Galeria zdjęć interaktywnych
Polecenie 1
Zapoznaj się z przedstawioną poniżej galerią zdjęć interaktywnych. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązania zadań dotyczących zapisu dziesiętnego liczb naturalnych. Jest w nich pokazane, jak wykorzystać wzór na liczbę permutacji.
Przykład pierwszy. Rozpatrujemy wszystkie siedmioelementowe permutacje zbioru . Obliczymy ile jest wśród nich takich permutacji, w których każda liczba parzysta z obu stron sąsiaduje z liczbą nieparzystą.
Rozwiązanie.
Zauważmy, że w podanym zbiorze są 3 cyfry parzyste 2 4 i sześć.
Oraz 4 cyfry nieparzyste 1 2 5 i siedem.
Jeżeli permutacja spełnia warunki zadania, to cyfry parzyste , , muszą być w niej zapisane na miejscach o numerach parzystych; wtedy do rozmieszczenia cyfr nieparzystych , , , pozostają miejsca o numerach nieparzystych.
Z warunków zadania wynika że równa się oraz. <mathx 1 , x 3 , x 5 , x 7
Przykład pierwszy. Rozpatrujemy wszystkie siedmioelementowe permutacje zbioru . Obliczymy ile jest wśród nich takich permutacji, w których każda liczba parzysta z obu stron sąsiaduje z liczbą nieparzystą.
Rozwiązanie.
Zauważmy, że w podanym zbiorze są 3 cyfry parzyste 2 4 i sześć.
Oraz 4 cyfry nieparzyste 1 2 5 i siedem.
Jeżeli permutacja spełnia warunki zadania, to cyfry parzyste , , muszą być w niej zapisane na miejscach o numerach parzystych; wtedy do rozmieszczenia cyfr nieparzystych , , , pozostają miejsca o numerach nieparzystych.
Z warunków zadania wynika że równa się oraz. <mathIlustracja druga zliczanie liczby wszystkich permutacji spełniających warunki zadania rozkładamy na 2 etapy .etap pierwszy w tym etapie zliczamy permutacje zbioru 3 elementowego których jest . Rozmieszczenie trzech liczb parzystych na dostępnych im trzech miejscach.Etap drugi w następnym etapie zauważamy że każde takie rozmieszczenie to permutacja zbioru cztero elementowego których jest .Rozmieszczenie czterech liczb nieparzystych na dostępnych im czterech miejscach. Korzystając z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich permutacji zbioru , w których każda liczba parzysta z obu stron sąsiaduje z liczbą nieparzystą. Ostatecznie
Odpowiedź warunki zadania spełniają 144 permutacje zbioru
Ilustracja druga zliczanie liczby wszystkich permutacji spełniających warunki zadania rozkładamy na 2 etapy .etap pierwszy w tym etapie zliczamy permutacje zbioru 3 elementowego których jest . Rozmieszczenie trzech liczb parzystych na dostępnych im trzech miejscach.Etap drugi w następnym etapie zauważamy że każde takie rozmieszczenie to permutacja zbioru cztero elementowego których jest .Rozmieszczenie czterech liczb nieparzystych na dostępnych im czterech miejscach. Korzystając z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich permutacji zbioru , w których każda liczba parzysta z obu stron sąsiaduje z liczbą nieparzystą. Ostatecznie
Odpowiedź warunki zadania spełniają 144 permutacje zbioru Ilustracja trzecia. Przykład 2 rozpatrujemy wszystkie 7 cyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach wybranych ze zbioru .
obliczymy ile jest wśród nich takich liczb że między cyframi jeden oraz 2 zapisane są 3 inne cyfry. Zauważmy, że każda permutacja zbioru odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie siedmiocyfrowej, w której kolejnymi cyframi (patrząc od lewej) są , , , , , , .
Taką liczbę zwyczajowo zapisuje się za pomocą symbolu . Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia liczby wszystkich permutacji . zbioru . w których między elementami jeden oraz 2 zapisane są 3 inne elementy
Ilustracja trzecia. Przykład 2 rozpatrujemy wszystkie 7 cyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach wybranych ze zbioru .
