Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami w galerii zdjęć interaktywnych i na ich podstawie wykonaj polecenia poniżej.

R1OFosYK1ZbQz

Ilustracja interaktywna numer jeden. W trójkącie równoramiennym stosunek długości podstawy do długości ramienia wynosi dwa do trzech. Wyraź pole tego trójkąta jako funkcję zależną od długości podstawy. W pierwszym kroku rysujemy trójkąt i wprowadzamy stosowne oznaczenia. Należy zauważyć, że wygodniej jest prowadzić obliczenia, gdy długość podstawy oznaczymy przez

2 a

. Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, gdzie ramiona mają długość trzy a, natomiast podstawa ma długość dwa a. Na rysunku zaznaczono także wysokość o długości h, upuszczoną na podstawę trójkąta.

RgTG42IxXuVXd

RiJsPN5isL7Ia

RHanJGiASfjvH

Ilustracja interaktywna numer cztery. Przykład drugi. Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od podstawy. Suma długości promienia okręgu opisanego i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi pierwiastek z piętnastu. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. Zaczynamy od rysunku i wprowadzamy stosowne oznaczenia. Należy zauważyć, że wygodniej jest prowadzić obliczenia, gdy długość podstawy oznaczymy przez

2 x

. Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, gdzie ramiona mają długość cztery x, natomiast podstawa ma długość dwa x. Na rysunku zaznaczono także wysokość upuszczoną na podstawę o długości h.

R10lNjG2HOjO6

R196Z6eX74IFR

Ilustracja interaktywna numer sześć.

P = \frac{1}{2} \cdot (2 x) \cdot x \sqrt{15} = x^{2} \sqrt{15}

. Lewa strona

P = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

oraz prawa strona

P = \frac{a b c}{4 R}

. Następnie podstawiamy

P = x^{2} \sqrt{15}

do wzorów na pole trójkąta zawierających informacje o promieniu okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt. Lewa strona,

x^{2} \sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 10 x

r = \frac{x \sqrt{15}}{5}

. Prawa strona,

x^{2} \sqrt{15} = \frac{32 x^{2}}{4 R}

R = \frac{8 x \sqrt{15}}{15}

\frac{x \sqrt{15}}{5} + \frac{8 x \sqrt{15}}{15} = \sqrt{15}

\frac{x}{5} + \frac{8 x}{15} = 1

x = \frac{15}{11}

. Zatem podstawa tego trójkąta ma długość

2 x = \frac{30}{11}

Polecenie 2

Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego, w którym stosunek długości podstawy do długości ramienia wynosi $2 : 3$ , jeśli pole trójkąta równoramiennego wynosi $\sqrt{20}$ .

Korzystamy ze wzoru otrzymanego w Przykładzie $1$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych, czyli:

$x$ – długość podstawy

$P = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

wstawiając znane pole otrzymujemy

$20 = \frac{x^{2} \sqrt{2}}{2}$ ,

stąd

$40 = x^{2} \sqrt{2}$ ,

dzieląc obie strony przez $\sqrt{2}$ i usuwając niewymierność otrzymujemy

$x^{2} = 20 \sqrt{2}$ .

Następnie pierwiastkując obie strony otrzymujemy rozwiązanie:

$x = \sqrt{20 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \sqrt[4]{2}$ .

Polecenie 3

Oblicz pole oraz długość ramienia i podstawy w trójkącie równoramiennym, w którym ramię jest dwa razy dłuższe od podstawy, jeśli suma długości promienia okręgu opisanego i długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi $\sqrt{30}$ .

Wykorzystamy otrzymane w przykładzie $2$ przedstawionym w galerii zdjęć interaktywnych równania

$r = \frac{x \sqrt{15}}{5}$

oraz

$R = \frac{8 x \sqrt{15}}{15}$ .

Stąd podstawiając dane z polecenia mamy

$\frac{x \sqrt{15}}{5} + \frac{8 x \sqrt{15}}{15} = \sqrt{30}$ .

Mnożąc obie strony przez $15$ i dzieląc przez $\sqrt{15}$ otrzymujemy

$3 x + 8 x = 15 \sqrt{2}$ .

Stąd

$x = \frac{15 \sqrt{2}}{11}$ .

Ostatecznie

$P = x^{2} \sqrt{15} = \frac{450}{121} \sqrt{15}$ ,

natomiast długość podstawy i ramienia wynoszą odpowiednio $2 x$ i $4 x$ , czyli $\frac{30 \sqrt{2}}{11}$ i $\frac{60 \sqrt{2}}{11}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się