Przeczytaj
Rozważmy wektory i . Przypomnijmy, że aby dodać wektory umieszczamy początek drugiego z nich w punkcie będącym końcem pierwszego. Przeanalizujmy poniższy rysunek.
Po wykonaniu rzutowania wektorów i na oś otrzymamy wektory i o współrzędnych i . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów i jest rzutem sumy wektorów i na oś i ma współrzędne . Wynika to z definicji dodawania wektorów na osi.
Po wykonaniu rzutowania wektorów i na oś , otrzymamy wektory i o współrzędnych i . Łatwo też zauważyć, że suma wektorów i jest rzutem sumy wektorów i na oś i ma współrzędne .
Możemy stąd wyciągnąć wniosek, że współrzędne sumy wektorów i o współrzędnych i to .
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla różnicy dwóch wektorów i dochodząc do wniosku, że współrzędne różnicy wektorów o współrzędnych i są równe .
Powyższy opis nie jest formalnym dowodem w sensie matematycznym, pomaga jednak zrozumieć koncepcję działań na współrzędnych wektorów. Zapiszemy teraz wnioski z powyższych rozważań w postaci twierdzeń.
Współrzędne sumyWspółrzędne sumy dwóch wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów.
Niech , oraz , , gdzie , , .
Wówczas oraz , , .
Przy czym
,
.
Ponieważ
i
,
więc
.
Współrzędne różnicyWspółrzędne różnicy dwóch wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów.
Dowód można przeprowadzić analogicznie jak w przypadku Twierdzenia o sumie wektorów.
Dane są wektory i .
Wówczas
oraz .
Wyznaczymy wartości parametru tak, aby suma wektorów i była równa .
Współrzędne sumy wektorówWspółrzędne sumy wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych wektorów dodawanych, zatem zachodzi następujący warunek , który jest równoważny warunkowi .
Przypomnijmy, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne, zatem gdy spełnione są jednocześnie równania: oraz . Z pierwszego wynika, że , zaś z drugiego . Ponieważ oba równania mają być spełnione jednocześnie, więc warunki zadania spełnia tylko .
Słownik
współrzędne wektora będącego sumą wektorów są równe sumom odpowiednich współrzędnych dodawanych wektorów
współrzędne wektora będącego różnicą wektorów są równe różnicom odpowiednich współrzędnych odejmowanych wektorów