obliczymy ile jest wśród nich takich liczb że między cyframi jeden oraz 2 zapisane są 3 inne cyfry. Zauważmy, że każda permutacja zbioru odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie siedmiocyfrowej, w której kolejnymi cyframi (patrząc od lewej) są , , , , , , .Taką liczbę zwyczajowo zapisuje się za pomocą symbolu . Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia liczby wszystkich permutacji . zbioru . w których między elementami jeden oraz 2 zapisane są 3 inne elementy
Taką liczbę zwyczajowo zapisuje się za pomocą symbolu . Rozwiązanie. Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia liczby wszystkich permutacji . zbioru . w których między elementami jeden oraz 2 zapisane są 3 inne elementy
Ilustracja czwarta. Zliczanie liczby wszystkich możliwych możliwości dzielimy na 3 etapy etap pierwszy treści zadania wynika że cyfry jeden oraz 2 mogą być przypisane jedynie do par elementów x indeks dolny 1 koniec indeksu i x indeks dolny 5 koniec indeksu lub x indeks dolny 2 koniec indeksu i x indeks dolny 6 koniec indeksu lub x indeks dolny 3 koniec indeksu i x indeks dolny 7 koniec indeksu. Więc w tym etapie mamy 3 możliwości wyboru. Wybór pary elementów tej permutacji, którym przypiszemy wartości oraz . etap 2 w każdym z omówionych wyżej przypadków cyfry jeden i 2 przypisujemy do 2 przyporządkowanych im elementów w tym etapie zliczamy więc permutacje zbioru 2 elementowego których jest . Przypisanie cyfr oraz do wybranych elementów. Etap 3 przypisane to przypisanie to permutacja zbioru 5 elementowego a wszystkich takich permutacji jest . Przypisanie pozostałych pięciu cyfr , , , , do pięciu pozostałych w każdym przypadku elementów. ostatecznie.. Korzystając z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania. odpowiedź warunki zadania spełnia 720 liczb.
Ilustracja czwarta. Zliczanie liczby wszystkich możliwych możliwości dzielimy na 3 etapy etap pierwszy treści zadania wynika że cyfry jeden oraz 2 mogą być przypisane jedynie do par elementów x indeks dolny 1 koniec indeksu i x indeks dolny 5 koniec indeksu lub x indeks dolny 2 koniec indeksu i x indeks dolny 6 koniec indeksu lub x indeks dolny 3 koniec indeksu i x indeks dolny 7 koniec indeksu. Więc w tym etapie mamy 3 możliwości wyboru. Wybór pary elementów tej permutacji, którym przypiszemy wartości oraz . etap 2 w każdym z omówionych wyżej przypadków cyfry jeden i 2 przypisujemy do 2 przyporządkowanych im elementów w tym etapie zliczamy więc permutacje zbioru 2 elementowego których jest . Przypisanie cyfr oraz do wybranych elementów. Etap 3 przypisane to przypisanie to permutacja zbioru 5 elementowego a wszystkich takich permutacji jest . Przypisanie pozostałych pięciu cyfr , , , , do pięciu pozostałych w każdym przypadku elementów. ostatecznie.. Korzystając z reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania. odpowiedź warunki zadania spełnia 720 liczb.Ilustracja piąta rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1,2,3,7,8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry obliczmy sumę wszystkich takich liczb. Zauważmy, że każda permutacja zbioru odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie sześciocyfrowej . Rozwiązanie wszystkich liczb w sześcio cyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,7,8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry jest dokładnie tyle i dla 6 elementów 6 elementowych permutacji
zbioru
sumę s tych wszystkich rozważanych liczb obliczymy dwoma sposobami
Ilustracja piąta rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1,2,3,7,8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry obliczmy sumę wszystkich takich liczb. Zauważmy, że każda permutacja zbioru odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie sześciocyfrowej . Rozwiązanie wszystkich liczb w sześcio cyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,7,8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry jest dokładnie tyle i dla 6 elementów 6 elementowych permutacji
zbioru
sumę s tych wszystkich rozważanych liczb obliczymy dwoma sposobamiilustracja szósta. Pierwszy sposób zauważmy że jeżeli ustalimy cyfrę na jednym z wybranych 6 miejsc w rozpatrywanej liczbie sześcio cyfrowej to pozostałe 5 cyfr rozmieścimy na pozostałych 5 miejscach na sposobów.. Każda z cyfr , , , , , pojawi się na każdym z sześciu miejsc zapisu dziesiętnego razy.Suma s wszystkich liczb 6 cyfrowych zapisanych przy użyciu cyfr 1,2 3,7, 8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry jest więc równa
Każda z cyfr , , , , , pojawi się na każdym z sześciu miejsc zapisu dziesiętnego razy w rzędzie: jedności , dziesiątek , setek , tysięcy , dziesiątek tysięcy i setek tysięcy .
ilustracja szósta. Pierwszy sposób zauważmy że jeżeli ustalimy cyfrę na jednym z wybranych 6 miejsc w rozpatrywanej liczbie sześcio cyfrowej to pozostałe 5 cyfr rozmieścimy na pozostałych 5 miejscach na sposobów.. Każda z cyfr , , , , , pojawi się na każdym z sześciu miejsc zapisu dziesiętnego razy.Suma s wszystkich liczb 6 cyfrowych zapisanych przy użyciu cyfr 1,2 3,7, 8,9 bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry jest więc równa
Każda z cyfr , , , , , pojawi się na każdym z sześciu miejsc zapisu dziesiętnego razy w rzędzie: jedności , dziesiątek , setek , tysięcy , dziesiątek tysięcy i setek tysięcy .Ilustracja siódma. sposób 2 zauważmy że ponieważ . Więc dla każdej liczby c wybranej ze zbioru liczba Również należy do tego zbioru. ;
;
; . Oznacza to że istnieje wzajemnie jedno znaczne przyporządkowanie liczbie gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu. Liczby. . gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu zostały wybrane ze zbioru. Zbiory oraz są równe.
Ilustracja siódma. sposób 2 zauważmy że ponieważ . Więc dla każdej liczby c wybranej ze zbioru liczba Również należy do tego zbioru. ; ;
; . Oznacza to że istnieje wzajemnie jedno znaczne przyporządkowanie liczbie gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu. Liczby. . gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu zostały wybrane ze zbioru. Zbiory oraz są równe.
;
; . Oznacza to że istnieje wzajemnie jedno znaczne przyporządkowanie liczbie gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu. Liczby. . gdzie cyfry c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu zostały wybrane ze zbioru. Zbiory oraz są równe.
Ilustracja 8 wypisujemy w jednej kolumnie jedna pod 2 wszystkie liczby sześciocyfrowe zapisane wyłącznie za pomocą cyfr 1,2, 3,7, 8,9 . Wszystkich takich liczb jest . W 2 kolumnie w tym samym wierszu do każdej z nich dopisujemy 2 liczbę sześciocyfrową według wzoru do liczby c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu. dopisujemy liczbę . Każda z dopisanych liczb jest również sześciocyfrową liczbą naturalną zapisaną przy użyciu cyfr , , , , , bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry.
Ilustracja 8 wypisujemy w jednej kolumnie jedna pod 2 wszystkie liczby sześciocyfrowe zapisane wyłącznie za pomocą cyfr 1,2, 3,7, 8,9 . Wszystkich takich liczb jest . W 2 kolumnie w tym samym wierszu do każdej z nich dopisujemy 2 liczbę sześciocyfrową według wzoru do liczby c indeks dolny jeden koniec indeksu, c indeks dolny 2 koniec indeksu, c indeks dolny 3 koniec indeksu, c indeks dolny 4 koniec indeksu, c indeks dolny 5 koniec indeksu, c indeks dolny 6 koniec indeksu. dopisujemy liczbę . Każda z dopisanych liczb jest również sześciocyfrową liczbą naturalną zapisaną przy użyciu cyfr , , , , , bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry.ilustracja dziewiąta wtedy suma 2 liczb wypisanych obok siebie w każdym wierszu jest różna 1111110.
. zapisujemy zatem równanie gdzie to suma wszystkich rozwiązanych liczb. . Sumując kolumnami wszystkie par liczb wypisanych jak powyżej, otrzymujemy dwukrotność szukanej sumy .ostatecznie . odpowiedź suma wszystkich rozważanych liczb jest równa 399999600
ilustracja dziewiąta wtedy suma 2 liczb wypisanych obok siebie w każdym wierszu jest różna 1111110. . zapisujemy zatem równanie gdzie to suma wszystkich rozwiązanych liczb. . Sumując kolumnami wszystkie par liczb wypisanych jak powyżej, otrzymujemy dwukrotność szukanej sumy .ostatecznie . odpowiedź suma wszystkich rozważanych liczb jest równa 399999600
. zapisujemy zatem równanie gdzie to suma wszystkich rozwiązanych liczb. . Sumując kolumnami wszystkie par liczb wypisanych jak powyżej, otrzymujemy dwukrotność szukanej sumy .ostatecznie . odpowiedź suma wszystkich rozważanych liczb jest równa 399999600
Polecenie 2
Rozpatrujemy wszystkie ośmiocyfrowe liczby naturalne o różnych cyfrach wybranych ze zbioru . Obliczymy ile jest wśród nich takich liczb, że między cyframi oraz zapisane są cztery inne cyfry, wśród których jest cyfra .
Zauważmy, że każda permutacja zbioru odpowiada wzajemnie jednoznacznie liczbie ośmiocyfrowej, w której kolejnymi cyframi (patrząc od lewej) są (taką liczbę zwyczajowo zapisuje się za pomocą symbolu ).
Rozwiązanie zadania sprowadza się więc do wyznaczenia liczby wszystkich permutacji zbioru , w których między elementami oraz zapisane są cztery inne elementy, wśród których jest element .
Zliczanie liczby wszystkich możliwości dzielimy na cztery etapy.
Wybór pary elementów, którym przypiszemy wartości oraz ; z treści zadania wynika, że cyfry oraz mogą być przypisane jedynie do par elementów: i lub i , lub i , a więc w tym etapie mamy możliwości wyboru.
Przypisanie cyfr , do wybranych elementów; w każdym z omówionych wyżej trzech przypadków cyfry i przypisujemy do dwóch przyporządkowanych im elementów - w tym etapie zliczamy więc permutacje zbioru dwuelementowego, których jest .
Wybranie jednego spośród dostępnych elementów, któremu przypiszemy cyfrę ; ponieważ są dostępne miejsca między cyframi i , więc w tym etapie mamy możliwości wyboru.
Przypisanie pozostałych cyfr do pozostałych elementów; każde takie przypisanie to permutacja zbioru pięcioelementowego, a wszystkich takich permutacji jest – zatem tyle jest możliwości wyboru w ostatnim etapie.
Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy ostatecznie, że wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnych, które spełniają warunki zadania jest .