Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
Wiedzę na temat potęg o wykładnikach naturalnych, całkowitych i wymiernych, uzupełnimy krótką informacją o potędze o wykładniku niewymiernym.
Zakładamy, że podstawa jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, wykładnik jest dowolną liczbą niewymierną, na przykład , .
Potęga jest liczbą, której przybliżenie możemy znaleźć, przyjmując przybliżenie wymierne wykładnika i ewentualnie podstawy . Oczywiste jest, że im lepsze przybliżenie wykładnika i podstawy, tym dokładniejszą wartość wymierną potęgi otrzymamy. Na przykład:
Korzystając z kalkulatora, otrzymamy:
Możemy teraz przyjąć, że wyrażenie jest dobrze określone dla każdej liczby rzeczywistej i każdej podstawy .
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej wzorem , gdzie jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od .
Warunek występujący w tej definicji, dotyczący podstawy , wynika z tego, że jedynie dla możemy jednoznacznie określić funkcję dla każdej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że dla funkcja nie byłaby określona dla każdej liczby rzeczywistej, np. nie dałoby się obliczyć , gdyż oznaczałoby to konieczność obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, a taki nie istnieje. Dla nie można określić funkcji dla żadnej liczby niedodatniej. Z innego powodu zakładamy, że . Dla funkcja jest, co prawda, określona dla każdej liczby rzeczywistej , ale wówczas jest to funkcja stała
Funkcji nie będziemy uznawać za funkcję wykładniczą, gdyż ma ona inne własności niż każda z funkcji wykładniczych.
Zapoznaj się z poniższym apletem przedstawiającym przykłady różnych funkcji wykładniczych. Odczytaj z rysunku współrzędne punktów i wpisz w luki ich wartości.
Uzupełnij luki, wpisując odpowiednie wartości lub argumenty podanych funkcji. Podaj punkty przecięcia wykresu z wybraną osią i określ jej monotoniczność.
Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej wzorem
W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.
.
Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczone wartości funkcji .
Zastanówmy się, jak funkcja będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na przykład
Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie współrzędnych punktu , który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniejszych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bardzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego ujemnego argumentu.
Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji zbliża się do osi , czyli do prostej o równaniu . Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.
Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te, które znaleźliśmy i dowolne inne, które moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej . Krzywą taką nazywamy krzywą wykładniczą albo eksponencjalną.
Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych
w przypadku, gdy .
Wykres funkcji wykładniczej o podstawie jest krzywą leżącą w drugiej i w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, której asymptotą jest pozioma prosta . Do krzywej należy punkt charakterystyczny . Im podstawa jest większa, tym część krzywej leżąca w pierwszej ćwiartce jest bardziej zbliżona do poziomu (czyli im większa podstawa, tym funkcja szybciej rośnie). Przeanalizujemy kilka wykresów funkcji wykładniczej oraz znajdziemy punkty do niej należące.
Weźmy funkcję określoną wzorem . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty , , , ,, , . Mamy:
, , ,, , , .
Zatem do wykresu fukcji należą między innymi następujące punkty:
, , , , , , .
Weźmy teraz funkcję określoną wzorem . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty , , , , , , . Mamy:
, , ,, , , .
Zatem do wykresu funkcji należą między innymi następujące punkty: , , , , , , .
Weźmy teraz funkcję określoną wzorem . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty , , , , , , . Mamy:
, , ,, , , .
Zatem do wykresu funkcji należą między innymi następujące punkty: , , , , , , .
Weźmy teraz funkcję określoną wzorem . Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu tej funkcji. Weźmy argumenty , , , , , , . Mamy:
, , ,, , , .
Zatem do wykresu funkcji należą między innymi następujące punkty: , , , , , , .
Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią . Zatem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny punkt. Jest to punkt o współrzędnych , w którym wykres każdej z tych funkcji przecina oś . Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby mamy .
Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej wzorem . Korzystając z własności potęg, wzór funkcji możemy zapisać w postaci
To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji w symetrii osiowej względem osi .
Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji , gdzie . Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią , więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś w punkcie . Jednak każda z takich funkcji jest malejąca.
Zapoznaj się z poniższym filmem, który pokazuje jak wyglądają zbiory wartości dwóch wskazanych funkcji wykładniczych.
Zapoznaj się z poniższym filmem, który pokazuje, że wykresy dwóch funkcji wykładniczych o odwrotnych podstawach są symetryczne względem osi .
Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy.
Własności funkcji wykładniczej
Każda funkcja wykładnicza ma następujące własności:
dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości jest przedział ,
asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu ,
nie ma miejsc zerowych,
jest monotoniczna, przy czym gdy , to funkcja jest rosnąca, a gdy , to funkcja jest malejąca,
jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,
wykres funkcji przecina oś w punkcie .
Omówimy teraz przesunięcia wykresów funkcji wykładniczych wzdłuż osi układu współrzędnych. Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej o wzdłuż osi , to otrzymamy wykres funkcji o wzorze . Przypomnijmy, że przesunięcie o np. oznacza przesunięcie wykresu w lewo o jednostki.
Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej o wzdłuż osi , to otrzymamy wykres funkcji o wzorze . W tym przypadku przesunięcie o np. oznacza przesunięcie wykresu w dół o jednostki. Asymptotą wykresu funkcji jest teraz prosta o równaniu .
Przesuniemy wykres funkcji o wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.
Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji oraz zapiszemy jej wzór.
Przesuwając wykres funkcji o wzdłuż osi , otrzymujemy wykres funkcji .
RN5frTyF9htig1 Po przesunięciu wykresu funkcji o wzdłuż osi otrzymujemy wykres funkcji o wzorze .
R16qoHTLKxPrA1 Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej o wzdłuż osi otrzymamy wykres funkcji . Ponieważ zbiorem wartości funkcji jest przedział , więc można narysować także prostą o równaniu , która jest asymptotą wykresu funkcji . Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.
R19gxZzIOFgzD1 Przesunięcie o wzdłuż osi oznacza przesunięcie wykresu w dół o jednostki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać , a asymptotą jej wykresu jest prosta
.Rw0tq6tS0BHTt1
Narysuj wykres funkcji . Podaj wzór funkcji wykładniczej , której wykres przesunęliśmy tak, aby otrzymać wykres funkcji . O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wykonaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji przetnie osie i ?
Rozwiązanie
Wykres funkcji to wykres funkcji przesunięty o wzdłuż osi .
RodZEo07T8vQ51 Obliczając wartość funkcji dla argumentu , znajdujemy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji z osią . Mamy
.Zatem szukanym punktem jest . Cały wykres leży nad osią , więc nie ma punktów wspólnych z tą osią.
Wzór funkcji możemy zapisać w postaci . Jej wykres powstaje zatem przez przesunięcie wykresu funkcji o wzdłuż osi , czyli o jednostki w lewo.
R1LjaUS45xeFs1 Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią , obliczamy wartość funkcji dla argumentu , czyli
.Zatem wykres przecina tę oś w punkcie . Z osią wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią.
Wykres funkcji jest wykresem funkcji przesuniętym o wzdłuż osi .
RFGWs9G7PNpIx1 , zatem punktem przecięcia wykresu funkcji z osią jest punkt . Cały wykres leży nad osią , zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.
Wykres funkcji powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji o wzdłuż osi .
RWoE773Ji4jNH1 Ponieważ wykres funkcji przecina oś w punkcie , więc punktem przecięcia funkcji z osią jest punkt . Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z osią , obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość , czyli . Stąd czyli
.Zatem . Punkt przecięcia z osią to punkt .
Zapoznaj się z poniższym apletem przedstawiającym przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej. Zwróć uwagę, jak przekształcanie wykresu wpływa na wzór funkcji.
