Galeria zdjęć interaktywnych

Znajomość wzorów redukcyjnych pozwala nam na rozwiązywanie skomplikowanych zadań, w których wartość pewnej funkcji trygonometrycznej zmuszeni jesteśmy traktować jako parametr. Zapoznaj się z poniższą galerią zdjęć interaktywnych, w której przedstawione zostały dwa zadania, w których wykorzystasz wzory redukcyjne do obliczenia wartości zadanych wyrażeń trygonometrycznych. Następnie sprawdź, czy jesteś w stanie powtórzyć prezentowane techniki rozwiązywania zadań.

Polecenie 1

Zapoznając się z galerią zdjęć interaktywnych, spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązywać zamieszczone tam zadania. Następnie porównaj swoje rozwiązanie z proponowanym w medium.

R1FF1r3ydBbuO

Ilustracja pierwsza. Wiedząc, że

\sin 21 ° = m

, oblicz wartość wyrażenia

A

równa się

\cos 741 °

razy

\sin 159 °

odjąć

t g 201 °

. Przyjmując

m = \sin 21 °

, naszym zadaniem jest przedstawienie wyrażenia przy pomocy wartości liczbowych oraz stałej

m

., Argumenty przedstawionych w zadaniu funkcji trygonometrycznych nie należą do znanego nam zbioru wartości kątów, które możemy odczytać z tabel trygonometrycznych. Wykorzystamy więc wzory redukcyjne, by sprowadzić je do wartości, które będziemy w stanie dalej przetwarzać.

RocdfWW8MvJ9q

Ilustracja druga. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych:

\cos 741 °

równa się

\cos 720 ° + 21 °

równa się

\cos 21 °

\sin 159 °

równa się

\sin 180 ° - 21 °

równa się

\sin 21 °

równa się m.

t g 201 °

równa się

t g 180 ° + 21 °

równa się

t g 21 °

. Zauważmy, że jedynie dla funkcji

\sin

udało nam się zapisać wartość wyrażenia przy pomocy

m

. Nie dysponujemy bowiem parametrami opisującymi wartości

tg 21 °

\cos 21 °

, które musimy wyliczyć wykorzystując wartość

\sin 21 °

R537iKSpxJMnX

Ilustracja trzecia. Aby uzależnić wartość

\cos 21 °

od parametru

m

wykorzystamy jedynkę trygonometryczną.,

\sin^{2} 21 ° + \cos^{2} 21 ° = 1

. Przenosimy

\sin^{2} 21 °

na drugą stronę równania. Otrzymujemy

\cos^{2} 21 ° = 1 - \sin^{2} 21 °

. Podstawiamy m kwadrat za

\sin^{2} 21 °

i pierwiastkujemy obustronnie równanie. Otrzymujemy

|\cos 21 °| = \sqrt{1 - m^{2}}

. Zauważmy, że dla

\cos 21 ° > 0

, więc

|\cos 21 °| = \cos 21 °

. Pozwala nam to stwierdzić, że

\cos 21 ° = \sqrt{1 - m^{2}}

Rse6a4YExgTpf

Ilustracja czwarta. Przypomnijmy, że

t g α = \frac{\sin α}{\cos α}

, zatem:

t g 21 ° = \frac{\sin 21 °}{\cos 21 °} = \frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}

. Ponieważ

m = \sin 21 ° < 1

1 - m^{2} \neq 0

, więc fakt, że wyrażenie to pojawia się w mianowniku jest uzasadniony., Wstawiamy obliczone wartości i sprowadzamy obydwa wyrażenia do wspólnego mianownika. Upraszczamy uzyskany ułamek, by otrzymać wynik końcowy.

A = \cos 21 ° \cdot \sin 21 ° - t g 21 ° = \sqrt{1 - m^{2}} \cdot m - \frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}

równa się

\frac{(1 - m^{2}) m - m}{\sqrt{1 - m^{2}}} = \frac{m - m^{3} - m}{\sqrt{1 - m^{2}}} = - \frac{m^{3} \cdot \sqrt{1 - m^{2}}}{1 - m^{2}}

R1AN4HEkrOW75

RN7YYUNb43oUO

Ilustracja szósta. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych:

\sin 1644 ° = \sin (4 \cdot 360 ° + 180 ° + 24 °) = \sin (180 ° + 24 °) = - x

\sin 336 ° = \sin (360 ° - 24 °) = - \sin 24 ° = - x

\sin^{2} 287 ° = \sin^{2} (360 ° - 73 °) = {(- \sin 73 °)}^{2} = \sin^{2} 73 ° = 1 - \cos^{2} 73 ° = 1 - y^{2}

. Korzystając ze wzorów redukcyjnych i opisu stałych

x

y

jesteśmy w stanie wyliczyć wartości pojawiające się w pierwszym ułamku równości opisującej stałą

B

. Przy obliczaniu

\sin^{2} 287 °

wykorzystujemy tożsamość

\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α

, będącą natychmiastową konsekwencją jedynki trygonometrycznej.

