Znajomość wzorów redukcyjnych pozwala nam na rozwiązywanie skomplikowanych zadań, w których wartość pewnej funkcji trygonometrycznej zmuszeni jesteśmy traktować jako parametr. Zapoznaj się z poniższą galerią zdjęć interaktywnych, w której przedstawione zostały dwa zadania, w których wykorzystasz wzory redukcyjne do obliczenia wartości zadanych wyrażeń trygonometrycznych. Następnie sprawdź, czy jesteś w stanie powtórzyć prezentowane techniki rozwiązywania zadań.
Polecenie 1
Zapoznając się z galerią zdjęć interaktywnych, spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązywać zamieszczone tam zadania. Następnie porównaj swoje rozwiązanie z proponowanym w medium.
Przejdź do poprzedniej ilustracji
Przejdź do następnej ilustracji
R1FF1r3ydBbuO Ilustracja pierwsza. Wiedząc, że sin 21 ° = m , oblicz wartość wyrażenia A równa się cos 741 ° razy sin 159 ° odjąć t g 201 ° .
Przyjmując m = sin 21 ° , naszym zadaniem jest przedstawienie wyrażenia przy pomocy wartości liczbowych oraz stałej m ., Argumenty przedstawionych w zadaniu funkcji trygonometrycznych nie należą do znanego nam zbioru wartości kątów, które możemy odczytać z tabel trygonometrycznych. Wykorzystamy więc wzory redukcyjne, by sprowadzić je do wartości, które będziemy w stanie dalej przetwarzać.
Ilustracja pierwsza. Wiedząc, że sin 21 ° = m , oblicz wartość wyrażenia A równa się cos 741 ° razy sin 159 ° odjąć t g 201 ° .
Przyjmując m = sin 21 ° , naszym zadaniem jest przedstawienie wyrażenia przy pomocy wartości liczbowych oraz stałej m ., Argumenty przedstawionych w zadaniu funkcji trygonometrycznych nie należą do znanego nam zbioru wartości kątów, które możemy odczytać z tabel trygonometrycznych. Wykorzystamy więc wzory redukcyjne, by sprowadzić je do wartości, które będziemy w stanie dalej przetwarzać.
RocdfWW8MvJ9q Ilustracja druga. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: cos 741 ° równa się cos 720 ° + 21 ° równa się cos 21 ° . sin 159 ° równa się sin 180 ° - 21 ° równa się sin 21 ° równa się m. t g 201 ° równa się t g 180 ° + 21 ° równa się t g 21 ° . Zauważmy, że jedynie dla funkcji sin udało nam się zapisać wartość wyrażenia przy pomocy m . Nie dysponujemy bowiem parametrami opisującymi wartości tg 21 ° i cos 21 ° , które musimy wyliczyć wykorzystując wartość sin 21 ° .
Ilustracja druga. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: cos 741 ° równa się cos 720 ° + 21 ° równa się cos 21 ° . sin 159 ° równa się sin 180 ° - 21 ° równa się sin 21 ° równa się m. t g 201 ° równa się t g 180 ° + 21 ° równa się t g 21 ° . Zauważmy, że jedynie dla funkcji sin udało nam się zapisać wartość wyrażenia przy pomocy m . Nie dysponujemy bowiem parametrami opisującymi wartości tg 21 ° i cos 21 ° , które musimy wyliczyć wykorzystując wartość sin 21 ° .
R537iKSpxJMnX Ilustracja trzecia. Aby uzależnić wartość cos 21 ° od parametru m wykorzystamy jedynkę trygonometryczną., sin 2 21 ° + cos 2 21 ° = 1 . Przenosimy sin 2 21 ° na drugą stronę równania. Otrzymujemycos 2 21 ° = 1 - sin 2 21 ° . Podstawiamy m kwadrat za sin 2 21 ° i pierwiastkujemy obustronnie równanie. Otrzymujemycos 21 ° = 1 - m 2 . Zauważmy, że dla cos 21 ° > 0 , więc cos 21 ° = cos 21 ° . Pozwala nam to stwierdzić, że cos 21 ° = 1 - m 2 .
Ilustracja trzecia. Aby uzależnić wartość cos 21 ° od parametru m wykorzystamy jedynkę trygonometryczną., sin 2 21 ° + cos 2 21 ° = 1 . Przenosimy sin 2 21 ° na drugą stronę równania. Otrzymujemycos 2 21 ° = 1 - sin 2 21 ° . Podstawiamy m kwadrat za sin 2 21 ° i pierwiastkujemy obustronnie równanie. Otrzymujemycos 21 ° = 1 - m 2 . Zauważmy, że dla cos 21 ° > 0 , więc cos 21 ° = cos 21 ° . Pozwala nam to stwierdzić, że cos 21 ° = 1 - m 2 .
Rse6a4YExgTpf Ilustracja czwarta. Przypomnijmy, że t g α = sin α cos α , zatem: t g 21 ° = sin 21 ° cos 21 ° = m 1 - m 2 . Ponieważ m = sin 21 ° < 1 , 1 - m 2 ≠ 0 , więc fakt, że wyrażenie to pojawia się w mianowniku jest uzasadniony., Wstawiamy obliczone wartości i sprowadzamy obydwa wyrażenia do wspólnego mianownika. Upraszczamy uzyskany ułamek, by otrzymać wynik końcowy. A = cos 21 ° · sin 21 ° - t g 21 ° = 1 - m 2 · m - m 1 - m 2 równa się 1 - m 2 m - m 1 - m 2 = m - m 3 - m 1 - m 2 = - m 3 · 1 - m 2 1 - m 2 .
Ilustracja czwarta. Przypomnijmy, że t g α = sin α cos α , zatem: t g 21 ° = sin 21 ° cos 21 ° = m 1 - m 2 . Ponieważ m = sin 21 ° < 1 , 1 - m 2 ≠ 0 , więc fakt, że wyrażenie to pojawia się w mianowniku jest uzasadniony., Wstawiamy obliczone wartości i sprowadzamy obydwa wyrażenia do wspólnego mianownika. Upraszczamy uzyskany ułamek, by otrzymać wynik końcowy. A = cos 21 ° · sin 21 ° - t g 21 ° = 1 - m 2 · m - m 1 - m 2 równa się 1 - m 2 m - m 1 - m 2 = m - m 3 - m 1 - m 2 = - m 3 · 1 - m 2 1 - m 2 .
R1AN4HEkrOW75 Ilustracja piąta. Przyjmując sin 24 ° = x oraz cos 73 ° = y , naszym zadaniem jest przedstawienie wyrażenia B = sin 336 ° · sin 1644 ° sin 2 287 ° + cos 2 1007 ° + 2 t g 793 ° · sin - 204 ° przy pomocy wartości liczbowych oraz stałych x i y .
Ilustracja piąta. Przyjmując sin 24 ° = x oraz cos 73 ° = y , naszym zadaniem jest przedstawienie wyrażenia B = sin 336 ° · sin 1644 ° sin 2 287 ° + cos 2 1007 ° + 2 t g 793 ° · sin - 204 ° przy pomocy wartości liczbowych oraz stałych x i y .
RN7YYUNb43oUO Ilustracja szósta. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: sin 1644 ° = sin 4 · 360 ° + 180 ° + 24 ° = sin 180 ° + 24 ° = - x . sin 336 ° = sin 360 ° - 24 ° = - sin 24 ° = - x . sin 2 287 ° = sin 2 360 ° - 73 ° = - sin 73 ° 2 = sin 2 73 ° = 1 - cos 2 73 ° = 1 - y 2 . Korzystając ze wzorów redukcyjnych i opisu stałych x , y jesteśmy w stanie wyliczyć wartości pojawiające się w pierwszym ułamku równości opisującej stałą B . Przy obliczaniu sin 2 287 ° wykorzystujemy tożsamość sin 2 α = 1 - cos 2 α , będącą natychmiastową konsekwencją jedynki trygonometrycznej.
Ilustracja szósta. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: sin 1644 ° = sin 4 · 360 ° + 180 ° + 24 ° = sin 180 ° + 24 ° = - x . sin 336 ° = sin 360 ° - 24 ° = - sin 24 ° = - x . sin 2 287 ° = sin 2 360 ° - 73 ° = - sin 73 ° 2 = sin 2 73 ° = 1 - cos 2 73 ° = 1 - y 2 . Korzystając ze wzorów redukcyjnych i opisu stałych x , y jesteśmy w stanie wyliczyć wartości pojawiające się w pierwszym ułamku równości opisującej stałą B . Przy obliczaniu sin 2 287 ° wykorzystujemy tożsamość sin 2 α = 1 - cos 2 α , będącą natychmiastową konsekwencją jedynki trygonometrycznej.
R1bOmLRktUsNv Ilustracja siódma. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: cos 2 1007 ° = cos 2 3 · 360 ° - 73 ° = cos 2 360 ° - 73 ° = cos 2 73 ° = y 2 . sin - 204 ° = - sin 204 ° = - sin 180 ° + 24 ° = sin 24 ° = x . t g 793 ° = t g 2 · 360 ° + 73 ° = t g 73 ° = sin 73 ° cos 73 ° = 1 - y 2 y . Obliczenie wartości sin - 204 ° wymagało wykorzystania nieparzystości tejże funkcji. Do obliczenia składnika zawierającego w mianowniku tg 793 ° wykorzystano jedynkę trygonometryczną oraz tożsamość 1 tg α = cos α sin α .