Na przykładzie funkcji opiszemy symetryczne przekształcenia funkcji wykładniczej względem osi , względem osi oraz przesunięcia wykresu wzdłuż każdej z osi.
Wykres funkcji jest nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i pierwszej ćwiartce układu. Jest to funkcja rosnąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem . Funkcja przyjmuje więc tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji wypłaszcza się w minus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów większych od minus dwóch funkcja zaczyna bardzo szybko rosnąć, a w pierwszej ćwiartce jest niemal pionowa. Przykładowe punkty należące do wykresu funkcji to: , , , , . W kolejnych przekształceniach będziemy odnosić się do tych punktów, aby dokładniej przedstawić przekształcenia wykresu funkcji. Przesunięte punkty będziemy indeksować od nazwy nowej przesuniętej lub przekształconej funkcji.
Symetria względem osi
Przekształcenie wykresu funkcji względem poziomej osi układu jest następujące: . Wykres funkcji jest nieskończonym łukiem znajdującym się w trzeciej i czwartej ćwiartce układu. Jest to funkcja malejąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem . Funkcja przyjmuje więc tylko wartości ujemne. Wykres funkcji wypłaszcza się w minus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów większych od minus dwóch funkcja zaczyna bardzo szybko maleć, a w czwartej ćwiartce jest niemal pionowa. Prześledzimy teraz przekształcenie przykładowych punktów: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Symetria względem osi
Przekształcenie wykresu funkcji względem poziomej osi układu jest następujące: . Wykres funkcji jest nieskończonym łukiem znajdującym się w drugiej i pierwszej ćwiartce układu. Jest to funkcja malejąca, której asymptotą poziomą jest prosta określona wzorem . Funkcja przyjmuje więc tylko wartości dodatnie. Wykres funkcji wypłaszcza się w plus nieskończoności do asymptoty, wybrzusza się w kierunku początku układu współrzędnych i dla argumentów mniejszych od minus dwóch funkcja bardzo szybko maleje, w drugiej ćwiartce jest niemal pionowa, a w pierwszej niemal pozioma. Prześledzimy teraz przekształcenie przykładowych punktów: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt pokrywa się z punktem , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi
W tym przesunięciu wykres funkcji nie zmienia swoich właściwości: funkcję przesuwamy tylko w lewo lub w prawo wzdłuż poziomej osi. Tak przekształcony wykres nadal znajduje się w drugiej w pierwszej ćwiartce, nadal jest to funkcja rosnąca o wartościach dodatnich i o poziomej asymptocie . Podamy dwa przykłady takich przesunięć - jeden w lewo i jeden w prawo.
Przesunięcie funkcji wykładniczej w lewo o sześć jednostek:
Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż poziomej osi układu jest następujące: . Wykres funkcji przedstawimy za pomocą przesunięcia wybranych wcześniej przykładowych punktów o wektor . Przesunięcie punktów jest następujące: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Przesunięcie funkcji wykładniczej w prawo o trzy jednostki:
Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż poziomej osi układu jest następujące: . Wykres funkcji przedstawimy za pomocą przesunięcia wybranych wcześniej przykładowych punktów o wektor . Przesunięcie punktów jest następujące: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Przesunięcie wykresu funkcji wykładniczej wzdłuż osi
W tym przesunięciu wykres funkcji zmienia niektóre swoje właściwości: funkcję przesuwamy tylko w górę lub w dół wzdłuż pionowej osi. Tak przekształcony wykres nadal reprezentuje funkcję rosnącą, jednak zmienia się jego położenie w układzie. Jeśli przesuniemy wykres wyżej, to nadal będzie on w drugiej i w pierwszej ćwiartce i będzie przyjmował tylko dodatnie wartości, jednak jeśli przesuniemy wykres w dół, będzie on znajdował się również w trzeciej i w czwartej ćwiartce, a także będzie przyjmował wartości ujemne. W zależności od przesunięcia będzie się również zmieniać asymptota pozioma. Podamy dwa przykłady takich przesunięć - jeden w górę i jeden w dół.