R1bOmLRktUsNv

Ilustracja siódma. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych:

\cos^{2} 1007 ° = \cos^{2} (3 \cdot 360 ° - 73 °) = \cos^{2} (360 ° - 73 °) = \cos^{2} 73 ° = y^{2}

\sin (- 204 °) = - \sin 204 ° = - \sin (180 ° + 24 °) = \sin 24 ° = x

t g 793 ° = t g (2 \cdot 360 ° + 73 °) = t g 73 ° = \frac{\sin 73 °}{\cos 73 °} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{y}

. Obliczenie wartości

\sin (- 204 °)

wymagało wykorzystania nieparzystości tejże funkcji. Do obliczenia składnika zawierającego w mianowniku

tg 793 °

wykorzystano jedynkę trygonometryczną oraz tożsamość

\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}

RFh1ZwKk2lbyA

Ilustracja ósma. Wstawiając obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania mamy:

B = \frac{\sin 336 ° \cdot \sin 1644 °}{\sin^{2} 287 °} + \cos^{2} 1007 ° + \frac{2}{t g 793 °} \cdot \sin (- 204 °)

równa się

\frac{(- x) \cdot (- x)}{1 - y^{2}} + y^{2} + 2 \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} \cdot x = \frac{x^{2}}{1 - y^{2}} + y^{2} + 2 \frac{x y}{\sqrt{1 - y^{2}}}

równa się

{(\frac{x}{\sqrt{1 - y^{2}}})}^{2} + 2 \frac{x}{\sqrt{1 - y^{2}}} \cdot y + y^{2} = {(\frac{x}{\sqrt{1 - y^{2}}} + y)}^{2}

. Uzyskane wyrażenie algebraiczne stanowi kwadrat sumy dwóch wyrażeń algebraicznych:

\frac{x}{\sqrt{1 - y^{2}}}

oraz

y

. Pozwala nam to przedstawić końcowy wynik w zwartej formie, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.

Polecenie 2

Naśladując metody zaprezentowane w galerii zdjęć interaktywnych wykonaj poniższe ćwiczenia:

Przyjmując $K = \cos 33 °$ oszacuj wartość wyrażenia $\frac{\sin^{2} (- 213 °)}{tg 393 °}$ .

Wykorzystujemy ponownie jedynkę trygonometryczną i wzory redukcyjne:

$\sin^{2} (- 213 °) = {(- \sin 213 °)}^{2} = {(- \sin (180 ° + 33 °))}^{2} =$

$= \sin^{2} 33 ° = 1 - \cos^{2} 33 ° = 1 - K^{2}$

$\frac{1}{tg 393 °} = \frac{1}{tg (360 ° + 33 °)} = \frac{1}{tg 33 °} = \frac{\cos 33 °}{\sin 33 °} = \frac{K}{\sqrt{1 - K^{2}}}$

Wstawiając te wartości do wyrażenia z treści zadania otrzymujemy wynik:

$\frac{\sin^{2} (- 213 °)}{tg 393 °} = (1 - K^{2}) \cdot \frac{K}{\sqrt{1 - K^{2}}} = K \cdot \sqrt{1 - K^{2}}$ .

Odpowiedź:

$\frac{K}{\sqrt{1 - K^{2}}}$ .

Polecenie 3

Przyjmując $tg 84 ° = p$ i $\cos 18 ° = q$ , wskaż które wyrażenia są równoważne poniższemu:

$Z = tg 444 ° \cdot \frac{\cos^{2} 636 °}{\sin 1884 ° - \sin 984 ° \cos^{2} 84 °} \cdot \sin 84 ° + \cos 198 ° \cdot \sin 1098 °$

a) $p + \frac{\sqrt{1 - q^{2}}}{q}$ ;

b) $\frac{\sqrt{1 - p^{2}}}{1 - p^{2}} - q \sqrt{1 - q^{2}}$ ;

c) $\frac{p^{2}}{\sqrt{1 - p^{2}}} - q \sqrt{1 - q^{2}}$ ;

d) $p^{- 1} - q \sqrt{1 - q^{2}}$ .

Stosując analogiczne metody do omawianych w galerii zdjęć interaktywnych mamy:

$tg 444 ° = tg (360 ° + 84 °) = tg 84 ° = p$ ;

$\cos^{2} 636 ° = \cos^{2} (720 ° - 84 °) = \cos^{2} 84 °$ ;

$\sin 1884 ° = \sin (1800 ° + 84 °) = \sin 84 °$ ;

$\sin 984 ° = \sin (720 ° + 180 ° + 84 °) = - \sin 84 °$ ;

$\cos 198 ° = \cos (180 ° + 18 °) = - \cos 18 ° = - q$ ;

$\sin 1098 ° = \sin (1080 ° + 18 °) = \sin 18 ° = \sqrt{1 - \cos^{2} 18 °} = \sqrt{1 - q^{2}}$ .

Wstawiając te wartości do wyrażenia z treści zadania otrzymujemy:

$Z = tg 444 ° \cdot \frac{\cos^{2} 636 °}{\sin 1884 ° - \sin 984 ° \cos^{2} 84 °} \cdot \sin 84 ° + \cos 198 ° \cdot \sin 1098 ° =$

$= p \cdot \frac{\cos^{2} 84 °}{\sin 84 ° + \sin 84 ° \cdot \cos^{2} 84 °} \sin 84 ° + (- q) \cdot \sqrt{1 - q^{2}} =$

$= p \cdot \frac{\cos^{2} 84 °}{\sin 84 ° (1 + \cos^{2} 84 °)} \sin 84 ° - q \sqrt{1 - q^{2}} =$

$= p \cdot \frac{\cos^{2} 84 °}{(1 + \cos^{2} 84 °)} - q \sqrt{1 - q^{2}} =$

$= p \cdot \frac{\cos^{2} 84 °}{\sin^{2} 84 °} - q \sqrt{1 - q^{2}} =$

$= \frac{p}{{tg}^{2} 84 °} - q \sqrt{1 - q^{2}} =$

$= \frac{1}{p} - q \sqrt{1 - q^{2}}$

Odpowiedź:

$p^{- 1} - q \sqrt{1 - q^{2}}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się