Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1SztmwCfNWMT

R14vJq9XUi7MZ

Uzupełnij luki odpowiednimi oznaczeniami. W trójkącie

A B C

zaznaczono nazwy boków, kąty oraz poprowadzono wysokości.
Bok 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

znajduje się na przeciwko wierzchołka

A

.
Bok 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

znajduje się na przeciwko wierzchołka

B

.
Bok 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

znajduje się na przeciwko wierzchołka

C

.
Wysokość upuszczoną na bok

a

oznaczamy 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

.
Wysokość upuszczoną na bok

b

oznaczamy 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

.
Wysokość upuszczoną na bok

c

oznaczamy 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

.
Kąt przy wierzchołku

A

oznaczamy jako 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

.
Kąt przy wierzchołku

B

oznaczamy jako 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

.
Kąt przy wierzchołku

A

oznaczamy jako 1.

c

, 2.

γ

, 3.

h_{c}

, 4.

b

, 5.

h_{a}

, 6.

h_{b}

, 7.

β

, 8.

α

, 9.

a

RQL8WaFDkR0Be1

Ćwiczenie 2

Połącz w pary wartości pól trójkątów z danymi w trójkącie, gdzie

a

b

c

oznaczają długości boków w trójkącie , a

α

β

γ

oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami w trójkącie.

a = 3

b = 4

γ = 30 °

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 9

, 2.

P = 3

, 3.

P = 6

, 4.

P = 3 \sqrt{7}

, 5.

P = \frac{9}{4} \sqrt{3}

a = 6

b = 4

c = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 9

, 2.

P = 3

, 3.

P = 6

, 4.

P = 3 \sqrt{7}

, 5.

P = \frac{9}{4} \sqrt{3}

a = 3

b = 4

α = 90 °

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 9

, 2.

P = 3

, 3.

P = 6

, 4.

P = 3 \sqrt{7}

, 5.

P = \frac{9}{4} \sqrt{3}

a = 3

α = 60 °

β = 60 °

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 9

, 2.

P = 3

, 3.

P = 6

, 4.

P = 3 \sqrt{7}

, 5.

P = \frac{9}{4} \sqrt{3}

h_{a} = 3

a = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 9

, 2.

P = 3

, 3.

P = 6

, 4.

P = 3 \sqrt{7}

, 5.

P = \frac{9}{4} \sqrt{3}

R60b08GkkrDb11

Ćwiczenie 3

Dopasuj promień okręgu opisanego na trójkącie do danego trójkąta, gdzie

a

b

c

oznaczają długości boków w trójkącie , a

α

β

γ

oznaczają miary kątów pomiędzy ramionami trójkąta.

a = b = c = 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{2}

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{2}

, 4.

1

, 5.

\frac{25}{4}

α = β = γ

a = \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{2}

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{2}

, 4.

1

, 5.

\frac{25}{4}

a = b = 10

c = 12

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{2}

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{2}

, 4.

1

, 5.

\frac{25}{4}

a = 3

β = α = 45 °

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{2}

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{2}

, 4.

1

, 5.

\frac{25}{4}

a = 3

b = 4

c = 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{2}

, 2.

\sqrt{3}

, 3.

\frac{3}{2} \sqrt{2}

, 4.

1

, 5.

\frac{25}{4}

Ćwiczenie 4

Dla danego trójkąta oblicz brakujące wartości, a następnie przenieś je w odpowiednie miejsca.

RBMpFllKkHwQX

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B C z zaznaczonymi kątami alfa oraz gamma. Kąt alfa znajduje się przy wierzchołku A natomiast kąt gamma przy wierzchołku C. Odcinek B C ma długość dwanaście, natomiast odcinek A B ma długość pięć.

R4YB5emcaZU8t

Wstaw podane wartości w odpowiednie miejsca.

$b =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$h_{b} =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$\sin α =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$\sin γ =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$r =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$R =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$
$P =$ 1. $2$ , 2. $30$ , 3. $13$ , 4. $\frac{5}{13}$ , 5. $\frac{60}{13}$ , 6. $\frac{12}{13}$ , 7. $\frac{13}{2}$

RfCYOhWNf87ao2

Ćwiczenie 5

Uszereguj podane opisy trójkątów w kolejności rosnącej względem powierzchni pola. Elementy do uszeregowania: 1.

a = 6

b = 8

c = 10

, gdzie

a

b

c

– długości boków trójkąta., 2. Środkowa w równoramiennym trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego ma długość

6

., 3.

R = 5

α = 30 °

β = 60 °

, gdzie

R

– długość promienia okręgu opisanego na trójkącie,

α

β

– miary jego

2

kątów., 4.

a = b = 5

α = β = 60 °

, gdzie

a

b

– długości boków trójkąta;

α

– miara kąta naprzeciw boku

a

β

– miara kąta naprzeciw boku

b

., 5.

a = b = 61

h_{a} = h_{b} = 11

, gdzie

a

b

– długości boków trójkąta,

h_{a}

– długość wysokości opuszczonej na bok

a

h_{b}

– długość wysokości opuszczonej na bok

b

RGGDYOvMCpEj52

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny o polu $54$ .

RiKEw5gvaqai1

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Obie przyprostokątne wraz z przyprostokątna są średnicami trzech półokręgów.

Podaj pole sumy półkoli.

Oznaczmy przez $x$ długość ramienia, wówczas pole wynosi

$\frac{1}{2} x \cdot x = 54$

czyli

$x = \sqrt{108} = 2 \sqrt{27}$ .

Stąd promienie mniejszych półokręgów wynoszą $r_{1} = r_{2} = \sqrt{27}$ , zaś większego $r_{3} = \sqrt{54}$ .

Ostatecznie obliczamy pola półkoli ze wzoru

$P = \frac{1}{2} π r^{2}$

$P_{1} = P_{2} = \frac{27}{2} π$

$P_{3} = 27 π$

Zatem suma pól półkoli wynosi $54 π$ .

$P = 54 π$ .

Ćwiczenie 8

Jeden z kątów trójkąta prostokątnego o obwodzie $12$ ma miarę $60 °$ . Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli stosunek ramion zawartych w podanym kącie wynosi $1 : 2$ .

Zauważmy, że jeśli stosunek ramion przy kącie $60 °$ wynosi $1 : 2$ , to jest to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $2 x$ i przyprostokątnych $x$ oraz $\sqrt{3} x$ .

Po podstawieniu informacji o obwodzie mamy

$3 x + \sqrt{3} x = 12$ ,

stąd

$x (3 + \sqrt{3}) = 12$

$x = \frac{12}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = 2 (3 - \sqrt{3})$ .

Zaś pole

$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{3} x = \frac{1}{2} \sqrt{3} x^{2} = 2 \sqrt{3} \cdot {(3 - \sqrt{3})}^{2} = 24 \sqrt{3} - 36$

$P = 24 \sqrt{3} - 36$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela