Przeczytaj

Rozważmy wektory $\vec{u} = [a; b]$ i $\vec{v} = [c; d]$ . Przypomnijmy, że aby dodać wektory umieszczamy początek drugiego z nich w punkcie będącym końcem pierwszego. Przeanalizujmy poniższy rysunek.

Po wykonaniu rzutowania wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $X$ otrzymamy wektory $\vec{u_{x}}$ i $\vec{v_{x}}$ o współrzędnych $[a; 0]$ i $[c; 0]$ . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów $\vec{u_{x}}$ i $\vec{v_{x}}$ jest rzutem sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $X$ i ma współrzędne $[a + c; 0]$ . Wynika to z definicji dodawania wektorów na osi.

Po wykonaniu rzutowania wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $Y$ , otrzymamy wektory $\vec{u_{y}}$ i $\vec{v_{y}}$ o współrzędnych $[0; b]$ i $[0; d]$ . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów $\vec{u_{y}}$ i $\vec{v_{y}}$ jest rzutem sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ na oś $Y$ i ma współrzędne $[0; b + d]$ .

Możemy stąd wyciągnąć wniosek, że współrzędne sumy wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ to $[a + c; b + d]$ .

R2L7DoYQQX1Bf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y bez podziałki. Ilustracja głównie przedstawia pierwszą ćwiartkę układu. Na płaszczyźnie przedstawiono trójkąt zbudowany z trzech wektorów. Wektor pierwszy to wektor a;b. W jego końcu zaczepiony jest wektor c;d. Trzeci wektor, który domyka trójkąt jest sumą obu wymienionych już wektorów. Jest on zaczepiony w początku pierwszego wektora, a jego koniec pokrywa się z końcem drugiego wektora. Trzeci wektor jest postaci: a+c;b+d. Na obu osiach zaznaczono rzuty pierwszego i drugiego wektora. Rzuty te również są wektorami. Rzuty pierwszego wektora to: poziomy: a;0, pionowy: 0;b. Rzuty drugiego wektora to: poziomy: c;0, pionowy: 0;d.

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla różnicy dwóch wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ dochodząc do wniosku, że współrzędne różnicy wektorów o współrzędnych $[a; b]$ i $[c; d]$ są równe $[a - c; b - d]$ .

Powyższy opis nie jest formalnym dowodem w sensie matematycznym, pomaga jednak zrozumieć koncepcję działań na współrzędnych wektorów. Zapiszemy teraz wnioski z powyższych rozważań w postaci twierdzeń.

o współrzędnych sumy dwóch wektorów

Twierdzenie: o współrzędnych sumy dwóch wektorów

Współrzędne sumywspółrzędne sumy wektorówWspółrzędne sumy dwóch wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów.

Dowód

Niech $\vec{u} = [a_{1}; b_{1}]$ , $\vec{v} = [a_{2}; b_{2}]$ oraz $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{B C}$ , gdzie $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , $C = (x_{C}, y_{C})$ .

Wówczas $\vec{u} + \vec{v} = \vec{A C}$ oraz $\vec{A B} = [x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}]$ , $\vec{B C} = [x_{C} - x_{B}; y_{C} - y_{B}]$ , $\vec{A C} = [x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}]$ .

Przy czym

$x_{B} - x_{A} = a_{1}, y_{B} - y_{A} = b_{1}$ ,

$x_{C} - x_{B} = a_{2}, y_{C} - y_{B} = b_{2}$ .

Ponieważ

$x_{C} - x_{A} = (x_{C} - x_{B}) + (x_{B} - x_{A}) = a_{1} + a_{2}$ i

$y_{C} - y_{A} = (y_{C} - y_{B}) + (y_{B} - y_{A}) = b_{1} + b_{2}$ ,

więc

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{A C} = [x_{C} - x_{A}; y_{C} - y_{A}] = [a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}]$ .

o współrzędnych różnicy dwóch wektorów

Twierdzenie: o współrzędnych różnicy dwóch wektorów

Współrzędne różnicywspółrzędne różnicy wektorówWspółrzędne różnicy dwóch wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów.

Dowód można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku Twierdzenia o sumie wektorów.

Przykład 1

Dane są wektory $\vec{u} = [- 2; 4]$ i $\vec{v} = [1; - 3]$ .

Wówczas $\vec{u} + \vec{v} = [- 2; 4] + [1; - 3] = [- 2 + 1; 4 - 3] = [- 1; 1]$

oraz $\vec{u} - \vec{v} = [- 2; 4] - [1; - 3] = [- 2 - 1; 4 - (- 3)] = [- 3; 7]$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby suma wektorów $\vec{u} = [m^{2}; 1 - m]$ i $\vec{v} = [1; 2]$ była równa $\vec{u} + \vec{v} = [2; 4]$ .

Współrzędne sumy wektorówwspółrzędne sumy wektorówWspółrzędne sumy wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych wektorów dodawanych, zatem zachodzi następujący warunek $[m^{2}; 1 - m] + [1; 2] = [2; 4]$ , który jest równoważny warunkowi $[m^{2} + 1; 1 - m + 2] = [2; 4]$ .

Przypomnijmy, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, zatem gdy spełnione są jednocześnie równania: $m^{2} + 1 = 2$ oraz $1 - m + 2 = 4$ . Z pierwszego wynika, że $m \in \{- 1, 1\}$ , zaś z drugiego $m = - 1$ . Ponieważ oba równania mają być spełnione jednocześnie, więc warunki zadania spełnia tylko $m = - 1$ .

Słownik

współrzędne sumy wektorów

współrzędne wektora będącego sumą wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów

współrzędne różnicy wektorów

współrzędne wektora będącego różnicą wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik