Ilustracja pierwsza. Ciąg $\left(a_n\right)$ określony jest wzorem $a_n=n·\left(\begin{array}{c}n+1\\ n\end{array}\right)-\left(n+4\right)$ dla n większych lub równych jeden. Zbadamy własności tego ciągu. Przekształcamy wzór ciągu. Zapisujemy wzór ciągu w najprostszej postaci. $a_n=n·\frac{\left(n+1\right)!}{n!\left(n+1-n\right)!}-n-4$ Po uproszczeniu ułamka otrzymujemy $a_n=n·\left(n+1\right)-n-4$. Po wymnożeniu nawiasu i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy ostatecznie $a_n=n^2-4$.

Ilustracja druga. Ciąg określony jest wzorem $a_n=n^2-4$ dla n większych lub równych jeden. Znajdziemy dziesiąty wyraz tego ciągu. $a_{10}={10}^2-4$ Obliczamy dalej. $a_{10}=100-4=96$ Dziesiąty wyraz ciągu jest równy $96$.

Ilustracja trzecia. Sprawdzimy, którym wyrazem ciągu zadanego wzorem $a_n=n^2-4$ dla n większych lub równych 1 jest liczba 320 Podstawiamy liczbę 320 do wzoru. $n^2-4=320$ Przyrównujemy obie strony do zera. $n^2-324=0$ Mamy stąd dwa możliwe rozwiązania: $n=-18$ lub $n=18$. Zauważmy, że rozwiązanie $n=-18$ nie spełnia warunków zadania, ponieważ minus 18 nie jest liczbą naturalną. Z kolei liczba $n$ jest liczbą naturalną, zatem tylko jeden wyraz ciągu jest równy $320$. Zatem osiemnasty wyraz ciągu jest równy $320$.

Ilustracja czwarta. Wzór na enty wyraz ciągu jest następujący: $a_n=n^2-4$ dla n większych lub równych jeden. Sprawdzimy, czy liczba 1276 jest wyrazem tego ciągu. Podstawiamy liczbę do wzoru. $n^2-4=1276$ Przyrównujemy obie strony do zera. $n^2-1280=0$ Mamy stąd dwa możliwe rozwiązania: $n=-16\sqrt{5}$ lub $n=16\sqrt{5}$. Zauważmy, że liczba $n=-16\sqrt{5}$ nie spełnia warunków zadania, ponieważ nie jest liczbą naturalną. Liczba $n=16\sqrt{5}$ również nie spełnia warunków zadania z tego samego powodu. Zatem żadna ze znalezionych liczb nie jest liczbą naturalną.
Liczba $1276$ nie jest wyrazem ciągu $\left(a_n\right)$.

Ilustracja piąta. Określimy, czy ciąg $\left(a_n\right)$, który określony jest wzorem $a_n=n^2-4$ dla n większych lub równych jeden, jest ciągiem rosnącym czy malejącym. Fakt ten sprawdzimy, odejmując od siebie dwa wyrazy ciągu. $a_{n+1}-a_n={\left(n-1\right)}^2-4-n^2+4$ Upraszczamy prawą stronę równania, otrzymując $a_{n+1}-a_n=2n+1$. Zauważmy, że otrzymana różnica jest dodatnia. Stąd wniosek, że $a_{n+1}>a_n$ dla każdej liczby naturalnej dodatniej. Zatem ciąg jest rosnący.

Ilustracja szósta. Ustalimy, czy nasz ciąg jest ograniczony. Zapiszmy pierwszy wyraz ciągu. $a_1=1^2-4=-3$ Przypomnijmy, że ciąg jest rosnący, więc najmniejszym wyrazem ciągu jest pierwszy wyraz ciągu. Zatem możemy zapisać, że $a_n\ge -3$ dla każdej liczby naturalnej dodatniej. Zatem ciąg jest ograniczony z dołu na przykład przez liczbę $\left(-3\right)$. Ciąg jest rosnący, zatem jest nieograniczony z góry.
Czyli ciąg $\left(a_n\right)$ jest tylko ograniczony z dołu.