Ilustracja siódma. Obliczamy wartości występujących w zadaniu funkcji trygonometrycznych: cos 2 1007 ° = cos 2 3 · 360 ° - 73 ° = cos 2 360 ° - 73 ° = cos 2 73 ° = y 2 . sin - 204 ° = - sin 204 ° = - sin 180 ° + 24 ° = sin 24 ° = x . t g 793 ° = t g 2 · 360 ° + 73 ° = t g 73 ° = sin 73 ° cos 73 ° = 1 - y 2 y . Obliczenie wartości sin - 204 ° wymagało wykorzystania nieparzystości tejże funkcji. Do obliczenia składnika zawierającego w mianowniku tg 793 ° wykorzystano jedynkę trygonometryczną oraz tożsamość 1 tg α = cos α sin α .
RFh1ZwKk2lbyA Ilustracja ósma. Wstawiając obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania mamy: B = sin 336 ° · sin 1644 ° sin 2 287 ° + cos 2 1007 ° + 2 t g 793 ° · sin - 204 ° równa się - x · - x 1 - y 2 + y 2 + 2 y 1 - y 2 · x = x 2 1 - y 2 + y 2 + 2 x y 1 - y 2 równa się x 1 - y 2 2 + 2 x 1 - y 2 · y + y 2 = x 1 - y 2 + y 2 . Uzyskane wyrażenie algebraiczne stanowi kwadrat sumy dwóch wyrażeń algebraicznych: x 1 - y 2 oraz y . Pozwala nam to przedstawić końcowy wynik w zwartej formie, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.
Ilustracja ósma. Wstawiając obliczone wartości do wyrażenia z treści zadania mamy: B = sin 336 ° · sin 1644 ° sin 2 287 ° + cos 2 1007 ° + 2 t g 793 ° · sin - 204 ° równa się - x · - x 1 - y 2 + y 2 + 2 y 1 - y 2 · x = x 2 1 - y 2 + y 2 + 2 x y 1 - y 2 równa się x 1 - y 2 2 + 2 x 1 - y 2 · y + y 2 = x 1 - y 2 + y 2 . Uzyskane wyrażenie algebraiczne stanowi kwadrat sumy dwóch wyrażeń algebraicznych: x 1 - y 2 oraz y . Pozwala nam to przedstawić końcowy wynik w zwartej formie, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.
Polecenie 2
Naśladując metody zaprezentowane w galerii zdjęć interaktywnych wykonaj poniższe ćwiczenia:
Przyjmując K = cos 33 ° oszacuj wartość wyrażenia sin 2 - 213 ° tg 393 ° .
Pokaż odpowiedź Wykorzystujemy ponownie jedynkę trygonometryczną i wzory redukcyjne:
sin 2 - 213 ° = - sin 213 ° 2 = - sin 180 ° + 33 ° 2 =
= sin 2 33 ° = 1 - cos 2 33 ° = 1 - K 2
1 tg 393 ° = 1 tg 360 ° + 33 ° = 1 tg 33 ° = cos 33 ° sin 33 ° = K 1 - K 2
Wstawiając te wartości do wyrażenia z treści zadania otrzymujemy wynik:
sin 2 - 213 ° tg 393 ° = 1 - K 2 · K 1 - K 2 = K · 1 - K 2 .
Odpowiedź:
K 1 - K 2 .
Polecenie 3
Przyjmując tg 84 ° = p i cos 18 ° = q , wskaż które wyrażenia są równoważne poniższemu:
Z = tg 444 ° · cos 2 636 ° sin 1884 ° - sin 984 ° cos 2 84 ° · sin 84 ° + cos 198 ° · sin 1098 °
a) p + 1 - q 2 q ;
b) 1 - p 2 1 - p 2 - q 1 - q 2 ;
c) p 2 1 - p 2 - q 1 - q 2 ;
d) p - 1 - q 1 - q 2 .
Pokaż odpowiedź Stosując analogiczne metody do omawianych w galerii zdjęć interaktywnych mamy:
Wstawiając te wartości do wyrażenia z treści zadania otrzymujemy:
Z = tg 444 ° · cos 2 636 ° sin 1884 ° - sin 984 ° cos 2 84 ° · sin 84 ° + cos 198 ° · sin 1098 ° =
= p · cos 2 84 ° sin 84 ° + sin 84 ° · cos 2 84 ° sin 84 ° + - q · 1 - q 2 =
= p · cos 2 84 ° sin 84 ° 1 + cos 2 84 ° sin 84 ° - q 1 - q 2 =
= p · cos 2 84 ° 1 + cos 2 84 ° - q 1 - q 2 =
= p · cos 2 84 ° sin 2 84 ° - q 1 - q 2 =
= p tg 2 84 ° - q 1 - q 2 =
= 1 p - q 1 - q 2
Odpowiedź:
p - 1 - q 1 - q 2 .