1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Ilustracja głównie przedstawia pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie przedstawiono trójkąt zbudowany z trzech wektorów. Wektor pierwszy to wektor nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. W jego końcu zaczepiony jest wektor nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Trzeci wektor, który domyka trójkąt jest sumą obu wymienionych już wektorów. Jest on zaczepiony w początku pierwszego wektora, a jego koniec pokrywa się z  końcem drugiego wektora. Trzeci wektor jest postaci: nawias kwadratowy, a, plus, c, średnik, b, plus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Na obu osiach zaznaczono rzuty pierwszego i drugiego wektora. Rzuty te również są wektorami. Rzuty pierwszego wektora to: poziomy: nawias kwadratowy, a, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego, pionowy: nawias kwadratowy, zero, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rzuty drugiego wektora to: poziomy: nawias kwadratowy, c, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego, pionowy: nawias kwadratowy, zero, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Na ilustracji obok obu osi narysowano klamry zamykające oba rzuty na każdej osi. Pod klamrami zapisano sumy obu rzutów. Odpowiednio są to: pod osią X sumą obu rzutów jest wektor nawias kwadratowy, a, plus, c, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego po lewej stronie osi Y sumą obu rzutów jest wektor nawias kwadratowy, zero, średnik, b, plus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. {audio} Rzuty prostokątne wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego na oś X mają współrzędne nawias kwadratowy a, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma tych rzutów ma współrzędne nawias kwadratowy a, plus, c, średnik, zero zamknięcie nawiasu kwadratowego. Rzuty prostokątne wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego na oś Y mają współrzędne nawias kwadratowy zero, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy zero, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma tych rzutów ma współrzędne nawias kwadratowy zero, średnik, b, plus, d zamknięcie nawiasu kwadratowego. Zatem suma wektorów o współrzędnych nawias kwadratowy a, średnik, b zamknięcie nawiasu kwadratowego i nawias kwadratowy c, średnik, d zamknięcie nawiasu kwadratowego ma współrzędne nawias kwadratowy a, plus, c, przecinek, b, plus, d zamknięcie nawiasu kwadratowego.

1. {audio} Przypomnijmy, aby od wektora u odjąć wektor v, wystarczy do wektora u dodać wektor przeciwny do wektora v. Ponadto współrzędne wektora przeciwnego do wektora v są liczbami przeciwnymi do współrzędnych wektora v. Wynika stąd, że współrzędne różnicy dwóch wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów. Slajd podzielony jest na dwie części. Po lewo narysowane są trzy wektory, każdy z nich jest podpisany. Pierwszy wektor to wektor skierowany ukośnie w prawo do góry opisany jako: wektor u, równa się, nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Drugi wektor skierowany jest ukośnie w lewo do góry i opisany jest jako: wektor v, równa się, nawias kwadratowy, c, średnik, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Trzeci wektor skierowany jest ukośnie w prawo w dół i opisany jest jako minus, wektor v, równa się, nawias kwadratowy, minus, c, średnik, minus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Po prawo zapisane jest równanie: wektor u, minus, wektor v, równa się, wektor u, plus, nawias, minus, wektor v, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, a, średnik, b, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, minus, c, średnik, minus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, a, minus, c, średnik, b, minus, d, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Poniżej nanrysowano trójkąt składający się z wektorów u oraz minus v, który domknięty jest bokiem o długości sumy tych dwóch wektorów, która była wynikiem powyższego równania.

1. {audio} Przypomnijmy, aby od wektora u odjąć wektor v, wystarczy do wektora u dodać wektor przeciwny do wektora v. Ponadto współrzędne wektora przeciwnego do wektora v są liczbami przeciwnymi do współrzędnych wektora v. Wynika stąd, że współrzędne różnicy dwóch wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów. Slajd podzielony jest na dwie części. Po prawo dane są dwa wektory: wektor u, równa się, nawias kwadratowy, dwa, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz wektor v, równa się, nawias kwadratowy, minus, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wówczas ich suma jest następująca: wektor u, plus, wektor v, równa się, nawias kwadratowy, dwa, średnik, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, minus, trzy, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, minus, jeden, średnik, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Po lewo narysowany jest trójkąt składający się z trzech wektorów: wektora u, wektora v, którego początek jest zaczepiony na końcu wektora u oraz wektora będącego sumą wektorów u oraz v. Wektor sumy zaczepiony jest w początku wektora u i ma koniec w tym samym punkcie, co koniec wektora v.

1. {audio} Niech wektor wektor u ma współrzędne nawias kwadratowy trzy, średnik, dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego, zaś wektor wektor v nawias kwadratowy cztery, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wówczas wektor przeciwny do wektora wektor v ma współrzędne nawias kwadratowy, minus, cztery przecinek jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego. Różnica wektorów wektor u i wektor v ma współrzędne równe sumom odpowiednich współrzędnych wektora wektor u i wektora przeciwnego do wektora wektor v: pierwsza jest równa sumie liczb trzy i nawias, minus, cztery zamknięcie nawiasu i wynosi nawias, minus, jeden zamknięcie nawiasu, zaś druga jest równa sumie liczb dwa i jeden i wynosi trzy. Slajd podzielony jest na dwie części. Po prawo dane są dwa wektory: wektor u, równa się, nawias kwadratowy, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego oraz wektor v, równa się, nawias kwadratowy, cztery, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wówczas ich różnica jest następująca: wektor u, minus, wektor v, równa się, wektor u, plus, nawias, minus, wektor v, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, minus, cztery, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, trzy, minus, cztery, średnik, dwa, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, minus, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Po lewo narysowany jest trójkąt składający się z trzech wektorów: wektora u, wektora minus v, którego początek jest zaczepiony na końcu wektora u oraz wektora będącego sumą wektorów u oraz minus v. Wektor sumy zaczepiony jest w początku wektora u i ma koniec w tym samym punkcie, co koniec wektora minus v.

1. {audio} Rozważmy punkty A i B o współrzędnych odpowiednio równych nawias jeden, średnik, trzy zamknięcie nawiasu i nawias dwa, średnik, minus, jeden zamknięcie nawiasu. Wyznaczymy współrzędne takiego punktu S, aby suma wektorów wektor A S i wektor B S była wektorem zerowym. Niech współrzędne punktu S będą równe nawias x, średnik, y zamknięcie nawiasu. Wówczas wektor wektor A S ma współrzędne nawias kwadratowy x, minus, jeden, średnik, y, minus, trzy zamknięcie nawiasu kwadratowego, zaś wektor wektor B S ma współrzędne nawias kwadratowy x, minus, dwa, średnik, y, plus, jeden zamknięcie nawiasu kwadratowego. Suma wektorów wektor A S i wektor B S ma współrzędne nawias kwadratowy dwa x, minus, trzy, średnik, dwa y, minus, dwa zamknięcie nawiasu kwadratowego, które mają być z założenia równe zerom. Wynika stąd, że x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zaś y, równa się, jeden. Zatem punkt S ma współrzędne nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu. Slajd przedstawia rozwiązanie przykładu. Niech A, równa się, nawias, jeden, średnik, trzy, zamknięcie nawiasu oraz B, równa się, nawias, dwa, średnik, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Wyznaczymy taki punkt S, równa się, nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu, aby wektor A S, plus, wektor B S, równa się, wektor zero. Mamy więc: nawias kwadratowy, x, minus, jeden, średnik, y, minus, trzy, zamknięcie nawiasu kwadratowego, plus, nawias kwadratowy, x, minus, dwa, średnik, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy, x, minus, jeden, plus, x, minus, dwa, średnik, y, minus, trzy, plus, y, plus, jeden, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego nawias kwadratowy, dwa x, minus, trzy, średnik, dwa y, minus, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nawias kwadratowy, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu kwadratowego Otrzymujemy z powyższego następujący układ równań: dwa x, minus, trzy, równa się, zero i dwa y, minus, dwa, równa się, zero. Rozwiązaniem układu równań są: x, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka oraz y, równa się, jeden. Zatem ostatecznie otrzymujemy współrzędne szukanego punktu: S, równa się, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, jeden, zamknięcie nawiasu.