Przesunięcie funkcji wykładniczej w górę o pięć jednostek:
Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż pionowej osi układu jest następujące: . Przesunięcie to oznacza przesunięcie wykresu funkcji o pionowy wektor . Wykres funkcji znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce, funkcja przyjmuje wartości w przedziale , asymptota przesuwa się w górę o pięć jednostek i jest postaci . Przesunięcie wybranych punktów jest następujące: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Przesunięcie funkcji wykładniczej w dół o cztery jednostki:
Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż pionowej osi układu jest następujące: . Przesunięcie to oznacza przesunięcie wykresu funkcji o pionowy wektor . Wykres funkcji znajduje się w trzeciej, czwartej i w pierwszej ćwiartce, funkcja przyjmuje wartości w przedziale , asymptota przesuwa się w dół o cztery jednostki i jest postaci . Przesunięcie wybranych punktów jest następujące: przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , punkt przesuwa się do punktu , a punkt przesuwa się do punktu .
Narysujemy wykres funkcji
Rozwiązanie
Wykres funkcji jest symetryczny względem osi do wykresu funkcji .
R1EhAQuBU1HVs1 Żeby sporządzić wykres funkcji , narysujemy najpierw wykres funkcji . Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi . Jest to wykres funkcji , który z kolei przesuniemy o wzdłuż osi . W ten sposób otrzymamy wykres funkcji .
R11ptGS2PWuJ31
Narysujmy wykres funkcji
Rozwiązanie
Przekształćmy wzór funkcji , korzystając z własności potęgowania.
Zatem, żeby narysować wykres funkcji , przesuwamy wykres funkcji o wzdłuż osi .RvcSanISH6RQz1 Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób . Zatem rysujemy wykres funkcji , a następnie przesuwamy go o wzdłuż osi .
Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej , mając dany punkt leżący na jej wykresie.
Skoro punkt leży na wykresie funkcji , więc dla argumentu funkcja przyjmuje wartość . Mamy więc
Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać , stąd . Zatem wzór funkcji ma postać .
Sprawdzimy, czy punkt leży na wykresie funkcji .
Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu funkcja przyjmie wartość . Ponieważ , więc punkt leży na wykresie funkcji .
Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej w przedziale ?
Funkcja jest rosnąca, ponieważ , a dla funkcja wykładnicza jest rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z przedziału , czyli dla , a największą dla największego argumentu z tego przedziału, czyli dla . Mamy więc wartość najmniejszą oraz wartość największą w przedziale .
Określ monotoniczność funkcji i na tej podstawie porównaj liczby oraz .
Ponieważ , więc funkcja jest malejąca. Zatem dla mniejszego argumentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ , więc .
Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji , dla których wartość funkcji jest
równa ,
większa od ,
co najmniej równa .
Narysujmy wykres funkcji .
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość jest przyjmowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu , dla którego , czyli . Mamy , stąd .
Funkcja jest malejąca, czyli wartości większe od funkcja przyjmuje dla argumentów mniejszych od . Zatem dla .
Wartości co najmniej równe funkcja przyjmuje dla argumentów mniejszych lub równych . Zatem dla .
Funkcja wykładnicza i jej własności Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej Zadania
Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji z osią . Narysuj wykres tej funkcji.
Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji z osią . Opisz jak wygląda wykres tej funkcji.
Narysuj wykres funkcji
Opisz w jaki sposób możemy uzyskać wykres funkcji
Narysuj wykres funkcji
Opisz w jaki sposób możemy uzyskać wykres funkcji
Na wykresie funkcji wykładniczej leży punkt . Wyznacz wzór tej funkcji. Określ jej monotoniczność.
Na wykresie funkcji wykładniczej leży punkt . Czy na wykresie tej funkcji leży również punkt ?
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej oraz zaznaczony jest jeden z punktów leżących na tym wykresie. Wyznacz wzór funkcji
.
Wyznacz zbiór wartości funkcji
Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja .