skróconej.

f (x) = {(1,5)}^{x}

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

{g (x) = (0,7)}^{x}

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

h (x) = - {(0,8)}^{x}

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

k (x) = - 2^{x}

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

s (x) = {(0,5)}^{x} - 2

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

t (x) = {(0,6)}^{x} + 2

f (0) =

Tu uzupełnij,

f (- 1) =

Tu uzupełnij

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

R1Zdeccz3zX7T

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja ${f (x) = (\frac{1}{4})}^{x}$ jest malejąca, zatem w przedziale $〈- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}〉$ najmniejszą wartość przyjmuje dla największego argumentu, czyli dla $x = \frac{3}{2}$ , a największą dla najmniejszego, czyli dla $x = - \frac{1}{2}$ . Mamy więc wartość najmniejszą $f (\frac{3}{2}) = {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}} = {({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ oraz wartość największą $f (- \frac{1}{2}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2$ .

Ćwiczenie 25

RSJUEJfOQtAwi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykresy funkcji $f$ , $g$ , $h$ przecinają oś $Y$ odpowiednio w punktach $F = (0, \sqrt{2} - 1)$ , $G = (0, - \frac{3}{2})$ , $H = (0, 1 + \sqrt{6})$ . Odległości tych punktów od punktu $O = (0, 0)$ są równe odpowiednio $|O F| = \sqrt{2} - 1 \approx 0,4142$ , $|O G| = \frac{3}{2} = 1,5$ , $|O H| = 1 + \sqrt{6} \approx 3,4495$ . Zatem najdalej od punktu $O$ leży punkt $H$ przecięcia wykresu funkcji $h$ z osią $Y$ .

Ćwiczenie 26

RxGFQ8YjFOAwD

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy $\frac{f (x + 2)}{f (x - 2)} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{x + 2}}{{(\frac{2}{3})}^{x - 2}} = {(\frac{2}{3})}^{x + 2 - (x - 2)} = {(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{16}{81}$ .

Ćwiczenie 27

R1DCtmDyBqwfP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Funkcja $f (x) = {(0,9)}^{x}$ jest malejąca, ponieważ $a = 0,9 \in (0, 1)$ . Ustawiamy w kolejności malejącej wykładniki potęg, a więc argumenty funkcji $f$ : $10 > 3 π > π > 3$ . Zatem wartości funkcji dla tych argumentów będą w porządku przeciwnym, czyli ${(0,9)}^{10} < {(0,9)}^{3 π} < {(0,9)}^{π} < {(0,9)}^{3}$ .

Ćwiczenie 28

RoYn1XOQrGLJq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ funkcja $f$ jest różnowartościowa, więc taki argument będzie tylko jeden. Szukamy takiego argumentu $x$ , dla którego $f (x) = \frac{1}{9}$ , czyli ${(\sqrt{3})}^{x} = \frac{1}{9}$ .

Równanie to jest równoważne równaniu ${(\sqrt{3})}^{x} = {(\sqrt{3})}^{- 4}$ .

Stąd $x = - 4$ .

Ćwiczenie 29

Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja $g (x) = {(\frac{2}{3})}^{x}$ .

R1e4kqQqvbPFB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Narysujmy wykresy obu funkcji.

R1JYATXs3DL641

Zauważmy, że funkcja $f$ jest rosnąca, a funkcja $g$ jest malejąca. Wykresy obu tych funkcji przecinają oś $Y$ w tym samym punkcie $(0, 1)$ . Wynika stąd, że dla każdego argumentu $x < 0$ wartość funkcji $f$ jest mniejsza od wartości funkcji $g$ . Dla żadnego nieujemnego argumentu już tak nie jest.