Miara łukowa kąta. Rysunek przedstawia okrąg o promieniu $r$. Wewnątrz okręgu wykreślono ostry kąt środkowy $\alpha$, który wycina z okręgu łuk $l$. 1. Miara łukowa kąta {audio}$\alpha =\frac{l}{r}$,

gdzie:
$l$ - długość łuku,
$r$ - promień okręgu,
$\alpha$ - miara łukowa kąta.

1. Znak miary kąta zależy od jego kierunku {audio} Rysunek składa się z dwóch części. Po lewej stronie znajduje się okrąg, wewnątrz którego wykreślono ostry kąt środkowy $\alpha$, który wycina z okręgu łuk $l$. Na końcu łuku zaznaczono grot strzałki, podkreślając, że kąt biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, czyli w lewo. Rysunek podpisano następująco: $\alpha >0$. Po prawej mamy niemal ten sam rysunek z tą różnicą, że w tym przypadku grot dorysowany na łuku skierowany jest w przeciwną stronę, czyli łuk biegnie zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli w prawo. Rysunek podpisany jest: $\alpha <0$.

Miara łukowa kąta. Ilustracja przedstawia okrąg o promieniu $r$ z narysowaną poziomą średnicą. Na płaszczyźnie wokół środka, w górnej części okręgu zaznaczono kąt półpełny $\alpha$, który wyznacza łuk $l$. 1. Jak wyznaczyć miarę łukową kąta pełnego? {audio}Długość łuku
$l=2\pi r$,gdzie
$r$ - promień okręgu.

Jeżeli
$\alpha =\frac{l}{r}$,to
$\alpha =\frac{2\pi r }{r}=2\pi$.

Miara łukowa kąta prostego. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie wykreślono okrąg o środku w punkcie $\left(0;0\right)$ i promieniu $1$. Na płaszczyźnie wokół środka okręgu zaznaczono kąt prosty $\alpha$, który znajduje się z pierwszej ćwiartce. Kolorem zielonym zaznaczono łuk $l$, który biegnie po okręgu od punktu o współrzędnych $\left(1;0\right)$ do punktu $\left(0;1\right)$. 1. Jak wyznaczyć miarę łukową kąta prostego? {audio}Długość łuku
$l=\frac{1}{4}·2\pi r=\frac{\pi }{2}r$,gdzie
$r$ - promień okręgu.

Jeżeli
$\alpha =\frac{l}{r}$,to
$\alpha =\frac{\frac{\pi }{2}r }{r}=\frac{\pi }{2}$.

Przykład. Jaka jest miara łukowa kąta środkowego w okręgu, jeżeli wiadomo, że długość łuku wyznaczona przez ten kąt stanowi $\frac{5}{4}$ długości promienia okręgu?
Dane: $l=\frac{5}{4}r$ oraz $r$ - promień okręgu.
Rozwiązanie: 1. {audio}Do wyznaczenia miary łukowej kąta wykorzystamy wzór
$\alpha =\frac{l}{r}$,gdzie:
$l$ - długość łuku,
$r$ - promień okręgu,
$\alpha$ - miara łukowa kąta.
Jeżeli $\alpha =\frac{l}{r}$, to $\alpha =\frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}r}{r}=\frac{5}{4}$. Odpowiedź: Miara łukowa teego kąta wynosi $\frac{5}{4}\left(\mathrm{rad}\right)$.